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北京市第三十五中学2015届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案


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北京市第三十五中学 2014-2015 年度第一学期期中试卷

高三数学(理科)2014.11
试卷说明:试卷分值 150 ,考试时间 120 分钟. I 卷为选择题,包括一个大题,共 10 个小题,II 卷为主 观题,包括第 11 至第 22 题.

I卷
一、选择题(共 10 个小题,每题 4 分,共 40 分。每小题只有一个正确选项,请选择正确答 案填在机读卡相应的题号处)
2 1.已知集合 A ? x ? R 0 ? x ? 3 , B ? x ? R x ? 4 ,则 A ? B ?

?

?

?

?

A.

?x 2 ? x ? 3?B. ?x 2 ? x ? 3? C. ?x x ? ?2或2 ? x ? 3? D. R

2.给定下列命题: ① “ x ? 1 ”是“ x ? 2 ”的充分不必要条件; ② 若 sin ? ? 1 , 则? ? ? ;
2 6

③ “公比大于的等比数列是递增数列”的逆否命题; ④命题“ ?x0 ? R, 使 x0
2

? x0 ?1 ? 0 ”的否定.

其中真命题的序号是 A.①②B.②④C.①③D.③④ 3.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=kn2,若对所有的 n ? N * ,都有 an?1 ? an ,则实数 k 的取值 范围是 A.k<0 B.k<1 C.k>1 D.k>0 4.已知函数① y ? sin x ? cos x ,② y ? 2 2 sin x cos x ,则下列结论正确的是 A. 两个函数的图象均关于点 ( ?

? , 0 ) 成中心对称 4 ? 成轴对称 4

B. 两个函数的图象均关于直线 x ? ?

C. 两个函数在区间 ( ?

? ? , ) 上都是单调递增函数 4 4

D. 两个函数的最小正周期相同 5.设函数 y ? f ( x) 对任意的 x ? R 都有 f (1 ? x) ? f (1 ? x) 成立,则 y ? f ( x) A.图象关于 x=0 对称 B.图象关于 x=1 对称 C.是周期为 1 的周期函数 D.是周期为 2 的周期函数
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6.函数 y ? e
y 1 O 1

|ln x|

? | x ? 1| 的图像大致为
y 1 x O 1 x y 1 O 1 x y 1 O 1 x

A

B

C

D

7. a, b 为非零向量,“函数 f ( x) ? (ax ? b) 2 为偶函数”是“ a ? b ”的 A. 充分但不必要条件 C.充要条件 B. 必要但不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

8.函数 f ( x) ? e x cos x 的图象在点(0, f(0))处的切线的倾斜角为 A.0 B.

? C .1 4
1 a ?

D.

? 2
1 4
C. ab ? 2 D. a ? b ? 8
2 2

9.若 a ? 0, b ? 0,且a ? b ? 4 ,则下列不等式恒成立的是 A.

1 ab

?

1 4

B.

1 b

?

10.对于定义域和值域均为[0,1]的函数 f(x),定义 f1 ( x) ? f ( x) , f2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ,…,

fn ( x) ? f ( fn?1 ( x)) ,n=1,2,3,….满足 fn ( x) ? x 的点 x∈[0,1]称为 f 的 n 阶周期点.设
1 ? 2 x, 0? x? , ? ? 2 则 f 的 n 阶周期点的个数是 f ( x) ? ? ?2 ? 2 x, 1 ? x ? 1, ? ? 2
A. 2n B. 2(2n-1) C. 2n D. 2n2

II 卷
二、选择题(共 6 个小题,每题 5 分,共 30 分。请将正确答案填在答题纸相应的题号处) 11.如右图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的终边与单位圆交 于点 A,点 A 的纵坐标为 y A O

4 ,则 cosα=. ? 3 5 5

?
A

x

12.已知点 P(1,- 2)及其关于原点对称点均在不等式 2 x ? by ? 1 ? 0 表示

3 1 的平面区域内,则实数 b 的取值范围是 ( ? , ? ) 2 2
13.已知平面向量 a , b 的夹角为 60°, a ? ( 3,1) , | b |? 1 ,则 a ? b = 1, | a ? 2b |? 2 3 . 14.函数 f ( x) ? e x ? x3 ? 2 在区间(0,1)内的零点个数是 __________.1
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?2? x ? 1, x?0 15. 已知函数 f ( x) ? ? , 若 f (a 2 ?2 则实数 a 的取值范围是 ?1 ? a ? 2 ) ?f(a) , ? 2 ? x ? 2 x , x ? 0 ? ?
16. 已知函数: ① 对如下两个命题:命题甲: 命题乙: , ② 在区间 在区间 , ③ 上是增函数; 上恰有两个零点 ,且 . .

