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2017届湖南省长沙市长郡中学高三摸底测试数学(文)试题


文科数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项 是符合题目要求的.
1.复数 z ? A. (1,1)

2 ( i 是虚数单位)的共轭复数在复数平面内对应的点是( 1? i
B. (1, ?1) C. (?1,1) D. (?1, ?1)



? f ( x ? 5), x ? 2 ? x 2.已知函数 f ( x) ? ?e , ?2 ? x ? 2 ,则 f (?2016) ? ( ? f (? x), x ? ?2 ? 1 2 A. e B. e C.1 D. e
1 18 1 9 1 6 5 36
c? b



3.抛掷两颗质地均匀的骰子,则向上的点数之积为 6 的概率等于( A. B. C. D.



4.设 a, b, c 为三角形 ABC 三边长,a ? 1, b ? c , 若l o g 则三角形 ABC 的形状为( A.锐角三角形 ) C.钝角三角形

al o ? g

cb ?

a 2l o g ?

cb?

l o g a

cb ?

a ,

B.直角三角形

D.无法确定

x2 ? y 2 ? 1的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 M 与 C 的焦点不重 5.如图所示,已知椭圆 C : 4 ???? ? 2 ???? ????? 2 ???? ? MF ? F P MF ? F Q P , Q 合,分别延长 MF 到 ,使得 , , D 是椭圆 C 上一点, , MF 1 1 2 2 1 2 3 3 ???? 3 ???? ? 2 ???? 延长 MD 到 N ,若 QD ? QM ? QN ,则 | PN | ? | QN |? ( ) 5 5
A.10 B.5 C.6 D.3

6.若 sin( A.

?

1 3

1 ? 2 ? ,则 2 cos ( ? ) ? 1 ? ( 6 3 6 2 1 7 7 B. ? C. D. ? 3 9 9 ??) ?



7.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 16 3cm ,它的三视图中的俯视图如图 所示,侧视图是一个矩形,则侧视图的面积是( A.8 B. 8 3 C.4 D. 4 3 )

3

8.定义区间 [ x1 , x2 ] 的长度为 x2 ? x1 ( x2 ? x1 ) , 函数 f ( x) ?

(a 2 ? a) x ? 1 (a ? R, a ? 0) 的定 a2 x


义域与值域都是 [m, n](n ? m) ,则区间 [m, n] 取最大长度时实数 a 的值为(

A.

2 3 3

B.-3
2

C.1

D.3

9.已知函数 f ( x) ? x ?

ln | x | ,则函数 y ? f ( x) 的大致图象为( x



10.执行如图所示的程序框图,若输入 x 的值为 4,则输出的结果是( A.1 B. ?



1 2

C. ?

5 4

D. ?

13 8

11.已知非零向量 a, b 满足 | a |? 2 | b | ,若函数 f ( x) ? 极值,则 a 和 b 夹角的取值范围是( A. [0,

? ?

?

?

1 3 1 ? 2 ?? x ? | a | x ? abx ? 1 在 R 上存在 3 2

?

?



?
6

)

B. (

?
3

,? ]

C. (

? 2?
3 , 3

]

D. [

?
3

,? ]


12.若函数 f ( x) ? x ? sin 2 x ? a sin x 在 (??, ??) 单调递增,则 a 的取值范围是( A. [?1,1] C. [1, ? ]

1 3 1 B. [ ?1, ] 3

1 3

D. [ ?1, ? ]

1 3

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) ???? ? ??? ? ???? 13.在正方体 ABCD 中, M 是 BD 的中点,且 AM ? mAB ? nAD,(m, n ? R) ,函数

f ( x) ? e x ? ax ? 1 的图象为曲线 ? ,若曲线 ? 存在与直线 y ? (m ? n) x 垂线的切线( e 为
自然对数的底数) ,则实数 a 的取值范围是 14.已知直线 x ? .

?
4

是函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x(ab ? 0) 图象的一条对称轴,则直线 .

ax ? by ? c ? 0 的倾斜角为

?y ? 2 1 x ? 15.设 x, y 满足不等式 ? x ? y ? 1 ,若 M ? 4 x ? y , N ? ( ) ,则 M ? N 的最小值 2 ?x ? y ? 1 ?

