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广东省深圳市翠园中学高二数学上学期期末考试试题 理 新人教A版


翠园中学 2014-2015 高二上学期期末考试 数学理试题
(考试时间:120 分钟,满分:150) 命题人: 朱建国 杨玉红 一. 选择题:本大题共 8 小题,在下列每小题给出的四个结论中有且只有一个正确,请把 正确的结论填涂在答题卡上.每小题 5 分,满分 40 分. 1 .复数 z ?

1 ,则 | z |? ( i ?1
B.



A.

1 2

2 2

C. 2

D. 2

2.以抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( A. x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 C. x2 ? y 2 ? x ? 0 B. x 2 ? y 2 ? x ? 0 D. x2 ? y 2 ? 2 x ? 0

)

3. 已知命题 P: ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 ,那么下列结论正确的是( A. ?P : ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 C. ?P : ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 2 ? 0



B. ?P : ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 D. ?P : ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 )

4. 若椭圆经过原点,且焦点为 F 1 ? ?1,0?、F 2 ? ?3,0? ,则其离心率为( A.

1 4

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4


5. 已知集合 A ? ?1, a? , B ? ?1, 2,3? ,则“ a ? 3 ”是“ A ? B ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 6..曲线 y ? x ?
2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) D. x ? y ? 1 ? 0

1 在点 P ?1, 2 ? 处的切线方程是( x
B. x ? y ? 1 ? 0

A. x ? y ? 1 ? 0

C. x ? y ? 1 ? 0

7.已知点 O 为坐标原点,点 A(1,0,0) 、点 B(1,1,0) ,则下列各向量中是平面 AOB 的一个法 向量的是( ) (B) (1,0,1) .
2 2

(A) (1,1,1) .

(C) (0,1,1) .

(D) (0,0,1) .

o 8.已知 F1 、 F2 为双曲线 C : x ? y ? 1 的左、右焦点,点 P 在 C 上, ?F 1PF 2 ? 60 ,则

1

点 P 到 x 轴的距离为( (A)

) (B)

3 2

6 2

(C)

3

(D)

6

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 9. 《论语·学路》篇中说:“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐不兴; 礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足;所以,名不正,则民无所措手足.” 上述推理用的是_______________。 (在类比推理、归纳推理、演绎推理中选填一项) 10. 已 知 正 方 体 A B C ? DA1 B1C1 D1 中 , 点 F 是 侧 面 C D 1 D C1 的 中 心 , 若

AF ? AD ? x AB ? y AA1 ,则 x ? y 等于_______。
11.观察下列等式:
(1 ? 1) ? 2 ? 1 (2 ? 1)(2 ? 2) ? 22 ? 1 ? 3 (3 ? 1)(3 ? 2)(3 ? 3) ? 23 ? 1 ? 3 ? 5

照 此 规 律 , 第 n 个 等 ___________________________________________________. 12. 求值







?e
?1

1

x

dx ? _____

13.设抛物线 y 2 ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 为抛物线上一点, PA ? l , A 为垂足。 如果直线 AF 的斜率为 - 3 ,那么 PF ? __________。 14.做一个封闭的圆柱形锅炉,容积为 V ,若两个底面使用的材料与侧面的材料相同,问 锅炉的高与底面半径的比为__________时,造价最低。 三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 12 分)已知命题 p : ?x ? ?1, e ? , a ?

ln x , x

命题 q : ?x ? R, x2 ? 4 x ? a ? 0 。若命题“ p ? q ” 是真命题,求实数 a 的取值范围。

16. (本题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ax ? cx ? d ? a ? 0? 在 R 上满足 f ? ? x ? ? ? f ? x ? ,
3

2

当 x ? 1 时 f ? x ? 取得极值-2。 (1) f ? x ? 的解析式。 (2) 求 f ? x ? 的单调区间和极大值。 17. (本题满分 14 分) 如图, 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,A1 A ? 点 E 为 AB 中点。 (1)求直线 A1 D 与直线 CE 所成角的余弦值。 (2)求二面角 D1 ? EC ? A 的大小。 A1 B1 D1 C1

2 , AD ? 1, DC ? 2 ,

D

C

A

E

B

18.(本小题满分 14 分)首项为正数的数列 ?an ? 满足 an ?1 (I)证明:若 a1 为奇数,则对一切 n ? 2, an 都是奇数; (II)若对一切 n ? N ? 都有 an ?1

?

