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第3章 3.1三角公式的应用


两角和的正弦、余弦、正切公式
1.两角和的正弦公式 S(α+β):sin(α+β)= 2.两角和的余弦公式 C(α+β):cos(α+β)= 3.两角和的正切公式

sin αcos β+cos αsin β

.

cos αcos β-sin αsin β

.

tan α+tan β 1-tan αtan β T(α+β):tan(α+β)=________________ .

两角差的正弦、余弦、正切公式
1.两角差的正弦公式 S(α-β):sin(α-β)= 2.两角和的余弦公式 C(α-β):cos(α-β)= 3.两角和的正切公式

sin αcos β-cos αsin β

.

cos αcos β+sin αsin β

.

tan α-tan β . 1 + tan α tan β T(α-β):tan(α-β)=________________.

5.A,B,C 是△ABC 的三个内角,且 tan A,tan B 是 方程 3x2-5x+1=0 的两个实数根,则△ABC 是( A ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.无法确定 6.化简 tan 10° tan 20° +tan 20° tan 60° +tan 60° tan 10° 的值等于( A ) A.1 B.2 C.tan 10° D. 3tan 20°

1 1 10.已知 tan(α-β)= ,tan β=- ,且 α,β∈(0,π), 2 7 求 2α-β 的值.

例3

求下列各式的值:

解题:公式的变形应用

3+tan 15° (1) ;(2)tan 15° +tan 30° +tan 15° tan 30° . 1- 3tan 15°
解 tan 60° +tan 15° (1)原式= =tan(60° +15° ) 1-tan 60° tan 15°

3 tan 30° +tan 45° 3 +1 =tan 75° =tan(30° +45° )= = =2+ 3. 1-tan 30° tan 45° 3 1- 3 tan 15° +tan 30° (2)∵tan 45° = =1, 1-tan 15° tan 30°

∴tan 15° +tan 30° =1-tan 15° tan 30°

∴原式=(1-tan 15° tan 30° )+tan 15° tan 30° =1.

3.

1-tan27.5°

3 1- 2 tan 7.5° =________.

1 2tan 7.5° 1 解析 原式=2· =2· tan 15° 2 1-tan 7.5°
3-1 1 1 3 =2tan(60° -45° )=2× =1- 2 . 1+ 3

解题:公式的变形应用 练习 2:求值:tan 20° +tan 40° + 3tan 20° tan 40° .
解 方法一 ∵tan 20° +tan 40°

=tan 60° (1-tan 20° tan 40° ), ∴原式=tan 60° (1-tan 20° tan 40° )+ 3tan 20° tan 40° = 3- 3tan 20° tan 40° + 3tan 20° tan 40° = 3.
方法二 tan 20° +tan 40° ∵tan 20° tan 40° =1- tan?20° +40° ?

1 =1- (tan 20° +tan 40° ), 3

∴原式=tan 20° +tan 40° + 3-(tan 20° +tan 40° )= 3.

二倍角的正弦、余弦、正切公式

倍角公式

α α 2sin α cos α (1)S2α:sin 2α= ,sin cos = 2sin α ; 2 2 (2)C2α:cos 2α= cos α-sin α = 2cos α-1 = 2tan α 2 1 - tan α . (3)T2α:tan 2α=
2 2

1

2

1-2sin2α



练习:求下列各式的值 例1 求下列各式的值:

(1)sin15? cos15? (2) cos
2

?

8 8 tan 22.5? (3) 1 ? tan 2 22.5? 2 (4)2 cos 22.5? ? 1

? sin

2

?
解题:公式的应用

π 4π 2.sin -cos 等于 12 12
4

( B ) 1 C. 2 3 D. 2

1 A.- 2
解析

3 B.- 2

? ?? ? 2π 2π 2π 2π ?sin -cos ? 原式=?sin 12+cos 12?· 12 12? ? ??

? ? 2π 2π =-?cos 12-sin 12?=-cos ? ?

π 3 =- . 6 2

4.已知

? π? 2 cos?x-4 ?= ,则 ? ? 10

24 - sin 2x=________. 25

解:

sin

?π ? ? π? 2x=cos?2-2x?=cos?2x-2? ? ? ? ?

=cos

? ? π? π? 2 2?x-4?=2cos ?x-4?-1 ? ? ? ?

? 2? 24 ? ?2 =2×? ? -1=-25. ? 10 ?

解题:公式的应用

跟踪训练 1

求值:(1)cos 20° · cos 40° · cos 80° ;

(2)tan 70° · cos 10° · ( 3tan 20° -1).



2sin 20° · cos 20° · cos 40° · cos 80° (1)原式= 2sin 20°

2sin 40° · cos 40° · cos 80° = 4sin 20°
? sin 20° ? sin 70° ? 3 -1? (2)原式= · cos 10° · cos 70° ? cos 20° ?

2sin 80° · cos 80° sin 160° 1 =8sin 20° =8. = 8sin 20°

? 3sin 20° ? sin 70° -cos 20° ? ? =cos 70° · cos 10° · ? ? cos 20° ? ?

? 3 ? 1 cos 20° - cos 20° ? sin 20° ? 2 = · cos 10° · 2? 2 ? sin 20° cos 20° ? ?

2cos 10° = · (sin 20° cos 30° -cos 20° sin 30° ) sin 20°

2cos 10° · sin?-10° ? = sin 20°

-sin 20° = sin 20° =-1.


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