2

.
2 2

16.抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F ,其准线与双曲线 x ? y ? 1相交于 A, B 两点,若

?ABF 为等边三角形,则 p ?

.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的首项 a1 ? 4 ,前 n 项和为 Sn ,且 Sn?1 ? 3Sn ? 2n ? 4 ? 0 ( n ? N ).
*

(1)求数列 {an } 的通项公式;
' 2 3 n (2)设函数 f ( x) ? an x ? an?1x ? an?2 x ? ?? a1x , f ( x) 是函数 f ( x ) 的导函数,令

bn ? f ' (1) ,求数列 {bn } 的通项公式,并研究其单调性.

18. (本小题满分 12 分) 如图,三棱锥 S ? ABC , E , F 分别在线段 AB, AC 上, EF / / BC , ?ABC , ?SEF 均是等 边三角形,且平面 SEF ? 平面 ABC ,若 BC ? 4, EF ? a , O 为 EF 的中点.

(1)当 a ?

3 时,求三棱锥 S ? ABC 的体积; 2

(2) a 为何值时, BE ? 平面 SCO .

19. (本小题满分 12 分) 国内某知名大学有男生 14000 人, 女生 10000 人, 该校体育学院想了解本校学生的运动状况, 根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取 120 人, 统计他们平均每天运动的时间, 如 下表: (平均每天运动的时间单位:小时,该校学生平均每天运动的时间范围是 [0,3] ). 男生平均每天运动时间分布情况:

女生平均每天运动时间分布情况:

(1)请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间(结果精确到 0.1) ; (2)若规定平均每天运动的时间不少于 2 小时的学生为“运动达人” ,低于 2 小时的学生为 “非运动达人”. ①请根据样本估算该校“运动达人”的数量; ②请根据上述表格中的统计数据填写下面 2 ? 2 列联表,并通过计算判断能否在犯错误的概 率不超过 0.05 的前提下认为“是否为‘运动达人’与性别有关?”

参考公式: k 2 ? 参考数据:

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P(K 2 ? k0 )
k0

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,过右焦点 F 且垂直于 x 轴的直线与椭 2 2 a b

圆 C 相交于 M , N 两点,且 | MN |? 3 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 经过点 F 且斜率为 k , l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点,与以椭圆 C 的右顶点 E 为圆心相交于 P, Q 两点( A, P, B, Q 自上至下排列) , O 为坐标原点, OA ? OB ? ?

??? ? ??? ?

9 ,且 5

| AP |?| BQ | ,求直线 l 和圆 E 的方程.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

ln x ? k ( k 为常数, e ? 2.71828?是自然对数的底数) ,曲线 y ? f ( x) ek

在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行. (1)求 k 的值;
2 ' ' ?2 (2)设 g ( x) ? ( x ? x) f ( x) ,其中 f ( x) 为 f ( x ) 的导函数,证明:?x ? 0, g ( x) ? 1 ? e .

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

如图,圆 M 与圆 N 交于 A, B 两点,以 A 为切点作两圆的切线分别交圆 M 和圆 N 于 C , D 两点,延长 DB 交圆 M 于点 E ,延长 CB 交圆 N 于点 F ,已知 BC ? 5, DB ? 10 . (1)求 AB 的长; (2)求

CF . DE

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? ?1 ? t cos ? ( t 为参数,0 ? ? ? ? ) , 以坐标原点 O 为极点, y ? 3 ? t sin ? ?

? x 轴正半轴为极轴建立坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2 2 sin(? ? ) . 4 ? (1)若极坐标为 ( 2, ) 的点 A 在曲线 C1 上,求曲线 C1 与曲线 C2 的交点坐标; 4
(2)若点 P 的坐标为 (?1,3) ,且曲线 C1 与曲线 C2 交于 B, D 两点,求 | PB || PD | . 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设不等式 | 2 x ? 1|? 1 的解集为 M ,且 a ? M , b ? M . (1)试比较 ab ? 1 与 a ? b 的大小; (2)设 max A 表示数集 A 中的最大数,且 h ? max{

2 a?b 2 , , } ,求 h 的范围. a ab b

参考答案 一、选择题 ABBBA ABDAC BC

二、填空题 13.

(1, ??)

14.

