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黄冈中学2013届高三11月月考数学(理)


黄冈中学 2013 届 11 月月考数学试题(理)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. sin( ?1920? ) 的值为( )

A. ?

3 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D.

1 2

解析: sin( ?1920? ) = sin(240? ? 6 × 360? ) = sin(180? + 60? ) ,即原式 = ? sin 60? ,故 选 A. 答案:A 2.命题“ ?x ∈ R , x 2 > 0 ”的否定是( A. ?x ∈ R , x 2 ≤ 0 C. ?x ∈ R , x 2 < 0 ) B. ?x ∈ R , x 2 > 0 D. ?x ∈ R , x 2 ≤ 0

解析:全称命题的否定是特称命题,易知应选 D. 答案:D 3.已知集合 P = { 正奇数 } 和集合 M = {x | x = a ⊕ b, a ∈ P, b ∈ P} ,若 M ? P ,则 M 中 的运算“ ⊕ ”是( A.加法 ) B.除法

C.乘法

D.减法

解析:由已知集合 M 是集合 P 的子集,设 a = 2 m ? 1, b = 2 n ? 1( m, n ∈ N* ) , ∵ a ? b = (2m ? 1)(2n ? 1) = 4mn ? 2( m + n) + 1 = 2[2mn ? ( m + n) + 1] ? 1 ∈ P , ∴ M ? P ,而其它运算均不使结果属于集合 P ,故选 C. 答案:C 4.已知某几何体的侧视图与其正视图相同,相关的尺寸如下图所示,则这个几何体的体积 是( ) 4 正 视 图 A. 8π 1 侧视图 B. 7π C. 2π 3 俯视图 `D.

7π 4 3 7π 解析:依题意该几何体为一空心圆柱,故其体积 V = π [22 ? ( ) 2 ] × 1 = ,选 D. 2 4
答案:D 5.已知 A、B 两点分别在两条互相垂直的直线 2 x ? y = 0 和 x + ay = 0 上,且 AB 线段的

1

中点为 P (0, A.8

10 ) ,则线段 AB 的长为( a
B.9

) C.10 D.11

解析:由已知两直线互相垂直得 a = 2 ,∴线段 AB 中点为 P (0,5) ,且 AB 为直角三角 形 AOB 的斜边,由直角三角形的性质得 | AB |= 2 | PO |= 10 ,选 C. 答案:C 6.已知各项为正的等比数列 {an } 中, a4 与 a14 的等比中项为 2 2 ,则 2a7 + a11 的最小值 为( A.16 ) B.8 C. 2 2 D.4

解析:由已知 a4 a14 = (2 2) 2 = 8 ,再由等比数列的性质有 a4 a14 = a7 a11 = 8 , 又 a7 > 0 , a11 > 0 , 2a7 + a11 ≥ 2 2a7 a11 = 8 ,故选 B. 7. 设函数 f ( x ) = ?

? x 2 + bx + c , x ≥ 0 , 若 f (4) = f (0) , f (2) = 2 , 则函数 g ( x ) = f ( x ) ? x , x < 0 1 ?
) B.1 C.2 D.3

的零点的个数是( A.0 解析:已知即 ?

?16 + 4b + c = c ?b = ?4 ,∴ ? ,若 x ≥ 0 ,则 x 2 ? 4 x + 6 = x ,∴ x = 2 , 4 + 2 b + c = 2 c = 6 ? ?

或 x = 3 ;若 x < 0 ,则 x = 1舍去,故选 C. 答案:C 8.给出下列的四个式子:①

1? a 1+ a b b ,② ,③ ,④ ;已知其中至少有两个式 b b 1+ a 1? a
) B. a = sin 2θ , b = cos 2θ

子的值与 tan θ 的值相等,则( A. a = cos 2θ , b = sin 2θ C. a = sin

θ θ θ θ D. a = cos , b = sin , b = cos 2 2 2 2 sin θ sin 2θ 1 ? cos 2θ 解析:∵ tan θ = = = ,∴ a = cos 2θ , b = sin 2θ 时,式子①③ cosθ 1 + cos 2θ sin 2θ 与 tan θ 的值相等,故选 A.
答案:A 9.设集合 A =

{( x, y ) || x | + | y |≤ 1}, B = {( x, y ) ( y ? x)( y + x) ≤ 0} , M = A ∩ B ,若动