1 ○ 2 能使甲、乙两个命题均为真的函数的序号是____________.○

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. ) 17.(本小题共 12 分) 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知前 6 项和为 36,最后 6 项和为 180,Sn=324(n>6) (Ⅰ)求数列的项数 n; (Ⅱ)求 a9 ? a10 的值及数列的通项公式 解: (1)依题意得: (a1 ? a2 ?
? a1 ? an ? 36 ………1 分

? a6 ) ? (an ? an?1 ?

? an?5 ) ? 6(a1 ? an ) ? 36 ? 180 ………3 分

Sn ?

n(a1 ? an ) 2

? 324 ?

n ? 18 ………2 分

(2) a1 ? a18 ? a9 ? a10 ? 36………2 分
a1 ? a18 ? 2a1 ? 17d 且S6 ? 3(2a1 ? 5d ) ? 36 ? d ? 2, a1 ? 1 ………3 分

所以 an ? 2n ? 1 ………1 分 18. (本小题满分 13 分) 在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 b2+c2-a2=bc. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设函数 f ( x) ? 3 sin

x x x cos ? cos 2 , 求 f ( B ) 的最大值,并判断此时△ABC 的形状. 2 2 2

解: (Ⅰ)在△ ABC 中,因为 b2+c2-a2=bc, 由余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA 可得 cosA=

1 . 2

(余弦定理或公式必须有一个,否则扣 1 分)……3 分 ∵ 0<A<π, (或写成 A 是三角形内角)……………………4 分
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∴ A ? ? .……………………5 分
3

x x x 3 1 1 f ( x) ? 3 sin cos ? cos 2 ? sin x ? cos x ? ……………………7 分 2 2 2 2 2 2 ? 1 ? sin( x ? ) ? ,……………………9 分 6 2
∵A?

? 2? ? ? 5? )∴ ? B? ? ∴ B ? (0, 3 3 6 6 6
(没讨论,扣 1 分)…………………10 分

∴当 B ?

? ? ? 3 ? 即 B ? 时 f ( B ) 有最大值是 .……………………11 分 6 2 3 2
3

又∵ A ? ? ,∴ C ? ? ∴△ ABC 为等边三角形.……………13 分
3

19. (本小题满分 13 分) 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本 y(万元)与年产 量 x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为 量最大为 210 吨。 (Ⅰ)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低? (Ⅱ) 若每吨产品平均出厂价为 40 万元, 那么当年产量为多少吨时, 可以获得最大利润? 最大利润是多少? 解: (1)每吨平均成本为 y/x(万元)………1 分 则 当且仅当 x=200 时取得等号;………2 分 (2)设年获得总利润为 R(x)万元………1 分 则 R(x)=40x-y=40x-x2/5+48x-8000 =-x2/5+88x-8000………2 分 R(x)在区间[0,210]上是增函数,所以 x=210 时,R(x)取得最大值……1 分 R(x)最大值为 1660………2 分 答:年产量为 200 吨时,每吨平均成本达到最低,为 32 万元; 年产量为 210 吨时,可获得最大利润 1660 万元。………1 分 ………3 分 ,已知此生产线年产

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20. (本小题满分 14 分) 如图所示,A,B 分别是单位圆与 x 轴、y 轴正半轴的交 点,点 P 在单位圆上, ?AOP ? ? (0 ? ? ? ? ), C 点坐标为 (-2,0),平行四边形 OAQP 的面积为 S (Ⅰ)求 t ? OA? OQ ? S 的最大值; (Ⅱ)若 CB//OP,求 sin(2? ? ) . 6 解(1) OQ ? (1 ? cos ? ,sin ? ) ,………1 分
C O A x y B P Q

?

OA ? OQ ? 1 ? cos ? ………1 分
S? 1 2 | OA || OP | sin ? ? sin ? ………1 分

t ? OA? OQ ? S = 1 ? cos ? ? sin ? ? 2 sin(? ? ) ? 1 ………1 分
4

?

0 ?? ??

?? ?

?
4

时, t ? OA? OQ ? S 取得最大值 2 ? 1 ………2 分

(2) CB ? (2,1), OP ? (cos? ,sin ? )
CB / / OP ? cos ? ? 2sin ? ………1 分

………1 分

又 0 ? ? ? ? , sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ,解得 sin ? ?
4 3 sin 2? ? , cos 2? ? ,………2 分 5 5
sin(2? ?

5 5

, cos ? ?

