高二数学椭圆的离心率

高二数学椭圆的离心率(1) 1.已知椭圆 的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交于 A，B 两点，连接 AF、BF，若|AB|=10，

|AF|=6，cos∠ABF= ，则 C 的离心率 e=

_________ ．

2.在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的标准方程为 设原点到直线 BF 的距离为 d1，F 到 l 的距离为 d2，若 d2=

（a＞b＞0） ，右焦点为 F，右准线为 l，短轴的一个端点为 B， ，则椭圆 C 的离心率为 _________ ．

3.椭圆

为定值，且

的左焦点为 F，直线 x=m 与椭圆相交于点 A、B，△ FAB 的周长的最大值是 12，

则该椭圆的离心率是 _________ ．

4.在△ ABC 中，AB=BC，

．若以 A，B 为焦点的椭圆经过点 C，则该椭圆的离心率 e= _________ ．

5.已知长方形 ABCD，AB=4，BC=3，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的离心率为 _________ ．

6.设 F1， F2 是椭圆 C： 4，则椭圆的离心率为

（a＞b＞0） 的左、 右焦点， 过 F1 的直线 l 与 C 交于 A， B 两点． 若 AB⊥AF2， |AB|： |AF2|=3： _________ ．

7.已知 F1、F2 分别是椭圆 _________ ．

的左、右焦点，点 P 是椭圆上的任意一点，则

的取值范围是

8.椭圆

（a＞b＞0）的左焦点为 F，直线 x=m 与椭圆相交于 A，B 两点，若△ FAB 的周长最大时，△ FAB 的面积

为 ab，则椭圆的离心率为 _________ ．

椭圆的离心率（2） 1.已知椭圆 内有两点 A（1，3） ，B（3，0） ，P 为椭圆上一点，则|PA|+|PB|的最大值为 _________ ．

2.椭圆 范围是 _________ ．

，F1，F2 分别是其左、右焦点，若椭圆上存在点 P 满足|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的取值

3.设 A 为椭圆

（a＞b＞0） 上一点， 点 A 关于原点的对称点为 B， F 为椭圆的右焦点， 且 AF⊥BF， 设∠ABF=θ． （1） ]，则该椭圆离心率的取值范围为 _________ ．
2 2

|AB|=

_________ ； （2）若 θ∈[

，

4.从一块短轴长为 2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b ，4b ]，则该椭圆离心率 e 的取 值范围是 _________ ．

5.已知 A， B， P 为椭圆

+

=1 （m， n＞0） 上不同的三点， 且 A， B 连线经过坐标原点， 若直线 PA， PB 的斜率乘积 kPA?kPB=

﹣2，则该椭圆的离心率为 _________ ．

6.已知椭圆的方程为

，过椭圆的右焦点且与 x 轴垂直的直线与椭圆交于 P、Q 两点，椭圆的右准线

与 x 轴交于点 M，若△ PQM 为正三角形，则椭圆的离心率等于 _________ ．

7.已知椭圆 若

的上焦点为 F， 左、 右顶点分别为 B1， B2， 下顶点为 A， 直线 AB2 与直线 B1F 交于点 P， ，则椭圆的离心率为 _________ ．

8．如图，P 是椭圆

上的一点，F 是椭圆的左焦点，且

，

则点 P 到该椭圆左准线的距

离为 _________ ．

高二数学椭圆的离心率
参考答案与试题解析
一．填空题（共 16 小题） 1． （2013?辽宁）已知椭圆 的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交于 A，B 两点，连接 AF、BF，

若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF= ，则 C 的离心率 e=

．

考点： 椭圆的简单性质． 专题： 计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 设椭圆右焦点为 F'，连接 AF'、BF'，可得四边形 AFBF'为平行四边形，得|AF|=|BF'|=6．△ ABF 中利用余弦定理算
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出|BF|=8， 从而得到|AF| +|BF| =|AB| ， 得∠AFB=90°， 所以 c=|OF|= |AB|=5． 根据椭圆的定义得到 2a=|BF|+|BF'|=14， 得 a=7，最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆 C 的离心率． 解答： 解：设椭圆的右焦点为 F'，连接 AF'、BF' ∵AB 与 FF'互相平分，∴四边形 AFBF'为平行四边形，可得|AF|=|BF'|=6 ∵△ABF 中，|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF= ， ∴由余弦定理|AF| =|AB| +|BF| ﹣2|AB|×|BF|cos∠ABF， 可得 6 =10 +|BF| ﹣2×10×|BF|× ，解之得|BF|=8 由此可得，2a=|BF|+|BF'|=14，得 a=7 ∵△ABF 中，|AF| +|BF| =100=|AB|
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

