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高中数学必修3(人教A版)第二章统计2.2知识点总结含同步练习及答案


高中数学必修3(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 统计 2.2 用样本估计总体

一、学习任务 1. 2.
通过实例了解分布的意义和作用.了解频率分布表、频率分布直方图、频率折线图、茎叶图;会用样本的频率分布估计总体分 布. 会根据实际问题的需求,合理地选取样本,掌握从样本数据中提取基本的数字特征(平均数、标准差)的方法.了解样本数据 平均数的意义和作用,会计算样本数据平均数,能用样本数据平均数估计总体平均数.了解样本数据标准差的意义和作用,会 计算样本标准差,能用样本标准差估计总体标准差.初步体会样本频率分布和数字特征的随机性,了解样本信息与总体信息存 在一定的差异;理解随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想,能解决一些简单的实际问题;了解统计思维与确定性思维的 差异;会对数据处理过程进行初步评价.

二、知识清单
频率分布直方图 茎叶图 样本数据的数字特征

三、知识讲解
1.频率分布直方图 描述: 频率分布直方图的制作步骤: ①求极差; ②决定组数与组距,组数 = ③按组距将数据分组; ④列频率分布表; ⑤绘制频率分布直方图. 在频率分布直方图中,小长方形面积 = 组距 × 频率 组距 极差 组距 ;

= 频率 ,各小长方形的面积的总和等于 1 .

例题: 调查某校高三年级男生的身高,随机抽取 40 名高三年级男生,实测身高数据如下(身高:cm):

171 171 165 176

163 169 168 157

163 167 174 162

166 169 159 161

166 151 167 158

168 168 156 164

168 170 157 163

160 168 164 163

168 160 169 167

165 174 180 161

①作出频率分布表; ②画出频率分布直方图. 解:①最低身高 151 cm,最高身高 180 cm,它们的差是 180 ? 151 = 29 ,即极差为 29 ;确定 组距为 3 ,组数为 10 ,列表如下:

分组

频数

频率

[150.5, 153.5) [153.5, 156.5) [156.5, 159.5) [159.5, 162.5) [162.5, 165.5) [165.5, 168.5) [168.5, 171.5) [171.5, 174.5) [174.5, 177.5) [177.5, 180.5)
合计 ②频率分布直方图如图:

1 1 4 5 8 11 6 2 1 1 40

0.025 0.025 0.100 0.125 0.200 0.275 0.150 0.050 0.025 0.025 1.000

为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画 出频率分布直方图(如下图所示),图中从左到右各小长方形面积之比为 2 : 4 : 17 : 15 : 9 : 3 ,第二 小组频数为 12 .

(1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少? (2)若次数在 110 次以上(含 110 次)为达标,试估计该校全体高一学生的达标率是多少? 解:(1)第二小组的频率为 因为 第二小组的频率 = 所以 样本容量 = 第二小组的频数

4 = 0.08 . 2 + 4 + 17 + 15 + 9 + 3


样本容量 第二小组的频数 12 第二小组的频率

=

0.08

= 150 . 17 + 15 + 9 + 3

第二小组的频率 (2)由题图可估计该校高一学生的达标率约为

17 + 15 + 9 + 3 × 100% = 88%. 2 + 4 + 17 + 15 + 9 + 3

2.茎叶图 描述: 茎叶图(stem-and-leaf display)是统计学中用来表示数据的一种图.茎是指中间的一列数,叶就是从茎的旁边生长
出来的数.茎叶图不仅能够保留原始数据,而且能够显示数据的分布情况.