2 5 5

………2 分

?
6

)? ?
5

4

2 2

3 1 4 3 ?3 ? ? ? ………2 分 5 2 10

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21. (本小题满分 14 分)

1 2 2 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在区间 ?1 ,e? 上的最大值和最小值;
已知函数 f ( x) ? ( a ? ) x ? ln x , (a ? R) . (Ⅱ)若在区间 ?1 , ? ?? 上,函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方,求 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x ) ?

1 2 x ? ln x , 2

∴ f ?( x) ? x ?

1 x2 ? 1 ? .………2 分 x x

对于 x ? ?1, e? ,有 f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在区间 ?1, e? 上为增函数.

1 e2 ∴ f max ( x) ? f (e) ? 1 ? , f min ( x) ? f (1) ? .………5 分 2 2
(Ⅱ)令 g ( x) ? f ( x) ? 2ax ? (a ? ) x ? 2ax ? ln x ,
2

1 2

则 g ( x) 的定义域为 ?0,??? .………6 分 在区间 ?1,??? 上,函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方等价于 g ( x) ? 0 在区间

?1,??? 上恒成立.

∵ g ?( x) ? (2a ? 1) x ? 2a ? ①若 a ?

1 (2a ? 1) x 2 ? 2ax ? 1 ( x ? 1)[( 2a ? 1) x ? 1] ? ? ,…8 分 x x x

1 1 ,令 g ?( x) ? 0 ,解得: x1 ? 1 , x2 ? . 2 2a ? 1 1 当 x2 ? x1 ? 1 ,即 ? a ? 1 时,在 ?x2 ,??? 上有 g ?( x) ? 0 , 2 此时 g ( x) 在区间 ?x2 ,??? 上是增函数,并且在该区间上有 g ( x) ? ?g ( x2 ),??? ,不合题
当 x2 ? x1 ? 1 ,即 a ? 1 ,同理可知, g ( x) 在区间 ?1,??? 上,有 g ( x) ? ?g (1),??? ,也

意;

不合题意;………11 分 ②若 a ?

1 时,则有 2a ? 1 ? 0 ,此时在区间 ?1,??? 上恒有 g ?( x) ? 0 , 2 从而 g ( x) 在区间 ?1,??? 上是减函数; 1 1 ?0 ?a?? , 2 2

要使 g ( x) ? 0 在此区间上恒成立,只须满足 g (1) ? ? a ? 由此求得 a 的范围是 ??

? 1 1? , ? .………12 分 ? 2 2?

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综合①②可知,当 a ∈ ?? 1 , 1 ? 时, f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方.…14 分 ? 2 2? ? ? 22. (本小题满分 14 分)已知集合 M 是满足下列性质的函数 f ( x) 的全体.存在非零常数 T , 对任意 x ? R ,有 f ( x ? T ) ? Tf ( x) 成立. (Ⅰ) 函数 f ( x) ? x 是否属于集合 M ?说明理由; (Ⅱ) 设函数 f ( x) ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 的图像与 y ? x 的图像有公共点,证明: f ( x) ? a x ? M ; (Ⅲ) 若函数 f ( x) ? sin kx ? M ,求实数 k 的取值范围. (Ⅰ )解:不属于.…………1 分 若函数 f ( x) ? x 属于集合 M ,则对任意 x ? R , x ? T ? Tx , 所以 (T ? 1) x ? T 恒成立,显然没有非零常数 T 使上式成立。 所以函数 f ( x) ? x 不属于集合 M …………………3 分 (Ⅱ )因为 f ( x ? T ) ? a
x ?T

? a xaT , 而 Tf ( x) ? Ta x , …………………4 分
T

因为函数 f ( x) ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 的图像与 y ? x 的图像有公共点,所以 T ? a 有解.……6 分
x 即存在常数 T , 使对于 f ( x) ? a , f ( x ? T ) ? Tf ( x) 成立.

所以 f ( x) ? a x ? M . …………………7 分 (Ⅲ )若函数 f ( x) ? sin kx ? M ,则 sin k ( x ? T ) ? T sin kx, ………………8 分 则对于任意 x, sin kx cos kT ? cos kx sin kT ? T sin kx, 恒成立……………9 分 当 cos kx ? 0, 时, cos kT ? T , 恒成立 当 cos kx ? 0 时, tan kx(cos kT ? T ) ? sin kT ? 0, 恒成立 则可知 cos kT ? T ,sin kT ? 0 …………………12 分 综上 cos kT ? T ,sin kT ? 0 所以 T ? ?1, kT ? nπ. …………………13 分 所以 k ? nπ.(n ? Z) .…………………14 分 …………………10 分

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