∴∠AFB=90°，可得|OF|= |AB|=5，即 c=5 因此，椭圆 C 的离心率 e= = 故答案为：

点评： 本题给出椭圆经过中心的弦 AB 与左焦点构成三边分别为 6、8、10 的直角三角形，求椭圆的离心率．着重考查了 椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．

2． （2013?江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的标准方程为

（a＞b＞0） ，右焦点为 F，右准线为 l，短轴的

一个端点为 B，设原点到直线 BF 的距离为 d1，F 到 l 的距离为 d2，若 d2=

，则椭圆 C 的离心率为

．

考点： 椭圆的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 根据“d2= ”结合椭圆的半焦距，短半轴，长半轴构成直角三角形，再由等面积法可得 d1=
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，从而得到 a 与 b

的关系，可求得 ，从而求出离心率． 解答： 解：如图，准线 l：x= 由面积法得：d1= 若 d2= ，则
2

，d2=

，

， ，整理得 +（ ）﹣ a ﹣ab﹣ =0，解得
2

=0， ．

两边同除以 a ，得

∴e= 故答案为： ．

=

．

点评： 本题主要考查椭圆的几何性质，即通过半焦距，短半轴，长半轴构成的直角三角形来考查其离心率，还涉及了等面 积法．

3． （2012?四川）椭圆

为定值，且

的左焦点为 F，直线 x=m 与椭圆相交于点 A、B，△ FAB 的周长

的最大值是 12，则该椭圆的离心率是

．

考点： 椭圆的简单性质． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 先画出图象，结合图象以及椭圆的定义求出△ FAB 的周长的表达式，进而求出何时周长最大，即可求出椭圆的离心 率． 解答： 解：设椭圆的右焦点 E．如图： 由椭圆的定义得：△ FAB 的周长为：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB﹣AE﹣BE； ∵AE+BE≥AB； ∴AB﹣AE﹣BE≤0，当 AB 过点 E 时取等号； ∴△FAB 的周长：AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a； ∴△FAB 的周长的最大值是 4a=12?a=3；
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∴e= = 故答案： ．

= ．

点评： 本题主要考察椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是 解题的突破口． 4． （2010?资阳三模）在△ ABC 中，AB=BC，

．若以 A，B 为焦点的椭圆经过点 C，则该椭圆的离心率 e=

．

考点： 椭圆的简单性质；椭圆的应用． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 设 AB=BC=1， 则 离心率． 解答： 解：设 AB=BC=1， ∴ ，

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，由此可知

，从而求出该椭圆的

则 ．

，

答案： ． 点评： 本题考查椭圆的性质及应用，解题时要注意的正确选取．

5． （2007?福建）已知长方形 ABCD，AB=4，BC=3，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的离心率为

．

考点： 椭圆的简单性质． 专题： 压轴题． 分析： 2 2 由已知 c=2， =3?b =3a?a ﹣4=3a?a=4，由此可以求出该椭圆的离心率．
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解答： 解：∵AB=4，BC=3，A、B 为焦点， ∴c=2， ∴b =3a， 2 ∴a ﹣4=3a ∴a=4， ∴e= ．
2

=3，

故答案： ．

点评： 本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．

6． （2013?浙江模拟）设 F1，F2 是椭圆 C：

（a＞b＞0）的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点．若

AB⊥AF2，|AB|：|AF2|=3：4，则椭圆的离心率为

．

考点： 椭圆的简单性质． 专题： 计算题． 分析： 由 AB⊥AF2，|AB|：|AF2|=3：4，利用椭圆的定义可求得|AF1|=2，从而可得 a 的值，再由勾股定理可求得 2c 的值． 解答： 解：∵F1，F2 是椭圆 C + =1（a＞b＞0）的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，AB⊥AF2，|AB|：
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|AF2|=3：4，如图： ∴不妨令|AB|=3，|AF2|=4，再令|AF1|=x，由椭圆的定义得：|AF1|+|AF2|=2a，①|BF1|+|BF2|=2a② ①+②得：x+4+3﹣x+5=4a， ∴a=3，x=2． 在 Rt△ F1F2A 中， ∴4c =4+16=20， ∴c= ． ∴椭圆的离心率为 e= 故答案为： ． ．
2