? 4

15. -4

16. 2 3

三、解答题
* 17.(1)由 Sn?1 ? 3Sn ? 2n ? 4 ? 0 , (n ? N ) ,得 Sn ? 3Sn?1 ? 2n ? 2 ? 4 ? 0 (n ? 2)

两式相减得 an?1 ? 3an ? 2 ? 0 ,可得 an?1 ? 1 ? 3(an ? 1)(n ? 2) 又由已知 a2 ? 14 , ∴ a2 ? 1 ? 3(a1 ? 1) , 即 {an ? 公比 q ? 3 的等比数列, 1 } 是一个首项为 5, ∴ an ? 5 ? 3n?1 ?1(n ? N * ) . (2)∵ f ' ( x) ? an ? 2an?1x ? ?? na1xn?1 , ∴ f ' (1) ? an ? 2an?1 ? ?? na1

? (5 ? 3n?1 ?1) ? 2(5 ? 3n?2 ?1) ? ?? n(5 ? 30 ?1)
? 5[3n ?1 ? 2 ? 3n ?2 ? 3 ? 3n ?3 ? ? ? n ? 30 ] ?
令S ?3
n ?1

n(n ? 1) 2

? 2 ? 3n?2 ? 3 ? 3n?3 ? ? ? n ? 30 ,则

即 bn ?

5 ? 3n ?1 ? 15 n(n ? 6) ? 4 2 5 ? 3n? 2 ? 15 (n ? 1)(n ? 7) 15 ? 3n 7 ? ?n? ? 0 ,∴作差得: bn ?1 ? bn ? 4 2 2 2

而 bn ?1 ?

∴ {bn } 是单调递增数列.

18.(1)平面 SEF ? 平面 ABC , O 为 EF 的中点,且 SE ? SF ,所以 SO ? EF , ∴ SO ? 平面 ABC ,即 SO ?

3 1 VS ? ABC ? S?ABC ? SO ? 3 . 4 2

(2)平面 SEF ? 平面 ABC , O 为 EF 的中点,且 SE ? SF , ∴ SO ? 平面 ABC ,故 SO ? BE , 要使 BE ? 平面 SCO ,则需 BE ? CO ,

1 1 EO ? a , AD ? 2 , 2 4 1 1 8 ∴ AE ? 2 ? a ,即 AE ? EF , 2 ? a ? a , a ? , 4 4 3 8 所以 a ? 时, BE ? 平面 SCO . 3
延长 CO 交 AB 于 D ,则 CD ? AB , DE ?

19.(1)由分层抽样得:男生抽取的人数为 120 ?

14000 ? 70 人,女生抽取人数为 14000 ? 10000

120 ? 70 ? 50 人,
故 x ? 5, y ? 2 , 则该校男生平均每天运动时间为:

0.25 ? 2 ? 0.75 ?12 ? 1.25 ? 23 ? 1.75 ?18 ? 2.25 ?10 ? 2.75 ? 5 ? 1.5 70
故该校男生平均每天运动的时间约为 1.5 小时; (2)①样本中“运动达人”所占比例是

20 1 ? ,故估计该校“运动达人”有 120 6

1 ? (14000 ? 10000) ? 4000 人; 6
②由表可知:

故 K 的观测值 k ?
2

120(15 ? 45 ? 5 ? 55)2 96 ? ? 2.743 ? 3.841 20 ?100 ? 50 ? 70 35

故在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关” 20. (1) 设 F (c , 0 )

c 1 b2 2? ? 3 , , 则由题意得 c ? a ? b , ? , 解得 a ? 2, b ? 3, c ? 1 , a 2 a
2 2 2

∴椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(2)由题意,直线 l 的斜率 k 存在,设 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 联立椭圆方程得: (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 .

8k 2 4k 2 ? 12 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
∴ y1 y2 ? ?

9k 2 . 3 ? 4k 2 12 ? 5k 2 . 3 ? 4k 2

∴ OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? 9 12 ? 5k 2 9 ? ? ,解得: k 2 ? 3 . ∵ OA ? OB ? ? ,∴ ? 2 5 3 ? 4k 5
由题意可得: | AP |?| BQ | 等价于 | AB |?| PQ | . 设圆 E 的半径为 r , ∵ | AB |? 1 ? k | x1 ? x2 |?
2

12 ? 12k 2 k2 2 , . | PQ | ? 2 r ? 3 ? 4k 2 1? k 2
2

2 将 k ? 3 代入 | AB |?| PQ | 解得: r ?