点 P ( x, y ) ∈ M ,则 x 2 + ( y ? 1) 2 的取值范围是(

A. [ , ]

1 5 2 2

B. [

2 5 , ] 2 2
2

C. [ ,

1 2

10 ] 2

D. [

2 10 , ] 2 2

解析:在同一直角坐标系中画出集合 A、B 所在区域,取交集后如 图,故 M 所表示的图象如图中阴影部分所示,而

d = x 2 + ( y ? 1) 2 表示的是 M 中的点到 (0,1) 的距离,从而易知
所求范围是 [ , ] ,选 A. 10.已知 O 为平面上的一个定点,A、B、C 是该平面上不共线的三个动点,点 P 满足条件

1 5 2 2

??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? OB + OC AB AC ? 则动点 P 的轨迹一定通 OP = +λ ( ??? + ???? ), λ ∈ (0, +∞) , 2 | AB | cos B | AC | cos C
) B.垂心 C.外心 D.内心

过 ?ABC 的( A.重心

??? ? ???? OB + OC ???? 解析:设线段 BC 的中点为 D,则 = OD , 2 ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? OB + OC AB AC ? ∴ OP = +λ ( ??? + ???? ) 2 | AB | cos B | AC | cos C ??? ? ???? ???? AB AC ? = OD + λ ( ??? + ???? ), | AB | cos B | AC | cos C ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? AB AC ? ∴ OP ? OD = λ ( ??? + ???? ) = DP , | AB | cos B | AC | cos C ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB AC AB ? BC AC ? BC ? ? ∴ DP ? BC = λ ( ??? + ???? ) ? BC = λ ( ??? + ???? ) | AB | cos B | AC | cos C | AB | cos B | AC | cos C ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? | AB || BC | cos(π ? B ) | AC || BC | cos C ??? ? ???? = λ( + ) = λ ( ? | BC | + | BC |) = 0 , | AB | cos B | AC | cos C
∴ DP ⊥ BC ,即点 P 一定在线段 BC 的垂直平分线上, 即动点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的外心,选 C. 答案:C 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案直接填在题中横线上. 11.



1 2 0

e 2 x dx = ______________.

解析:



1 2 0

1 1 2 e 2 x dx = e 2 x |0 = (e ? 1) . 2 2

1

答案:

1 (e ? 1) 2

12. 定义运算

a c z i 复数 z 满足 则复数 z 的模为_______________. = ad ? bc , = 1+ i , b d 1 i

3

解析:由

z i 1 + 2i = 2 ? i ,∴ z = 22 + (?1) 2 = 5 . = 1 + i 得 zi ? i = 1 + i ? z = 1 i i

答案: 5 13.已知方程 x 2 + y 2 + kx + 2 y + k 2 = 0 所表示的圆有最大的面积,则直线 y = ( k ? 1) x + 2 的倾斜角 α = _______________.

1 2 k + 4 ? 4k 2 ≤ 1 ,当有最大半径时有最大面积,此时 k = 0 , r = 1 ,∴ 2 3π 直线方程为 y = ? x + 2 ,设倾斜角为 α ,则由 tan α = ?1 且 α ∈ [0, π ) 得 α = . 4 3π 答案: 4
解析: r = 14. 已知函数 f ( x ) = x 2 ?m 是定义在区间 [ ?3 ? m, m 2 ? m] 上的奇函数, 则 f ( m) = _______. 解析:由已知必有 m2 ? m = 3 + m ,即 m2 ? 2m ? 3 = 0 ,∴ m = 3 ,或 m = ?1 ; 当 m = 3 时,函数即 f ( x ) = x ?1 ,而 x ∈ [ ?6, 6] ,∴ f ( x ) 在 x = 0 处无意义,故舍去; 当 m = ?1 时,函数即 f ( x ) = x 3 ,此时 x ∈ [ ?2, 2] ,∴ f ( m) = f ( ?1) = ( ?1) 3 = ?1 . 答案: ?1 15.在工程技术中,常用到双曲正弦函数 shx =

e x ? e? x e x + e? x 和双曲余弦函数 chx = , 2 2

双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多相类似的性质, 请类比正、余弦函数的和角或差角公式,写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个正确 的类似公式 .

e x + e? x e y + e? y e x ? e? x e y ? e? y 解析:由右边 = ? ? ? 2 2 2 2
= = 1 x+ y (e + e x? y + e? x+ y + e? x? y ? ex+ y + ex? y + e? x+ y ? e? x? y ) 4 1 e x? y + e?( x? y ) (2e x ? y + 2e ? ( x ? y ) ) = = ch( x ? y ) = 左边,故知. 4 2

答案:填入 c h ( x ? y ) = c hx c hy ? s hx s hy , c h ( x + y ) = c hx c hy + s hx s hy ,

sh ( x ? y ) = shx c hy ? chx s hy , sh ( x + y ) = shx c hy + chx s hy 四个之一即可.
三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,请给出各题详细的解答过程. 16. (本小题满分 12 分)已知数列 {a n }的前 n 项和为 S n ,且 4S n = an + 1(n ∈ N* ) .