=

+

，

点评： 本题考查椭圆的简单性质，突出考查椭圆的定义的应用，求得 a 与 c 的值是关键，考查转化与运算的能力，属于中 档题．

7． （2013?盐城一模）已知 F1、F2 分别是椭圆 的取值范围是 ．

的左、右焦点，点 P 是椭圆上的任意一点，则

考点： 椭圆的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 利用椭圆的性质：当|PF2|=a+c=
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，

时，即

取得最大值，

即可得出．

解答： 解：∵椭圆 ，∴a= ，b=2=c．

设 k=

=

，

则当|PF1|=|PF2|时，k 取得最小值 0； 当|PF2|=a+c= 得最大值． ∴k 的取值范围是 故答案为 点评： 熟练掌握椭圆的性质：当|PF2|=a+c= 值是解题的关键． ， 时，则 取得最大 ． ． ， 时，即 时，k= 取

8． （2013?盐城二模）椭圆

（a＞b＞0）的左焦点为 F，直线 x=m 与椭圆相交于 A，B 两点，若△ FAB 的周长最大

时，△ FAB 的面积为 ab，则椭圆的离心率为

．

考点： 椭圆的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 先画出图象，结合图象以及椭圆的定义求出△ FAB 的周长的表达式，进而求出何时周长最大，即可求出椭圆的离心 率． 解答： 解：设椭圆的右焦点 E．如图： 由椭圆的定义得：△ FAB 的周长为：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB﹣AE﹣BE； ∵AE+BE≥AB； ∴AB﹣AE﹣BE≤0，当 AB 过点 E 时取等号； ∴△FAB 的周长：AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a； ∴△FAB 的周长的最大值是 4a；
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此时，△ FAB 的面积为 ×2c× ∴a =2bc，平方得， 4 2 2 2 a =4（a ﹣c ）c 4 2 即 4e ﹣4e +1=0 ∴e= ． ．
2

=ab，

故答案为：

点评： 本题主要考查椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是 解题的突破口．

9． （2013?松江区二模）已知椭圆

内有两点 A（1，3） ，B（3，0） ，P 为椭圆上一点，则|PA|+|PB|的最大值为 15 ．

考点： 椭圆的简单性质． 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 根据椭圆的方程， 算出它的焦点坐标为 B （3， 0） 和 B' （﹣3， 0） ． 因此连接 PB'、 AB'， 根据椭圆的定义得|PA|+|PB|=|PA|+ （2a﹣|PB'|） =10+ （|PA|﹣|PB'|） ． 再由三角形两边之差小于第三边， 得到当且仅当点 P 在 AB'延长线上时， |PA|+|PB|= 10+|AB'|=15 达到最大值，从而得到本题答案． 解答：
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解：∵椭圆方程为

，

∴焦点坐标为 B（3，0）和 B'（﹣3，0） 连接 PB'、AB'，根据椭圆的定义，得|PB|+|PB'|=2a=10，可得|PB|=10﹣|PB'| 因此，|PA|+|PB|=|PA|+（10﹣|PB'|）=10+（|PA|﹣|PB'|） ∵|PA|﹣|PB'|≤|AB'| ∴|PA|+|PB|≤10+|AB'|=10+ 当且仅当点 P 在 AB'延长线上时，等号成立 综上所述，可得|PA|+|PB|的最大值为 15 故答案为：15 =10+5=15

点评： 本题给出椭圆内部一点 A，求椭圆上动点 P 与 A 点和一个焦点距离 B 和的最大值，着重考查了椭圆的定义、标准 方程和简单几何性质等知识，属于基础题．

10． （2012?浙江模拟）椭圆

，F1，F2 分别是其左、右焦点，若椭圆上存在点 P 满足|PF1|=2|PF2|，则 [ ，1） ．

该椭圆离心率的取值范围是

考点： 椭圆的简单性质． 专题： 计算题． 分析： 由椭圆的定义可得 e（x+
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）=2?e（