1 2 (an ? 3), n ? N ? . 4

? an ,求 a1 的取值范围。

3

19. (本小题共 14 分) 在平面直角坐标系 xoy 中, 点 B 与点 A ? ?1,1? 关于原点 O 对称,P 是 动点,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 ? (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x ? 3 交于点 M 、N ,问:是否存在点 P ,使得 ?PAB 与

1 . 3

?PMN 的面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由。

20. (本题满分 14 分)已知函数

?( x 2 ? 2ax)e x , x ? 0 f ( x) ? ? , g ( x) ? c ln x ? b, 且x ? 2 bx , x ? 0 , ?

?0 直线 l 是函数 y ? f ( x) 的图象在点 (2, f (2)) 处 , g ( x) ? c ln x ? b, 且x ? 2 是函数 y ? f ? x ? 的极值点, 0,
的切线。 (I)求实数 a 的值和直线 l 的方程。 (II)若直线 l 与函数 y ? g ( x) 的图象相切于点 P( x0 , y0 ), x0 的取值范围。

?[e ?1 , e] ,求实数 b

翠园中学高二数学(理)试卷参考答案 一、选择题: BDBB ACDB

4

二、填空题: 9.演绎推理 10. 0 11. (n ? 1)(n ? 2)(n ? 3)?(n ? n) ? 2 12.
n

?1? 3 ? 5?? (2n ?1)

2e ? 2

13.8 14.2:1 三、解答题: 15.解:设 f ? x ? ?

ln x 1 ? ln x ?1 ? x ? e ? ,则 f ' ? x ? ? 2 x x

' 又 1 ? x ? e ,∴ 1 ? ln x ? 0 ,即 f ? x ? ? 0

∴ f ? x ? 在 ?1, e? 递增

f ? x ?max ? f ? e ? ?

1 e 1 …………………………………………………6 分 e

由已知得,命题 p : a ?

由命题 q ,有 ? ? 16 ? 4a ? 0 即 a ? 4 …………………………………………8 分 又命题 " p ? q " 是真命题 ∴a ?

1 1 且 a ? 4 成立,即 ? a ? 4 ……………………………………………11 分 e e

故 实数 a 的取值范围是 ? , 4 ? ………………………………………………12 分 e 16 . 解 :( 1 ) 由 f ? ? x f ? ? ??

?1 ?

? ?

x ??

x ?? R 得 : d ? 0 , ∴ f ? x ? ? ax3 ? cx ,

f ' ? x ? ? 3ax2 ? c ……………………………………………………2 分
由题设 f ?1? ? ?2 为 f ( x) 的极值,必有 f ?1? ? 0
'

∴?

?a ? c ? ?2 ? 3a ? c ? 0

∴解得 a ? 1, c ? ?3
3

∴ 所求的解析式为 f ? x ? ? x ? 3x …………………………………………6 分

(2) 由(1)知, f ? x ? ? x ? 3x
3

5

∴ f ' ? x ? ? 3x2 ? 3 ? 3? x ? 1?? x ?1? ,从而 f ' ?1? ? f ' ? ?1? ? 0 …………8 分 当 x ? ? ??, ?1? 时, f ' ? x ? ? 0 ,则 f ? x ? 在 ? ??, ?1? 上是增函数; 当 x ? ? ?1,1? 时, f ' ? x ? ? 0 ,则 f ? x ? 在 ? ?1,1? 上是减函数; 当 x ? ?1, ?? ? 时, f ' ? x ? ? 0 ,则 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上是增函数…………11 分 ∴ f ? ?1? ? 2 为极大值. …………12 分

17.解: (1)连接 B1C、B1E ,由题意 B1C P A1D ,则?B1CE即为直线A 1D与CE所成角 ----------------------------------2 分 在长方体中, A1 A ? 2 , AD ? 1, DC ? 2, E 为 AB 中点有 B1C ? B1E ? 3, EC ?

2

1 1 EC 2 6 ? 2 ? 又在等腰 VB1EC 中,有 cos ?B1CE ? 2 ----------------------6 B1C 6 3
分 故

CE 所成角的余弦值为 直线 A 1D 与

6 -----------------------------7 分 6

(2) 连 DE ,由条件得 DE ? CE ?