4

(1)求 a1 , a2 ; (2)设 bn = log 3 | an | ,求数列 {bn } 的通项公式. 解答: (1)由已知 4S1 = a1 + 1 ,即 4a1 = a1 + 1 ,∴ a1 = 又 4S 2 = a2 + 1 ,即 4( a1 + a2 ) = a2 + 1 ,∴ a2 = ? ; (2)当 n > 1 时, an = Sn ? Sn ?1 =

1 , ……………………2 分 3
……………………5 分

1 9

1 1 (an + 1) ? ( a n ?1+ 1) , 4 4

即 3an = ?an ?1 ,易证数列各项不为零(注:可不证) , 故有

an 1 1 1 = ? 对 n ≥ 2 恒成立,∴ {a n } 是首项为 ,公比为 ? 的等比数列, 3 3 an ?1 3
1 1 n ?1 (? ) = (?1)n ?1 3?n , 3 3
……………………10 分 ……………………12 分

∴ an =

∴ bn = log 3 | an |= log 3 3? n = ?n . 17. (本小题满分 12 分)已知 p : f ( x) =

1? x , 且 | f (a) |< 2 ; 3

q :集合 A = {x | x 2 + (a + 2) x + 1 = 0, x ∈ R} ,且 A ≠ ? .
若 p ∨ q 为真命题, p ∧ q 为假命题,求实数 a 的取值范围. 解答:若 | f ( a) |=|

1? a |< 2 成立,则 ?6 < 1 ? a < 6 , 3
……………………4 分

即当 ?5 < a < 7 时 p 是真命题; 若 A ≠ ? ,则方程 x 2 + ( a + 2) x + 1 = 0 有实数根, 由 ? = ( a + 2) 2 ? 4 ≥ 0 ,解得 a ≤ ?4 ,或 a ≥ 0 , 即当 a ≤ ?4 ,或 a ≥ 0 时 q 是真命题;

……………………8 分

由于 p ∨ q 为真命题, p ∧ q 为假命题,∴ p 与 q 一真一假, 故知所求 a 的取值范围是 ( ?∞, ?5] ∪ ( ?4, 0) ∪ [7, +∞ ) . ……………………12 分

(注:结果中在端点处错一处扣 1 分,错两处扣 2 分,最多扣 2 分) 18. (本小题满分 12 分)已知 ?ABC 的两边长分别为 AB = 25 , AC = 39 ,且 O 为 ?ABC 外接圆的圆心. (注: 39 = 3 × 13 , 65 = 5 × 13 ) (1)若外接圆 O 的半径为 (2)求 AO ? BC 的值.

???? ??? ?

65 ,且角 B 为钝角,求 BC 边的长; 2

5

AB AC = = 2R , sin C sin B 25 39 3 5 ∴ ……………………3 分 = = 65 ,∴ sin B = , sin C = , sin C sin B 5 13 12 4 且 B 为钝角,∴ cos C = , cos B = ? , 13 5 3 12 5 4 16 ∴ sin( B + C ) = sin B cos C + sin C cos B = × + × (? ) = , 5 13 13 5 65 BC 又 = 2 R ,∴ BC = 2 R sin A = 65sin( B + C ) = 16 ; ……………………6 分 sin A ???? ???? ???? ???? ???? ???? 2 (2)由已知 AO + OC = AC ,∴ ( AO + OC ) 2 = AC ,
解答: (1)由正弦定理有 即 | AO |2 +2 AO ? OC + | OC |2 =| AC |2 = 39 2

????

???? ???? ??? ?

????

????

……………………8 分

同理 AO + OB = AB ,∴ | AO |2 +2 AO ? OB + | OB |2 =| AB |2 = 252 , …………10 分 两式相减得 2 AO ? OC ? 2 AO ? OB = (39 ? 25)(39 + 25) = 896 , 即 2 AO ? BC = 896 ,∴ AO ? BC = 448 . 19. (本小题满分 12 分) 在如图所示的多面体 ABCDE 中,AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD, AC=AD=CD=DE=2,AB=1,G 为 AD 中点. (1)请在线段 CE 上找到点 F 的位置,使得恰有 直线 BF∥平面 ACD,并证明这一事实; (2) 求平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角的大 小; (3)求点 G 到平面 BCE 的距离. 解法一:以 D 点为原点建立如图所示的空间直角 坐标系,使得 x 轴和 z 轴的正半轴分别经过点 A 和点 E,则各点的坐标为 D (0, 0, 0) , A (2, 0, 0) ,

???? ??? ?