﹣x） ，解得 x=

，由题意可得﹣a≤

≤a，解不等式求得离心率 e 的取值

范围． 解答： 解：设点 P 的横坐标为 x，∵|PF1|=2|PF2|，则由椭圆的定义可得 e（x+ ∴x= ，由题意可得﹣a≤ ≤a， ）=2?e（ ﹣x） ，

∴ ≤e＜1，则该椭圆的离心率 e 的取值范围是[ ，1） ， 故答案为：[ ，1） 点评： 本题考查椭圆的定义，以及简单性质的应用，由椭圆的定义可得 e（x+ ）=2?e（ ﹣x） ，是解题的关键．

11． （2012?湘潭模拟） 设 A 为椭圆 设∠ABF=θ． （1）|AB|= （2）若 θ∈[ ， ；

（a＞b＞0） 上一点， 点 A 关于原点的对称点为 B， F 为椭圆的右焦点， 且 AF⊥BF，

]，则该椭圆离心率的取值范围为 [

，

] ．

考点： 椭圆的简单性质． 专题： 计算题． 分析： （1）设 A（x，y） ，B（﹣x，﹣y） ，F（c，0） ，由 AF⊥BF，可得
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=0，从而可得 x +y =c =a ﹣b ，|AB|=2|AO|，

2

2

2

2

2

代入可求 （2）设左焦点为 F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，根据 B 和 A 关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a， 又根据 O 是 Rt△ ABF 的斜边中点可知|AB|=2c，在 Rt△ ABF 中用 α 和 c 分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a 中 即可表示出 即离心率 e，进而根据 α 的范围确定 e 的范围．

解答： 解： （1）设 A（x，y） ，B（﹣x，﹣y） ，F（c，0） ， ∵AF⊥BF， ∴
2 2

=c ﹣x ﹣y =0
2 2 2

2

2

2

∴x +y =c =a ﹣b ∴|AB|=2|AO|=

（2）∵B 和 A 关于原点对称 ∴B 也在椭圆上 设左焦点为 F′ 根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a 又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a …① O 是 Rt△ ABF 的斜边中点，∴|AB|=2c 又|AF|=2csinα …② |BF|=2ccosα …③ ②③代入①2csinα+2ccosα=2a

∴e=

=

∵a∈[

π， π]

∴ π≤α+ π≤ π ∴ ∴ 故答案为：2 ； ≤sin（α+ π ）≤1

点评： 本题主要考查了椭圆的性质的应用，向量的基本运算性质及三角函数的性质的综合应用，解题时要特别利用好椭圆 的定义． 12． （2011?江苏模拟）从一块短轴长为 2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b ，4b ]， 则该椭圆离心率 e 的取值范围是 [ ， ] ．
2 2

考点： 椭圆的简单性质． 专题： 计算题． 分析： 先设出椭圆的标准方程，在第一象限内取点（x，y） ，设 x=acosθ，y=bsinθ，进而可表示出圆的内接矩形长和宽，
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进而表示出该矩形的面积，由 3b ≤2ab≤4b ，求得 3b≤2a≤4b，平方后，利用 b= 关系，进而求得 的范围，即离心率 e 的范围． 解答： 解：设椭圆的标准方程为 + =1，

2

2

代入求得 a 和 c 的不等式

在第一象限内取点（x，y） ，设 x=acosθ，y=bsinθ， （0＜θ＜ 则椭圆的内接矩形长为 2acosθ，宽为 2bsinθ， 内接矩形面积为 2acosθ?2bsinθ=2absin2θ≤2ab， 2 2 由已知得：3b ≤2ab≤4b ， 3b≤2a≤4b， 2 2 2 平方得：9b ≤4a ≤16b ， 2 2 2 2 2 9（a ﹣c ）≤4a ≤16（a ﹣c ） ， 2 2 2 2 5a ≤9c 且 12 a ≥16 c ， ∴ ≤ ≤ ， ] ， ]

