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【复习方略】2014高考数学(人教A版,理)课件(山东专供)第二章 第一节函数及其表示


第二章 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示

1.函数与映射的概念
函 数
两集合 A,B 非空数集 设A,B是两个_________ 如果按照某种确定的对应

映 射
非空集合 设A,B是两个_________

关系f,使对于集合A中的 任意 系f,使对于集合A中的_____ 对应关系 任意 _____一个数x,在集合B中 f:A→B 一个元素x,在集合B中都有 唯一确定 的数f(x) 都有_________ 唯一确定 的元素y与之对应 _________ 和它对应

如果按某一个确定的对应关

名 称

f:A→B 为从集合A到集 称对应_______ f:A→B 为从集合A到 称_______ 合B的一个函数 集合B的一个映射

2.函数的定义域、值域、相等函数 (1)定义域: 自变量x 的取值范围(数集A)叫做函数 在函数y=f(x),x∈A中,________ 的定义域. (2)值域:

{f(x)|x∈A} 叫做函数的值域. 函数值的集合____________
(3)相等函数: 定义域 相同,并且_________ 对应关系 完全一致,则这两 如果两个函数的_______ 个函数为相等函数.

3.函数的表示方法 解析法 、_______ 列表法 和_______. 图象法 表示函数的常用方法:_______ 4.分段函数 对应关系 不同而分别 (1)若函数在其定义域的不同子集上,因_________ 用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数. 并集 其值域 (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_____, 并集 分段函数虽由几个部分组成,但它 等于各段函数的值域的_____, 表示的是一个函数.

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)对于函数f:A→B,其值域是集合B.( (2)函数y=1与y=x0不是同一个函数.( ) )

(3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函 数.( ) )

(4)映射是特殊的函数.(

【解析】(1)错误.值域是集合B的子集.

(2)正确.函数y=x0的定义域是(-≦,0)∪(0,+≦),函数y=1的定
义域是R,因此两个函数是不同的函数. (3)错误.函数y=x与y=2x+1的定义域和值域都是R,但它们的对 应关系不同,不是相等函数. (4)错误.根据函数和映射的定义知函数是特殊的映射 . 答案:(1)〓 (2)√ (3)〓 (4)〓

1.若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤ y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是( )

【解析】选B.A中定义域不对应;D中值域不对应;C中对一个x值

有两个y值与之对应,不符合函数的定义.故选B.

2.给出四个命题: ①函数是其定义域到值域的映射; ②f(x)=
x ? 3 ? 2 ? x 是一个函数;

③函数y=2x(x∈N)的图象是一条直线;
2 x ④f(x)= 与g(x)=x是同一函数. x

其中正确的有(
(A)1个 (B)2个

)
(C)3个 (D)4个

? x ? 3 ? 0, 【解析】选A.由函数的定义知①正确;因为使 ? ?2 ? x ? 0

成立的x值不存在,故②不正确;y=2x(x∈N)的图象是位于直线
2 x y=2x上的一群孤立的点,故③不正确;函数f(x)= 与g(x)=x的 x

定义域不同,故④不正确.

3.函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3},则其值域为
【解析】列表如下: x y 0 0 1 -1 2 0 3 3

.

由表知,函数的值域为{-1,0,3}. 答案:{-1,0,3}

4.函数y= x ? 1 的定义域为

.

x x ? 1 ? 0, 【解析】由 ? 得函数的定义域为{x|x≥-1且x≠0}. ? ? x ? 0,

答案:{x|x≥-1且x≠0}

? x , x ? 0, 5.设函数f(x)= ? 则f(f(-4))= ? 1 x ?( ) , x ? 0, ? 2 【解析】≧x=-4<0,?f(-4)=( 1 )-4=16, 2

.

因为x=16>0,所以f(16)= 16 =4. 答案:4

考向 1 求函数的定义域 【典例1】(1)(2013·大连模拟)函数f(x)= lg(x ? 2) ? 2 ? x 2
| x | ?x

的定义域为________. (2)已知函数f(2x)的定义域是[-1,1],则f(x)的定义域为 ________.

【思路点拨】(1)根据解析式,构建使解析式有意义的不等式组 求解即可. (2)要明确2x与f(x)中x的含义,从而构建不等式组求解.
? x+2>0, 【规范解答】(1)要使函数有意义,则有 ? |x|-x ? 0, ? ? 2-x 2 ? 0, ? ? x>-2, 得? ? - 2 ≤x<0. ? x<0, ? ?- 2 ? x ? 2,

故所求函数的定义域为[- 2 ,0). 答案:[ - 2 ,0)

(2)≧f(2x)的定义域为[-1,1],
即-1≤x≤1,

?