????

???? ??? ?

??? ?

??? ?

???? ????

???? ??? ?

???? ??? ?

???? ??? ?

……………………12 分 E

B

A

G

D

C

z
E

E (0, 0, 2) , B (2, 0,1) , C (1, 3, 0) ,
(1)点 F 应是线段 CE 的中点,下面证明: 设 F 是线段 CE 的中点,则点 F 的坐标为 ??? ? 1 3 3 3 F( , ,1) ,∴ BF = (? , , 0) , 2 2 2 2 显然 BF 与平面 xOy 平行,此即证得 BF∥平面 C ACD; ……………………4 分 (2)设平面 BCE 的法向量为 n = ( x, y, z ) , 则 n ⊥ CB ,且 n ⊥ CE ,
6

B

F

x A

G

D

??? ?

y

?

?

??? ?

?

??? ?

由 CB = (1, ? 3,1) , CE = ( ?1, ? 3, 2) , ∴?

??? ?

??? ?

? ?x ? 3y + z = 0 ? ?? x ? 3 y + 2 z = 0

,不妨设 y =

? ?x = 1 3 ,则 ? ,即 n = (1, 3, 2) , ?z = 2
……………………8 分

? n ? (0, 0,1) 2 π ∴所求角 θ 满足 cos θ = ? ,∴ θ = ; = 2 4 |n|
(3)由已知 G 点坐标为(1,0,0) ,∴ BG = ( ?1, 0, ?1) , 由(2)平面 BCE 的法向量为 n = (1, 3, 2) ,

??? ?

?

??? ? ? BG ? n 3 ∴所求距离 d =| ? |= 2. 4 |n|

……………………12 分

解法二: (1)由已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,∴AB//ED, 设 F 为线段 CE 的中点,H 是线段 CD 的中点,

// 1 ED ,∴ FH = // AB , 连接 FH,则 FH = 2 ∴四边形 ABFH 是平行四边形,∴ BF // AH ,

…………………2 分

由 BF ? 平面 ACD 内, AH ? 平面 ACD,∴ BF // 平面 ACD; (2)由已知条件可知 ?ACD 即为 ?BCE 在平面 ACD 上的射影, 设所求的二面角的大小为 θ ,则 cos θ =

……………4 分

S ?ACD , S?BCE

……………………6 分

易求得 BC=BE = 5 ,CE = 2 2 ,

E

∴ S ?BCE =

1 CE | CE | × BE 2 ? ( ) 2 = 6 , 2 2 3 | AC |2 = 3 , 4

B

而 S ?ACD =

A

G C

D

∴ cos θ =

S ?ACD 2 π ,而 0 < θ < , = S ?BCE 2 2

∴θ =

π ; 4

………………8 分

(3)连结 BG、CG、EG,得三棱锥 C—BGE, 由 ED ⊥ 平面 ACD,∴平面 ABED ⊥ 平面 ACD , 又 CG ⊥ AD ,∴ CG ⊥ 平面 ABED, 设 G 点到平面 BCE 的距离为 h ,则 VC ? BGE = VG ? BCE 即

1 1 S ?BGE × GC = S ?BCE × h , 3 3

7

由 S ?BGE =

3 , S ?BCE = 6 , CG = 3 , 2

3 S ?BGE × GC 2 3 3 ∴h= ………………12 分 = = 2 即为点 G 到平面 BCE 的距离. S?BCE 4 6
20. (本小题满分 13 分)已知椭圆

x2 a2

+

y2 b2

= 1 ( a > b > 0) 的一个顶点为 B (0, 4) ,离心率

e=

5 ,直线 l 交椭圆于 M、N 两点. 5

(1)若直线 l 的方程为 y = x ? 4 ,求弦 MN 的长; (2)如果ΔBMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F,求直线 l 方程的一般式. 解答: (1)由已知 b = 4 ,且

c 5 c2 1 ,即 2 = , = a 5 5 a

a 2 ? b2 1 x2 y2 2 ∴ ,解得 ,∴椭圆方程为 = a = 20 + = 1 ; ……………………3 分 20 16 5 a2
由 4 x 2 + 5 y 2 = 80 与 y = x ? 4 联立, 消去 y 得 9 x 2 ? 40 x = 0 ,∴ x1 = 0 , x2 =
2