例题: 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下:
甲运动员得分:13 ,51 ,23 ,8 ,26 ,38 ,16 ,33 ,14 ,28 ,39 ; 乙运动员得分:49 ,24 ,12 ,31 ,50 ,31 ,44 ,36 ,15 ,37 ,25 ,36 ,39 . 请根据数据画出茎叶图. 解:如下图所示

某中学高二(2)班甲、乙两名同学自高中以来每场数学考试成绩(单位:分)的情况如下: 甲的得分:95 ,81 ,75 ,89 ,71 ,65 ,76 ,88 ,94 ,110 ,107 ; 乙的得分:83 ,86 ,93 ,99 ,88 ,103 ,98 ,114 ,98 ,79 ,101 . 画出两人数学成绩的茎叶图.请根据茎叶图对两人的成绩进行比较. 解:甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示 .

从这个茎叶图上可以看出,乙同学的得分情况是大致对称的,集中在 90 多分;甲同学的得分情况除一个特殊得分 外,也大致对称,集中在 80 多分.因此乙同学发挥比较稳定,总体得分情况比甲同学好.

3.样本数据的数字特征 描述: 众数、中位数 一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数(mode). 将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则称处于中间位置的 数为这组数据的中位数(median);如果数据个数是偶数,则称中间两个数据的平均数为这组数据的 中位数.

标准差、方差 考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是标准差(standard deviation).标准差是样本 数据到平均数的一种平均距离,一般用 s 表示. 假设样本数据是 x1 ,x2 ,?,xn , x ? 表示这组数据的平均数.xi 到 x ? 的距离是 |xi ? x ? |(

? 的“平均距离”是 i = 1 ,2 ,?,n).于是,样本数据 x1 ,x2 ,?,xn 到 x ? | + |x2 ? x ? | + ? + |xn ? x ?| |x1 ? x .由于上式含有绝对值,运算起来不太方便,因此,通常改 S= n
用如下公式来计算标准差

? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 1 s = √ [(x1 ? x ? )2 + (x 2 ? x ? )2 + ? + (x n ? x ? )2 ] . n 1 方差(variance)是标准差的平方 s2 . s2 = ? )2 + (x 2 ? x ? )2 + ? + (x n ? x ? )2 ] . [(x1 ? x n
例题: 如图所示是某班学生在一次数学考试中的成绩的频率分布直方图.根据频率分布直方图估计其成绩的 (1)众数;(2)中位数;(3)平均数.

解:(1)由频率分布直方图可知,其众数为 (2)设中位数为 x . 由图知

70 + 80 = 75 (分). 2

2 ≈ 77 (分). 3 (3)平均数为 (55 × 0.01 + 65 × 0.02 + 75 × 0.03 + 85 × 0.025 + 95 × 0.015) × 10 = 76.5(分). 0.01 × 10 + 0.02 × 10 + (x ? 70) × 0.03 = 0.5,所以 x = 76
从甲、乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示 (如下图所示).设甲、乙两组数据的平均数分别为 x ? 甲 、x ? 乙 ,中位数分别为 m 甲 、m 乙 ,则 ( )

A.x ?甲 B.x ?甲 C.x ?甲 D.x ?甲 解:

<x ? 乙 ,m 甲 <x ? 乙 ,m 甲 >x ? 乙 ,m 甲 >x ? 乙 ,m 甲

> m乙 < m乙 > m乙 < m乙

?甲 = x ?乙 x

1 345 , × (41 + 43 + 30 + 30 + 38 + 22 + 25 + 27 + 10 + 10 + 14 + 18 + 18 + 5 + 6 + 8) = 16 16 1 457 . = × (42 + 43 + 48 + 31 + 32 + 34 + 34 + 38 + 20 + 22 + 23 + 23 + 27 + 10 + 12 + 18) = 16 16

所以,x ?甲 < x ?乙 . 又因为 m 甲 = 20 ,m 乙 = 29 ,所以 m 甲 < m 乙 . 甲、乙两名同学上学期的数学考试成绩记录如下: 甲:94 87 75 84 101 105 106 72 78 108; 乙:90 86 71 98 96 84 101 92 101 91. (1)用茎叶图表示甲、乙两人的成绩,并根据茎叶图分析甲、乙两人的成绩; (2)分别计算两个样本的平均数 x ? 和方差 s2 ,并根据计算结果估计哪位同学的成绩比较稳定. 解:(1)甲乙成绩的茎叶图如下图所示:

16

16

由图可知,乙的成绩大致对称,可以看出乙发挥比较稳定,甲波动性大. (2)x ?甲 =

1 × (9.4 + 8.7 + 7.5 + 8.4 + 10.1 + 10.5 + 10.6 + 7.2 + 7.8 + 10.8) = 9.1 , 10 1 = × [(9.4 ? 9.1)2 + (8.7 ? 9.1)2 + ? + (10.8 ? 9.1)2 ] = 1.67. s2 甲 10 1 ?乙 = (9.0 + 8.6 + 7.1 + 9.8 + 9.6 + 8.4 + 10.1 + 9.2 + 10.1 + 9.1) = 9.1, x 10 1 = × [(9.0 ? 9.1)2 + (8.6 ? 9.1)2 + ? + (9.1 ? 9.1)2 ] = 0.75 . s2 乙 10 因为 s2 ,说明甲同学成绩的波动大于乙同学成绩的波动,所以我们估计乙同学的成绩比较稳 > s2 甲 乙
定.

四、课后作业

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1. 有一个容量为 66 的样本,数据的分组及各组的频数如下表:

[11.5, 15.5) [27.5, 31.5)

2 11

[15.5, 19.5) 4 [31.5, 35.5) 12

[19.5, 23.5) 9 [35.5, 39.5) 7 )

[23.5, 27.5) [39.5, 43.5)

18 3

根据样本的频率分布估计,大于或等于 31.5 的数据约占 ( A.

2 11

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

答案: B

2. 随机抽取某中学甲,乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位: cm ),获得身高数据的茎叶图如图 ,则 下列关于甲,乙两班这 10 名同学身高的结论正确的是 (

).

A.甲班同学身高的方差较大 B.甲班同学身高的平均值较大 C.甲班同学身高的中位数较大 D.甲班同学身高在 175 以上的人数较多
答案: A 解析: 容易计算得知,甲班乙班平均值相同为170,故而B错误;从茎叶图可以看出,乙班同学身高分布较

甲班更为集中于均值附近,故而甲班同学身高方差大于乙班.甲班同学身高的中位数为169,乙班同 学身高的中位数为171.5;故而C错误.甲班同学身高175以上的有3人,乙班有4人,故而D错误. 3. 从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩,统计如表,则这 100 人成绩的标准差为 ( 分数 人数 A.√3
答案: B 解析:

).

5 20

4 3 10 30
C.3

2 30

1 10
D.

B.

? 2√? 10 5

8 5

5 × 20 + 4 × 10 + 3 × 30 + 2 × 30 + 1 × 10 = 3. 100 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 2 ? 1 ? 标准差为 √ [(5 ? 3)2 × 20 + (4 ? 3)2 × 10 + (2 ? 3)2 × 30 + (1 ? 3)2 × 10] = √10 . 5 100
这 100 个人成绩的平均数为

4. 样本 (x1 , x2 , ? , xn ) 的平均数为 x ,样本 (y 1 , y 2 , ? , y m ) 的平均数为 y (x ≠ y) .若样本

(x1 , x2 , ? xn , y 1 , y 2 , ? , y m ) 的平均数 z = αx + (1 ? α) y ,其中 0 < α < ( )
B.n > m C.n = m A.n < m
答案: A 解析: 由条件得

1 ,则 n, m 的大小关系为 2
D.不能确定

x=

x1 + x2 + … + xn , n y + y2 + … + ym y= 1 , m x1 + … + xn + y 1 + … + y m z= , m+n

又由条件 z = αx + (1 ? α) y ,将上述几个式子代入并化简得

1 α 1 1?α α 1?α = , = , = , m+n n m+n m n m 1

又因为 0 < α <

1 ,所以有 1 ? α > α ,故有 n < m . 2

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