1 ≤2x≤2, 2 1 ,2] 2

故f(x)的定义域为[

1 ,2]. 2

答案:[

【互动探究】若本例题(2)中条件不变,求f(log2x)的定义域.
【解析】由本例题(2)知f(x)的定义域为[ 1 ,2], ?函数y=f(log2x)中, 1 ≤log2x≤2,
2 2

即 log 2 2 ≤log2x≤log24,? 2 ≤x≤4, 故函数f(log2x)的定义域为[ 2 ,4].

【拓展提升】简单函数定义域的三种类型及求法 (1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求

解.
(2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义的条件构造不等

式(组)求解.

(3)对抽象函数: ①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定

义域由a≤g(x)≤b求出;
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)

在x∈[a,b]时的值域.
【提醒】求定义域时对于解析式先不要化简.

【变式备选】(1)函数f(x)=

ln(x 2 ? 2x) 9?x
2

的定义域是_____.

【解析】要使函数有意义,必须有
2 ? ? x ? 2x ? 0, ? x ? 0或x ? 2, 即? ? 2 ? ??3 ? x ? 3, ?9 ? x ? 0,

?-3<x<0或2<x<3. 答案:(-3,0)∪(2,3)

(2)已知函数f(x)的定义域为[1,2],则函数g(x)=
的定义域是________. 【解析】由使函数有意义及f(x)的定义域可知 ? ? 1 ≤x<1.
2

f (2x) (x ? 1)0

?1 ? 2x ? 2, ? x ? 1 ? 0,

答案:[

1 ,1) 2

考向 2 求函数的解析式
【典例2】(1)已知f(1-cosx)=sin2x,则f(x)= .

(2)已知f(x)是二次函数且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,则
f(x)= .
1 )=x(x≠0),则f(x)= x

(3)已知f(x)+2f(

.

【思路点拨】(1)用换元法,令t=1-cosx,然后求解.

(2)已知函数类型,用待定系数法求解.
(3)用
1 代x,构造方程组求解. x

【规范解答】(1)f(1-cosx)=sin2x=1-cos2x,
令t=1-cosx,则cosx=1-t,0≤t≤2. ?f(t)=1-(1-t)2=-t2+2t, ?f(x)=-x2+2x(0≤x≤2). 答案:-x2+2x,x∈[0,2]

(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 由f(0)=2得c=2. f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)-ax2-bx=x-1, 即2ax+a+b=x-1.
, ?2a ? 1 1 3 1 3 ?? 解得a ? , b ? ? .? f (x) ? x 2 ? x ? 2. , 2 2 2 2 ?a ? b ? ?1

答案: x 2 ? x ? 2

1 2

3 2

(3)≧f(x)+2f( 1 )=x,?f( 1 )+2f(x)= 1 .
x x x

1 ? f (x) ? 2f ( ) ? x, ? 2 x ? x 解方程组 ? 得f (x) ? ? (x ? 0). 1 1 3x 3 ?f ( ) ? 2f (x) ? ? x ? x 答案: 2 ? x (x ? 0) 3x 3

【拓展提升】求函数解析式的三种类型及方法 (1)关于复合函数f(g(x))的解析式. ①配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x) 的解析式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式; ②换元法:令g(x)=t,用t表示x,代入f(g(x))求解.

(2)已知函数类型求解析式.

一般用待定系数法求解,根据函数类型设出函数解析式,然后
根据条件求出待定系数.
1 x 1 通常用解方程组法,用 或(-x)替代x,构造方程,与原方程 x

(3)已知关于f(x)与f( )或f(-x)的解析式求f(x).

构成方程组,解方程组可求f(x).

【变式训练】(1)求下列函数的解析式:
①已知f(
2 +1)=lgx,求f(x); x

②2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求f(x).
2 【解析】①令t= 2 +1,则x= , x t ?1 2 ?f(t)= lg 2 ,即f(x)= lg (x>1). x ?1 t ?1

②≧2f(x)-f(-x)=lg(x+1),
?2f(-x)-f(x)=lg(1-x).
?2f (x) ? f (? x) ? lg(x ? 1), 解方程组 ? ?2f (? x) ? f (x) ? lg(1 ? x),
2 1 得f (x) ? lg(x ? 1) ? lg(1 ? x)( ?1 ? x ? 1). 3 3

(2)已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射
线和抛物线的一部分组成,求函数的解析式.