40 , 9
……………………6 分

∴所求弦长 | MN |= 1 + 1 | x2 ? x1 |= (2)椭圆右焦点 F 的坐标为 (2, 0) , 设线段 MN 的中点为 Q ( x0 , y0 ) ,

40 2 ; 9

由三角形重心的性质知 BF = 2 FQ ,又 B (0, 4) , ∴ (2. ? 4) = 2( x0 ? 2, y0 ) ,故得 x0 = 3, y0 = ?2 , 求得 Q 的坐标为 (3, ?2) ; 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) ,则 x1 + x2 = 6, y1 + y2 = ?4 ,
2 x1 y2 x2 y 2 + 1 = 1, 2 + 2 = 1 , 20 16 20 16

??? ?

??? ?

……………………9 分



……………………11 分

8

以上两式相减得

( x1 + x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 + y 2 )( y1 ? y 2 ) + =0, 20 16

∴ kMN =

y1 ? y2 4 x +x 4 6 6 =? i 1 2 =? i = , x1 ? x2 5 y1 + y2 5 ?4 5
……………………13 分

6 故直线 MN 的方程为 y + 2 = ( x ? 3) ,即 6 x ? 5 y ? 28 = 0 . 5 (注:直线方程没用一般式给出但结果正确的扣 1 分)
21. (本小题满分 14 分) 已知函数 g ( x ) =

1 且 θ ∈ (0, π ) , + ln x在 [1, +∞ ) 上为增函数, x ? sin θ

f ( x ) = mx ?

m ? 1 + 2e ? ln x , m ∈ R . x

(1)求 θ 的值; (2)当 m = 0 时,求函数 f ( x ) 的单调区间和极值; (3)若在 [1, e ] 上至少存在一个 x0 ,使得 f ( x0 ) > g ( x0 ) 成立,求 m 的取值范围. 解答: (1)由已知 g / ( x ) = ? 即

1 1 + ≥ 0 在 [1, +∞ ) 上恒成立, 2 x sin θ ? x

sin θ ? x ? 1 ≥ 0 ,∵ θ ∈ (0, π ) ,∴ sin θ > 0 , sin θ ? x 2

故 sin θ ? x ? 1 ≥ 0 在 [1, +∞ ) 上恒成立,只需 sin θ ? 1 ? 1 ≥ 0 , 即 sin θ ≥ 1 ,∴只有 sin θ = 1 ,由 θ ∈ (0, π ) 知 θ = (2)∵ m = 0 ,∴ f ( x ) = ?

π ; 2

……………………4 分

?1 + 2e ? ln x , x ∈ (0, +∞) , x 2e ? 1 1 2e ? 1 ? x ∴ f / ( x) = , ? = x2 x x2
令 f / ( x) = 0 ,则 x = 2e ? 1 ∈ (0, +∞ ) , ∴ x , f / ( x) 和 f ( x ) 的变化情况如下表:

x

(0, 2e ? 1)
+

2e ? 1
0 极大值

(2e ? 1, +∞) ?

f / ( x)

f ( x)



f (2e ? 1) = ?1 ? ln(2e ? 1)



即函数的单调递增区间是 (0, 2e ? 1) ,递减区间为 (2e ? 1, +∞ ) ,

9

有极大值 f (2e ? 1) = ?1 ? ln(2e ? 1) ; (3)令 F ( x ) = f ( x ) ? g ( x ) = mx ?

……………………9 分

m + 2e ? 2ln x , x m 2e 当 m ≤ 0 时,由 x ∈ [1, e] 有 mx ? ≤ 0 ,且 ?2ln x ? <0, x x
∴此时不存在 x0 ∈ [1, e] 使得 f ( x0 ) > g ( x0 ) 成立;

m + 2e 2 mx 2 ? 2 x + m + 2e 当 m > 0 时, F ( x) = m + , ? = x x2 x2
/

∵ x ∈ [1, e] ,∴ 2e ? 2 x ≥ 0 ,又 mx 2 + m > 0 ,∴ F / ( x ) > 0 在 [1, e ] 上恒成立, 故 F ( x ) 在 [1, e ] 上单调递增,∴ F ( x ) max = F (e ) = me ?

m ? 4, e

m 4e , ? 4 > 0 ,则 m > 2 e e ?1 4e 故所求 m 的取值范围为 ( 2 , +∞ ) . e ?1
令 me ?

……………………14 分

10


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