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高二数学两条直线的位置关系


两条直线的位置关系 两条直线的位置关系(1)
一、知识小结
1.行列式方法研究直线位置关系: 设直角坐标平面上两条直线的方程分别为 l1 : a1 x ? b1 y ? c1 ? 0 , l2 : a2 x ? b2 y ? c2 ? 0 ,则在二
a ? a x ? b1 y ? ?c1 元一次方程组 ? 1 中(其中 a1 、 b1 不全为零, a 2 、 b2 不全为零);记 D ? 1 a2 ?a2 x ? b2 y ? ?c2 b1 b2

为方程组的系数行列式;记 Dx ? 知识:

?c1 ?c2

b1 a , Dy ? 1 b2 a2

?c1 ,则根据我们之前学过的行列式 ?c2

? D Dy ? (1)若 D ? 0 ,则方程组有唯一一组解,此时两条直线相交于一点,交点坐标为 ? x , ?; ? D D ?

(2)若 D ? 0 ,且 Dx 、 Dy 中至少有一个不为零,则方程组无解,此时两条直线无交点,即 两条直线平行; (3)若 D ? Dx ? Dy ? 0 ,则方程组有无穷多解,此时两条直线有无穷多个交点,即两条直 线重合. 2.两条直线的位置关系: 设有直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,当它们的斜率存在时,把它们的斜率 记为 k1 、 k 2 ,在 y 轴上的截距记为 b1 、 b2 : (1)若 l1
l2 ,则 k1 ? k2 且 b1 ? b2 ,或 k1 与 k 2 均不存在,写成系数的关系即为
A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2

(假设 A2 、 B2 、 C2 都不为 0)或 B1 ? B2 ? 0 . 我们可以把两条直线的方程化为 x 和 y 的系数对应相同的形式,设为 l1' : Ax ? By ? C1' ? 0 ,
' ' l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,那么这时 l1 与 l2 之间距离为 d ?

C '1 ? C '2 A2 ? B2



(2)若 l1 与 l2 相交,则

A1 B1 ? (假设 A2 、 B2 不为 0) (交点坐标由 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , A2 B2

l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 组成的方程组的解确定) ;

两直线的夹角公式为 cos? ?

A1 A2 ? B1 B2
2 2 A ? B12 ? A2 ? B2 2 1

特别地,当 l1 ? l2 时,必有 k1 ? k2 ? ?1? A1 A2 ? B1B2 ? 0? 或 k1 ? 0 , k 2 不存在,或 k2 ? 0 , k1 不 存在. 3.点到直线的距离 (1)已知点 P ? x0 , y0 ? 和直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,则 P 到直线 l 的距离 d ? (2)记 ? ?
Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2



,当点 P ? x0 , y0 ? 在法向量 n ? ? a, b ? 指向的同侧时, ? 为正;当点

P ? x0 , y0 ? 在法向量 n ? ? a, b ? 指向的异侧时, ? 为负;当点 P ? x0 , y0 ? 在直线上时, ? ? 0 .

二、应用举例
例 1、若点 M ? x, y ? 在线段 x ? y ? 1 , x ? ? 0,1? 上移动(不包括端点) ,则 __________.
2 2 ? 的最小值是 x y

例 2、直线 ? 2k ? 1? x ? ? k ? 3? y ? ?k ? 1? ? 0 恒过定点_____________.

两条直线的位置关系 两条直线的位置关系(2)
1.填空题 例 4.过 l1 : 3x ? 2 y ? 1 ? 0 和 l2 : 5x ? 2 y ? 1 ? 0 的交点且和 l3 : 3x ? 5 y ? 6 ? 0 垂直的直线 l 的方 程是___________

1 π 例 5、已知 0 ≤? ≤ ,当点 ?1,cos? ? 到直线 x sin ? ? y cos ? ? 1 ? 0 的距离是 时,这条直线 4 2 的斜率为____________.

例 6、 △ ABC 中, A ?1,5? ,高 BE 、 CF 所在的直线方程分别为 x ? 2 y ? 0 和 x ? 5 y ? 10 ? 0 , 则 BC 所在直线的方程为_____________ 例 6 拓展、 △ ABC 中, A ?1,5? ,角 B 、角 C 的角平分线分别为 x ? 2 y ? 0 和 x ? 5 y ? 10 ? 0 , 则 BC 所在直线的方程为_____________ 例 6 拓展、 △ ABC 中, A ?1, 5? , AB , AC 边上的中线 CF , BE 分别为 x ? 2 y ? 0 和
x ? 5 y ? 10 ? 0 ,则 BC 所在直线的方程为_____________、

例 7 、 平 行四边 形 ABCD 的 一条 对角线 固定 在 A? 3, ?1? , C ? 2, ?3? 两 点, D 点 在直 线
3x ? y ? 1 ? 0 上移动,则 B 点轨迹所在的方程为



例 8、由方程 x ? 1 ? y ? 1 ? 2 确定的曲线所围成的面积是__________________.

两条直线的位置关系 两条直线的位置关系(3)
一、应用举例:
1、填空题 例 10、 已知 A ? 0,0 ? ,B ? a, b ? 两点, 其中 ab ? 0 ,P1 是 AB 的中点,P2 是 BP 1 的中点,P 3是P 1P 2 中点,……, Pn ? 2 是 Pn Pn ?1 的中点,……,则点 Pn 的极限位置是什么?

2.选择题 例 11、直线 l1 : ? m ? 1? x ? 5 y ? 2m ? 0 与 l2 : ? m ? 1? x ? m2 ? 1 y ? 4 ? 0 平行,则 m 为( (A) ?2 (B) ?1 (C) ?2 或 ?1 (D)不存在

?

?

).

? y ?3 ? ? 1? , N ? ?? x, y ? y ? x ? 1? ,则集 例 12、设全集 I ? ?? x, y ? x ? R, y ? R? , M ? ?? x, y ? x?2 ? ?

合M

N 等于(

) . (B) ?? 2,3??

(A) ?

两条直线的位置关系 两条直线的位置关系(4)
一、应用举例:
1.解答题 例 19、已知三条直线 l1 : 2 x ? y ? 1 ? 0 , l2 : mx ? y ? 0 , l3 : 2 x ? 3my ? 2 ? 0 ,若这三条直线不 能构成三角形,求 m 的值.

例 20、设集合 L ? ?l 直线 l 与直线 y ? 2 x 相交,且以交点的横坐标为斜率 } (1)点 ? ?2,2 ? 到 L 中哪条直线距离最小? (2)设 a ? R ? ,点 P ? ?2, a ? 到 L 中的直线距离的最小值设为 d min ,求 d min 的解析式.

例 21、A 是直线 l : y ? 3x 上在第一象限内的点,B ? 3, 2 ? 为定点, 直线 AB 交 x 轴正半轴于 C , 求 △OAC 面积的最小值,并求此时 A 点坐标.

(C) ? 2,3?

(D) ?? x, y ? y ? x ? 1?


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