331 . 100

故所求直线 l 的方程为 y ? ? 3( x ?1) ,即 3x ? y ? 3 ? 0 与 3x ? y ? 3 ? 0 ; 圆 E 的方程为 ( x ? 2) ? y ?
2 2

331 . 100

ln x ? k 1 ? kx ? x ln x ' ,得 f ( x) ? , x ? (0, ??) . x e xe x 1? k ' ? 0 ,∴ k ? 1 由已知,得 f (1) ? e 1 ? x ? x ln x x ? 1 2 ? x (1 ? x ? x ln x) , x ? (0, ??) (2)由(1) ,得 g ( x) ? ( x ? x) xe x e
21. (1)由 f ( x) ? 设 h( x) ? 1 ? x ? x ln x ,则 h' ( x) ? ? ln x ? 2 , x ? (0, ??) 令 h' ( x) ? 0 ,得 x ? e . 当 0 ? x ? e 时, h' ( x) ? 0 ,∴ h( x) 在 (0, e?2 ) 上是增函数; 当 x ? e 时, h' ( x) ? 0 ,∴ h( x) 在 (e?2 , ??) 上是减函数. 故 h( x) 在 (0, ??) 上的最大值为 h(e?2 ) ? 1 ? e?2 ,即 h( x) ? 1 ? e?2 . 设 ? ( x) ? e x ? ( x ? 1) ,则 ? ' ( x) ? ex ?1 ? 0 , x ? (0, ??) , ∴ ? ( x) 在 (0, ??) 上是增函数, ∴ ? ( x) ? ? (0) ? 0 ,即 e ? ( x ? 1) ? 0 ,∴ 0 ?
x
?2 ?2 ?2

∴ g ( x) ?

x ?1 h( x) ? 1 ? e ?2 . ex
?2

x ?1 ? 1. ex

因此,对任意 x ? 0 , g ( x) ? 1 ? e . 22. (1)根据弦切角定理,知 ?BAC ? ?BDA , ?ACB ? ?DAB , ∴ ?ABC ∽ ?DBA ,则

AB BC 2 ? ,故 AB ? BC ? BD ? 50 , AB ? 5 2 . DB BA
2

2 (2)根据切割线定理,知 CA ? CB ? CF , DA ? DB ? DE ,

两式相除,得

CA2 CB CF ? ? (*) DA2 DB DE

由 ?ABC ∽ ?DBA , 得

CB 5 1 AC AB 5 2 2 CA2 1 ? ? , ? ,又 ? ? ? , 2 DB 10 2 DA 2 DA DB 10 2

由(*)得

CF ? 1. DE

23. (1)点 ( 2,

?

4

) 对应的直角坐标为 (1,1) ,

由曲线 C1 的参数方程知,曲线 C1 是过点 (?1,3) 的直线,故曲线 C1 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,

而曲线 C2 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 ,联立得 ?

? x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 ? x? y?2? 0



解得: ?

? x1 ? 2 ? x2 ? 0 ,? ,故交点坐标分别为 (2,0),(0, 2) . ? y1 ? 0 ? y2 ? 2

(2)由判断知, P 在直线 C1 上,将 ?

? x ? ?1 ? t cos ? 代入方程 x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 ? y ? 3 ? t sin ?

得: t 2 ? 4(cos ? ? sin ? )t ? 6 ? 0 ,设点 B, D 对应的参数分别为 t1 , t2 ,则 | PB |?| t1 | ,

| PD |?| t2 | ,而 t1t2 ? 6 ,
以 | PB || PD |?| t1 || t2 |?| t1t2 |? 6 . 24. (1) M ? {x | 0 ? x ? 1} , a, b ? M ,∴ 0 ? a ? 1,0 ? b ? 1 ,

ab ? 1 ? a ? b ? (a ? 1)(b ? 1) ? 0 ,∴ ab ? 1 ? a ? b
(2)∵ h ?

2 a?b 2 ,h ? ,h ? a ab b

∴h ?
3

4(a ? b) 4(a 2 ? b 2 ) 4 ? 2ab ? ? ?8 ab ab ab

∴ h ? (2, ??) .


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