2 ,又 DC ? 2

2 2 2 在 V DEC 中, DE ? EC ? CD ,∴ DE ? EC

D1 B1

C1

又根据已知得

D1D ? EC ,且 D1D ? DE ? D
A1

∴ EC ? 平面 D1DE , D1E ? 平面 D1DE ∴ EC ? D1E ∴ ?D1 ED 即为所求的角。-------------11 分 在△ D1DE 中, tan ?D1ED ?

D

C

D1D 2 = =1 DE 2

A

E

B

又 ?D1ED 为锐角,∴ ?D1ED ? 45o 故二面角 D1 ? EC ? A 的大小为 45 --------------------------------------14 分
o

6

18.解: (I)18.解: (I) (1)已知 a1 是奇数,设 a1 ? 2k ? 1(k 为正整数) 当 n ? 2 时, a 2 ?

1 2 a1 ? 3 ? k ?k ? 1? ? 1 (k 为正整数)为奇数,结论得证。 4
-------------------------------3 分

?

?

(2)假设 ak ? 2m ?1 ( k ? 2 是奇数,其中 m 为正整数) 则由递推关系得 ak ?1 ?

ak 2 ? 3 ? m(m ? 1) ? 1 是奇数。 4

由(1)和(2)根据数学归纳法,对任何正整数 n ? 2 , an 都是奇数。---------7 分 (II) (方法一)由 an ?1 ? an ?

1 (an ? 1)(an ? 3) 知, 4
----------------------------9 分

an?1 ? an 当且仅当 an ? 1 或 an ? 3 。
另一方面,若 0 ? ak ? 1, 则 0 ? ak ?1 ?

1? 3 ? 1; 4

32 ? 3 ? 3. --------------------11 分 若 ak ? 3 ,则 ak ?1 ? 4
根据数学归纳法,

0 ? a1 ? 1, ? 0 ? an ? 1, ?n ? N? ; a1 ? 3 ? an ? 3, ?n ? N? .
综合所述,对一切 n ? N ? 都有 an?1 ? an 的充要条件是 0 ? a1 ? 1或 a1 ? 3 。--------14 分 (方法二)由 a2 ?

a12 ? 3 ? a1 , 得 a12 ? 4a1 ? 3 ? 0, 于是 0 ? a1 ? 1或 a1 ? 3 。 4

an?1 ? an ?

an 2 ? 3 an ?12 ? 3 (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ) ? ? , 4 4 4 an 2 ? 3 , 所以所有的 an 均大于 0,因此 an?1 ? an 与 an ? an?1 同号。根 4

因为 a1 ? 0, an ?1 ?

据数学归纳法, ?n ? N? , an?1 ? an 与 a2 ? a1 同号。 因此,对一切 n ? N ? 都有 an?1 ? an 的充要条件是 0 ? a1 ? 1或 a1 ? 3 。 19.解: (I)因为点 B 与点 A ? ?1,1? 关于原点 O 对称,所以点 B 的坐标为 (1, ?1) .----1 分 设点 P 的坐标为 ( x, y )
7

由题意得 化简得 故

y ?1 y ?1 1 ? ? ? ------------------------4 分 x ? 1 x ?1 3

x2 ? 3 y 2 ? 4( x ? ?1) .
动 点 的 轨 迹 方 程 为

x2 ? 3 y 2 ? 4( x ? ?1) ------------------------------------7 分
(II)解法一:设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,点 M , N 的坐标分别为 (3, yM ) , (3, yN ) . 则直线 AP 的方程为 y ? 1 ?

y0 ? 1 ( x ? 1) , x0 ? 1 y0 ? 1 ( x ? 1) x0 ? 1

直线 BP 的方程为 y ? 1 ?

令 x ? 3 得 yM ?

4 y0 ? x0 ? 3 2 y0 ? x0 ? 3 , yN ? . x0 ? 1 x0 ? 1

于是 PMN 的面积

S

PMN

?

| x ? y0 | (3 ? x0 )2 1 | yM ? yN | (3 ? x0 ) ? 0 2 | x02 ? 1|

----------10 分

又直线 AB 的方程为 x ? 点到直线 AB 的距离 d

y ? 0 , | AB |? 2 2 ,
| x0 ? y0 | 2
?
.

?