【解析】根据图象,设左侧的射线对应的解
析式为y=kx+b(x≤1).

≧点(1,1),(0,2)在射线上,
?k ? b ? 1, ?k ? ?1, ?? 解得 ? ?b ? 2, ?b ? 2.

?左侧射线对应函数的解析式为y=-x+2(x≤1).

同理,x≥3时,函数的解析式为y=x-2(x≥3). 再设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1≤x≤3, a<0), ≧点(1,1)在抛物线上,?a+2=1,a=-1, ?1≤x≤3时,函数的解析式为 y=-x2+4x-2(1≤x≤3).
1, ?? x ? 2, x< 2 综上,函数的解析式为 y ? ? ?? x ? 4x ? 2,1 ? x ? 3, ? x ? 2, x>3. ?

考向 3 分段函数及其应用 【典例3】(1)(2013·开封模拟)根据统计,一名工人组装第x
? ? 件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)= ? ? ? ? ? C , x ? A, x C ,x ? A A

(A,C

为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品 用时15分钟,那么C和A的值分别是( (A)75,25 (C)60,25 (B)75,16 (D)60,16 )

? x ? 1, ?1 ? x<0, (2)(2013·唐山模拟)已知函数f(x)= ? ? ?? x ? 1,0<x ? 1,

则f(x)-f(-x)>-1的解集为( (A)(-∞,-1)∪(1,+∞) (B)[-1,- 1 )∪(0,1]
2

)

(C)(-∞,0)∪(1,+∞) (D)[-1,- 1 ]∪(0,1)
2

【思路点拨】(1)由当x≥A时,f(x)=

C =15,且f(4)=30可知, A

4<A,从而可列方程组求解.
(2)分-1≤x<0和0<x≤1两种情况求解.

【规范解答】(1)选D.由题意知f(A)=
必有4<A,故f(4)=
? ? ? 解方程组 ? ? ? ?
C =30. 4

C =15,且f(4)=30,则 A

C ? 15, A 得C ? 60, A ? 16. C ? 30, 4

(2)选B.①当-1≤x<0时,0<-x≤1,此时f(x)=-x-1, f(-x)=-(-x)+1=x+1, ?f(x)-f(-x)>-1化为-2x-2>-1, 得x<? 1 ,则-1≤x< ? 1 .
2 2

②当0<x≤1时,-1≤-x<0, 此时,f(x)=-x+1,f(-x)=-(-x)-1=x-1, ?f(x)-f(-x)>-1化为-x+1-(x-1)>-1, 解得x< 3 ,则0<x≤1. 故所求不等式的解集为[-1, ? 1 )∪(0,1].
2 2

【互动探究】本例题(2)中条件不变,若f(a)+f(1)=0,试求a的

值.
【解析】f(1)=-1+1=0,?f(a)=-f(1)=0.

若-1≤a<0,则f(a)=-a-1=0,?a=-1;
若0<a≤1,则a=1,综上知,a=〒1.

【拓展提升】 分段函数“两种”题型的求解策略 (1)根据分段函数解析式求函数值 首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代

入求解.
(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围

应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的
值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围 .

【提醒】当分段函数的自变量范围不确定时,应分类讨论.

3x ? 2, x ? 1, 【变式备选】(1)已知函数f(x)= ? 若f(f(0))=4a, ?

则实数a的值为( (A)0 (B) 1
2

) (C)2

2 x ? ? ax, x ? 1.

(D)4

【解析】选C.≧f(0)=2, ?f(f(0))=f(2)=4+2a=4a,?a=2.

? x 2 ? bx ? c,x ? 0, (2)设函数f(x)= ? 若f(-2)=f(0),f(-1)=-3, ?2,x>0,

则关于x的方程f(x)=x的解的个数为( (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

)

2 ? ( ? 2) ? 2b ? c ? c, ? 【解析】选B.由已知得 ? 2 ? ?( ?1) ? b ? c ? ?3, ? x 2 ? 2x ? 2, x ? 0, ?b ? 2, 解得 ? ? f (x) ? ? ?c ? ?2, ?2, x>0.

当x≤0时,由f(x)=x得,x2+2x-2=x,得x=-2或x=1,又x≤0,

故x=1舍去;
当x>0时,由f(x)=x得x=2,

所以方程f(x)=x有两个解.