）

即 e∈[

故答案为：[

点评： 本题主要考查了椭圆的简单性质，椭圆的应用和椭圆的参数方程的应用．考查了学生综合分析问题和基本的运算能 力．

13．已知 A，B，P 为椭圆

+

=1（m，n＞0）上不同的三点，且 A，B 连线经过坐标原点，若直线 PA，PB 的斜率乘积

kPA?kPB=﹣2，则该椭圆的离心率为

．

考点： 椭圆的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 根据双曲线的对称性可知 A，B 关于原点对称，设出 A，B 和 P 的坐标，把 A，B 点坐标代入双曲线方程可求得直 线 PA 和直线 PB 的斜率之积，进而求得 m 和 n 的关系，进而根据双曲线的离心率公式即可得出答案． 解答： 解：根据双曲线的对称性可知 A，B 关于原点对称，
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设 A（x1，y1） ，B（﹣x1，﹣y1） ，P（x，y） ， 则 ﹣ =1，有 kPA?kPB=﹣ =﹣2，∴ =2．

∴e=

=

=

．

故答案为：

．

点评： 本题主要考查了双曲线的简单性质．涉及了双曲线的对称性质，考查了学生对双曲线基础知识的全面掌握．

14． （2012?江苏一模）已知椭圆的方程为

，过椭圆的右焦点且与 x 轴垂直的直线与椭圆交于 P、Q

两点，椭圆的右准线与 x 轴交于点 M，若△ PQM 为正三角形，则椭圆的离心率等于

．

考点： 椭圆的简单性质． 专题： 计算题． 分析： 先求出 FQ 的长，直角三角形 FMQ 中，由边角关系得 tan30°=
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，建立关于离心率的方程，解方程求出离心率的

值． 解答： 解：由已知得 FQ= ，MF= ，

因为椭圆的方程为

，过椭圆的右焦点且与 x 轴垂直的直线与椭圆交于 P、Q 两点，

椭圆的右准线与 x 轴交于点 M，若△ PQM 为正三角形，

所以 tan30°=

=

=

= =e

所以 e=

， ．

故答案为：

点评： 本题考查椭圆的简单性质，直角三角形中的边角关系，解方程求离心率的大小．

15． （2011?新余一模）已知椭圆

的上焦点为 F，左、右顶点分别为 B1，B2，下顶点为 A，直线 AB2 ，则椭圆的离心率为 ．

与直线 B1F 交于点 P，若

考点： 椭圆的简单性质． 专题： 计算题． 分析： 求出直线 AB 的方程和直线 B F 的方程，联立方程组求得点 P 的坐标，由 2 1
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，可知 B2 为 AP 的中点，

由线段的中点公式建立关于 a、c 的方程，从而求出离心率 的值． 解答： 解：由题意得 F（0，c） ，B1（﹣b，0） ，B2 （b，0） ，A（0，﹣a） ． 直线 AB2 的方程为 直线 B1F 的方程为 ∵ ，即 ax﹣by﹣ab=0 ①． ，即 cx﹣by+cb=0 ②． 由①②得点 P （ ，∴a+c=2（a﹣c） ， ， ） ．

，∴B2 为 AP 的中点，∴2b=0+ ，

a=3c，∴ = ．椭圆的离心率为 故答案为： ．

点评： 本题考查直线的截距式方程，求两直线的交点坐标，椭圆的简单性质的应用．

16．如图，P 是椭圆 离为 ．

上的一点，F 是椭圆的左焦点，且

，

则点 P 到该椭圆左准线的距

考点： 椭圆的简单性质． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 由

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可以推出 Q 是线段 PF 的中点，由 P 在椭圆上及

，通过解方程组求得 P 点横坐标为

，再求出到左准线的距离． 解答： 解：∵ ∴Q 是线段 PF 的中点， ∵由 P 在椭圆上且 ，设 P（a，b） ，F（﹣4，0） ，Q（ ） ， ，

∴

，∴

，

椭圆左准线 x=﹣

． ．

∴点 P 到该椭圆左准线的距离 故答案： ．

点评： 该题考查向量的线性表示以及椭圆的几何性质，另外还考查运算能力．是中档题．