于是 PAB 的面积 SV PAB 当 S PAB 又 | x0

1 | AB | ?d ?| x0 ? y0 | 2
| x0 ? y0 | (3 ? x0 )2 -----------------12 分 | x0 2 ? 1|

?S

PMN

时,得 | x0 ? y0 |?

? y0 |? 0 ,所以 (3 ? x0 )2 = | x02 ?1| ,解得 x0 ? 。
33 9

5 3

因为 x02 ? 3 y02 ? 4 ,所以 y0 ? ?

故存在点 P 使得 PAB 与 PMN 的面积相等,此时点 P 的坐标为 ? ?

?5 ?3

,?

33 ? ? 9 ? ?

------------------------------------------14 分

8

解法二:若存在点使得 PAB 与 PMN 的面积相等,设点的坐标为 ( x0 , y0 )

1 1 | PA | ? | PB | sin ?APB ? | PM | ? | PN | sin ?MPN . 2 2 因为 sin ?APB ? sin ?MPN ,
则 所以

| PA | | PN | ? | PM | | PB |
| x0 ? 1| | 3 ? x0 | ? | 3 ? x0 | | x ? 1|
5 3

所以

即 (3 ? x0 )2 ?| x02 ?1| ,解得 x0 ? 因为 x02 ? 3 y02 ? 4 ,所以 y0 ? ?

33 9

故存在点 P 使得 PAB 与 PMN 的面积相等,此时点 P 的坐标为 ? ? 20.解: (I) x ? 0时, f ( x) ? ( x 2 ? 2ax)e x

?5 ?3

,?

33 ? ?. 9 ? ?

? f ' ( x) ? (2x ? 2a)e x ? ( x 2 ? 2ax)e x ? [ x 2 ? 2(1 ? a) x ? 2a]e x ------------2 分
由已知, f ' ( 2 ) ? 0, ?[2 ? 2 2 (1 ? a) ? 2a]e
2

? 0,? 2 ? 2 2 ? 2a ? 2 2a ? 0,

得 a ? 1 -----------------------------------------4 分
2 x 2 x 2 所以 x ? 0 时, f ( x) ? ( x ? 2 x)e ,? f ' ( x) ? ( x ? 2)e ? f (2) ? 0, f ' (2) ? 2e

函数 f ( x) 的图象在点 (2, f (2)) 处的切线 l 的方程为: y ? 2e ( x ? 2), --------------7
2

分 ( II ) ? 直 线 l 与 函 数 g ( x) 的 图 象 相 切 于 点

P( x0 , y0 ), x0 ?[e ?1 , e] ,

? y0 ? c ln x0 ? b
g ' ( x) ?

c c ,所以切线 l 的斜率为 g ' ( x0 ) ? , x x0

所以切线 l 的方程为 : y ? y 0 ?

c ( x ? x0 ) x0

即 l 的方程为: y ?

c x ? c ? b ? c ln x0 x0

---------------------------------9
9



?c 2 2 ? ? x ? 2e ?c ? 2e x0 ?? 于是可得 ? 0 2 ? ?? c ? b ? c ln x ? ?4c 2 ?b ? c ? c ln x0 ? 4e 0 ?
所以

b ? 2e 2 ( x0 ? x ln x0 ? 2) 其中 x0 ?[e ?1 , e] ----------------------11 分
2

记 h( x0 ) ? 2e

( x0 ? x0 ln x0 ? 2) 其中 x0 ?[e ?1 , e]

? h' ( x0 ) ? 2e 2 (1 ? (ln x0 ? 1)) ? ?2e 2 ln x0
令 h ? x0 ? ? 0 ,得 x0 ? 1
'
?1 ?1 ' 当 x?? ? e ,1 时, h ? x0 ? ? 0 则 h ? x0 ? 在 ? ? e ,1 上是增函数;

?

?

当 x ? ?1, e? 时, h ? x0 ? ? 0 则 h ? x0 ? 在 ?1, e? 上是减函数;
'

h ? e ? ? ?4e 2 , h ? e ?1 ? ? 4e ? 4e 2 ? ?4e 2 , h ?1? ? ?2e 2

? x0 ?[e ?1 , e],? h( x0 ) ?[?4e 2 ,?2e 2 ]
所以实数 b 的取值范围的集合: b ?4e ? b ? ?2e
2

?

2

? --------------------------14



10


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