【易错误区】忽视自变量的取值范围致误 【典例】(2013·南京模拟)已知实数a≠0,函数f(x)=
?2x ? a, x ? 1, 若f(1-a)=f(1+a),则a的值为_______. ? ?? x ? 2a, x ? 1,

【误区警示】本题易出现的错误主要有两个方面:

(1)误以为1-a<1,1+a>1,没有对a进行讨论直接代入求解. (2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求致误 .

【规范解答】当a>0时,1-a<1,1+a>1, 由f(1-a)=f(1+a)可得2-2a+a=-1-a-2a, 解得a= ? 3 ,不合题意;
2

当a<0时,1-a>1,1+a<1, 由f(1-a)=f(1+a)可得-1+a-2a=2+2a+a, 解得a= ? 3 .
4 3 答案: ? 4

【思考点评】
1.分类讨论思想在求函数值中的应用 对于分段函数的求值问题,若自变量的取值范围不确定,应分情 况求解. 2.检验所求自变量的值或范围是否符合题意 求解过程中,求出的参数的值或范围并不一定符合题意 ,因此要 检验结果是否符合要求.

?1, x>0, ?1, x为有理数, 1.(2012·福建高考)设f(x)= ? g(x)= 0, x ? 0, ? ? ?0, x为无理数, ??1, x<0, ?

则f(g(π ))的值为( (A)1 (B)0

)

(C)-1

(D)π

【解析】选B.因为π为无理数,所以g(π)=0, f(g(π))=f(0)=0.

2.(2012·山东高考)函数f(x)= 为( )

1 ? 4 ? x 2 的定义域 ln(x ? 1)

(A)[-2,0)∪(0,2]

(B)(-1,0)∪(0,2]

(C)[-2,2]

(D)(-1,2]

?4 ? x 2 ? 0, 【解析】选B.因为 ? 解得-2≤x≤2且x>-1且x≠0, ? x ? 1 ? 0, ?ln(x ? 1) ? 0, ?

所以定义域为(-1,0)∪(0,2].

3.(2012·安徽高考)下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是

(
(A)f(x)=|x| (B)f(x)=x-|x|

)

(C)f(x)=x+1

(D)f(x)=-x

【解析】选C.选项A:f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x),满足要求;

选项B:f(2x)=2x-|2x|=2(x-|x|)=2f(x),满足要求;
选项C:f(2x)=2x+1≠2(x+1)=2f(x),不满足要求;

选项D:f(2x)=-2x=2f(x),满足要求.

1 4.(2012·江西高考)下列函数中,与函数y= 3 定义域相同的函 x

数为( (A)y=

)
1 sin x

(B)y= ln x
x

(C)y=xe x

(D)y= sin x
x 1 的定义 sin x

【解析】选D.≧y= 31 的定义域为{x|x≠0},y=
x
x

域为{x|x≠kπ,k∈Z},y= ln x 的定义域为{x|x>0}, y=xex的定义域为R,y= sin x 的定义域为{x|x≠0},
x

?D正确.

?cos ?x, x ? 0, 5.(2013·青岛模拟)已知f(x)= ? ?f (x ? 1) ? 1, x ? 0, 则f( 4 )的值为________. 3 4 1 2 【解析】f( 4 ) ? f( ? 1) ? 1 ? f( ) ? 1 ? f( ? ) ?2 3 3 3 3 2 ? cos( ? ?) ?2 3 1 3 ?? ?2? . 2 2 答案: 3 2

1.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称
这些函数为“孪生函数”.例如,解析式为y=2x2+1,值域为{9} 的“孪生函数”有三个: (1)y=2x2+1,x∈{-2}.(2)y=2x2+1,x∈{2}.(3)y=2x2+1,x∈ {-2,2}.那么函数解析式为y=2x2+1,值域为{1,5}的“孪生函 数”共有( (A)5个 ) (B)4个 (C)3个 (D)2个

【解析】选C.令2x2+1=1,得x=0,
令2x2+1=5,得x=〒 2 , 所以“孪生函数”有:y=2x2+1,x∈{0, 2 };y=2x2+1, x∈{0,- 2 };y=2x2+1,x∈{0, 2 ,- 2 },共3个.

2.已知函数f(x)= ? ? 围是( (A)? )

2, x ? [ ? 1,1],

[ ? 1,1] , ? x, x ?

若f(f(x))=2,则x的取值范

(B)[-1,1] (D){2}∪[-1,1]

(C)(-∞,-1)∪(1,+∞)

【解析】选D.若x∈[-1,1],则有f(x)=2?[-1,1], ?f(2)=2; 若x?[-1,1],则f(x)=x?[-1,1],?f(f(x))=x, 此时若f(f(x))=2,则有x=2.


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