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2016届高三数学理科(人教版)一轮复习学案第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第1课时平面向量的线性

第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第 1 课时 平面向量的线性运算、基本定理及坐标表示
1. 向量的线性运算. 2. 向量的数乘运算及其几何意义. 考纲索引 3. 平面向量基本定理. 4. 平面向量坐标运算. 5. 平面向量共线的坐标表示. 1. 掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. 2. 掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义. 课标要求 3. 了解平面向量的基本定理及其意义. 4. 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 5. 理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 知识梳理 1. 向量的线性运算

向量的数乘运算及其几何意义 (1)定义:实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫向量的数乘,记作

2. ,它的长度与方

向规定如下:

①|λa|=

;

②当 λ>0 时,λa 与 a 的方向

;当 λ<0 时,λa 与 a 的方向

;当 λ=0 时,λa=

.

(2)运算律:设 λ,μ 是两个实数,则

①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λa+μa;③λ(a+b)=λa+λb.

3. 平面向量基本定理

如果 e1,e2 是同一平面内的两个

向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且只有一对

实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2,其中不共线的向量 e1,e2 叫表示这一平面内所有向量的一组基底.

4. 平面向量坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模.

设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则

a+b=

,a-b=

,λa=

,|a|=

.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.

②设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 5. 平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0,当且仅当 基础自测

时,向量 a,b 共线.

指点迷津 ◆一个顺序 一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量. ◆两个要素 向量具有大小和方向两个要素,用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向 且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等 或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. ◆三个注意 (1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”,否则 λ 可能不存在,也可能有无数个. (2)注意向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线和重合的情况,而直线平行不包括共 线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. (3)注意 0 与 0 的区别

0 为模为数 0,它不是没有方向,而是方向不定.0 可以看成与任意向量平行.0+0 是无意义 的,0·0=0 而不能为 0. ◆向量坐标与点的坐标的区别

在平面直角坐标系中,以原点为起点的向量

,,点 A 的位置被向量 a 唯一确定,此时点

A 的 坐 标 与 a 的 坐 标 统 一 为 (x,y), 但 应 注 意 其 表 示 形 式 的 区 别 , 如 点 A(x,y) 向 量

.

考点透析 考向一 平面向量的线性运算

【审题视点】 (1)用平行四边形法则求解. (2)利用三角形性质及向量的运算法则求解.

【方法总结】 1. 平面向量的线性运算法则的应用. 三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法,共起点的向量和用平行四边形法则, 差用三角形法则. 2. 两个重要结论.
变式训练
考向二 平面向量基本定理及应用

【方法总结】 先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的 运算来解决. 变式训练

考向三 平面向量的坐标运算

(2)(2013·河北保定二模)已知平面向量 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,则 2a+3b 等于( ).

A. (-5,-10)

B. (-4,-8)

C. (-3,-6)

D. (-2,-4)

【审题视点】 首先利用向量关系把 a,b 的坐标求出,再利用法则计算.

【课堂记录】

【方法总结】 利用向量的坐标运算解题,主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则,通过列 方程(组)进行求解;在将向量用坐标表示时,要看准向量的起点和终点坐标,也就是要注意向量的 方向,不要写错坐标. 变式训练

3. (2014·浙江八校联考)点 P 在平面上做匀速直线运动,速度向量 v=(4,-3)(即点 P 的运动方向 与 v 相同,且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点 P 的坐标为(-10,10),则 5 秒后点 P 的坐标 为( ).

A. (-2,4)

B. (-30,25)

C. (5,-10)

D. (10,-5)

考向四 平面向量平行的坐标表示

例 4 平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),请解答下列问题:

(1)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k;

(3)若 d 满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|= ,求 d. 【审题视点】 利用平行关系,建立含字母参数的实数方程求解.

【方法总结】 (1)一般地,在求与一个已知向量 a 共线的向量时,可设所求向量为 λa(λ∈R),然后 结合其他条件列出关于 λ 的方程,求出 λ 的值后代入 λa 即可得到所求的向量. (2)如果已知向量共线,求某些参数的取值时,则利用“若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件 是 x1y2=x2y1”解题比较方便. 变式训练

4. (2014·呼和浩特模拟)已知 a=(1,0),b=(2,1),若向量 ka-b 与 a+3b 平行,则实数 k=

.

经典考题

真题体验

参考答案与解析
知识梳理 1. 三角形 平行四边形 b+a a+(b+c) 三角形 2. (1)λa ①|λ||a| ②相同 相反 0 3. 不共线
基础自测 1. A 2. B 3. A 4. A 5. 0 考点透析

变式训练

经典考题 真题体验