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导数的概念、几何意义及其运算


导数的概念、几何意义及其运算
常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式 :

C ? 0(C为常数) ;

'

( x ) ? nx

n '

n ?1

,n? N ;
x ' x

?

(sin x) ? cos x ;
'

' (cos x) ? ? sin x; (e ) ? e ;

(a ) ? a ln a ;
x ' x

1 1 ' ; (log x) ? log e a a x x ' ' ' 法则 1: [u ( x) ? v( x)] ? u ( x) ? v ( x) (ln x) ?
'
'

法则 2:

[u( x)v( x)] ? u ( x)v( x) ? u ( x)v ( x)
' '
' ' 法则 3: [ u ( x) ]' ? u ( x)v( x) ? u ( x)v ( x) (v( x) ? 0) 2 v( x) v ( x) (一)基础知识回顾: 1.导数的定义:函数 y ? f ( x) 在 x 0 处的瞬时变化率

f ( x ? ?x) ? f ( x ) ?y / 0 0 称为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数, 记作 f ( x0 ) 或 ? lim ?x ?0 ?x ?x ?o ?x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) y / x ? x0 ,即 f / ( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x 如果函数 y ? f ( x) 在开区间 (a, b) 内的每点处都有导数,此时对于每一个 x ? (a, b) , lim
都对应着一个确定的导数 f ( x) ,从而构成了一个新的函数 f ( x) 。称这个函数 f ( x) 为 函数 y ? f ( x) 在开区间内的导函数,简称导数,也可记作 y ,即 f ( x) = y = f ( x ? ?x) ? f ( x) lim ?x ?0 ?x 导数与导函数都称为导数,这要加以区分:求一个函数的导数,就是求导函数;求函数
/ / / / / /

y ? f ( x) 在 x 0 处的导数 y /
f / ( x0 ) 。

x ? x0

,就是导函数 f ( x) 在 x 0 处的函数值,即 y

/

/

x ? x0



2. 由导数的定义求函数 y ? f ( x) 的导数的一般方法是: (1).求函数的改变量

?f ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ;
(2).求平均变化率

?f f ( x ? ?x) ? f ( x) ; ? ?x ?x

(3).取极限,得导数 y = lim

/

?x ? 0

?f 。 ?x

3.导数的几何意义:函数 y ? f ( x) 在 x 0 处的导数是曲线 y ? f ( x) 上点( x0 , f ( x0 ) )处的切 线的斜率。

基础练习:
1.曲线 y ? x3 ? 2 x ? 4 在点 (1, 3) 处的切线的倾斜角为( A.30° B.45° C.60° )

D.120° )

2.设曲线 y ? ax 2 在点 (1,a ) 处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行, 则 a ?( A.1 B.
1 2

C. ?

1 2

D. ?1

1

3.设 P 为曲线 C: y ? x 2 ? 2 x ? 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范
? ?? 围为 ?0, ? ,则点 P 横坐标的取值范围为( ? 4?
1? ? A. ? ?1, ? ? 2? ?
0? B. ? ?1, 1? C. ? 0,


?1 ? D. ? , 1 ?2 ? ?

1 x ? b 是曲线 y ? ln x ? x ? 0 ? 的一条切线,则实数 b= 2 x ?1 5.设曲线 y ? 在点 (3, 2) 处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? ( x ?1 1 1 A.2 B. C. ? D. ?2 2 2

4.直线 y ?

. )

6.曲线 y ? e x 在点 (2,e 2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(
9 A. e2 4



B. 2e2

C. e 2

D.

e2 2

1 ? 4? 7.曲线 y ? x3 ? x 在点 ?1, ? 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( 3 ? 3?



A.

1 9

B.

2 9

C.

1 3
2

D.

2 3

8.过点(-1,0)作抛物线 y ? x ? x ? 1 的切线,则其中一条切线为 (A) 2 x ? y ? 2 ? 0 (B) 3x ? y ? 3 ? 0 (C) x ? y ? 1 ? 0 (D) x ? y ? 1 ? 0

9、如果质点 A 按规律 S=2t3 运动,则在 t=2 秒时的瞬时速度为 ( ) (A) 6 (B) 8 (C) 16 (D)24 3 3 10、 (2005 重庆理科)曲线 y ? x 在点(a, a )( a ? 0) 处的切线与 x 轴、直线 x ? a 所围成 的三角形的面积为

1 , 则a = 6

11、 (2008 北京理)如图,函数 f ( x) 的图象是折线段 ABC ,其中 A , B,C y 的坐标分别为 (0,,,,, ; 4) (2 0) (6 4) ,则 f ( f (0)) ? A C 4 f (1 ? ?x) ? f (1) 3 . (用数字作答) lim ? ?x ?0 2 ?x 1 B O 1 2 3 4 5 6 x 12 经过原点且与曲线 y=lnx 相切的直线的方程是___________________ 13(2008 海南、宁夏文)设函数

f ( x) ? ax ?

b ,曲线 y ? f ( x) 在点 (2, x

f (2)) 处的切线

方程为 7 x ? 4 y ? 12 ? 0 。

(1)求 y ? f ( x) 的解析式;

2

导数的概念、几何意义及其运算答案
1.B 2.A 3.A 4. ln2-1 5.D 6. D 7.( A )
2

x ?1 y ? x0 ? x0 ? 1 (x , y ) ? 8.解: y ? 2 x ? 1 ,设切点坐标为 0 0 ,则切线的斜率为 2 0 ,且 0
于是切线方程为 y ? x0 ? x0 ? 1 ? (2 x0 ? 1)( x ? x0 ) ,因为点(-1,0)在切线上,可解得
2

x0 =0 或-4, 代入可验正 D 正确。 选D

9、 D ; 10 ? 1 ; 11 2 , -2

12 ;

y?

1 ; x e

13、解: (Ⅰ)方程 7 x ? 4 y ? 12 ? 0 可化为 y ? 又 f ?( x) ? a ?

7 1 x ? 3 . 当 x ? 2 时, y ? . 4 2

b , x2

b 1 ? 2a ? ? , ? ?a ? 1, ? 2 2 于是 ? , 解得 ? ?b ? 3. ?a ? b ? 7 , ? ? 4 4

故 f ( x) ? x ?

3 . x

3

函数的单调性、极值、最值与导数
1、函数单调性的充分条件: 函数 y ? f ( x) 在某个区间 (a, b) 内可导, 若 f ?( x) ? 0 ,则函数 y ? f ( x) 在 (a, b) 内单调递增;若 f ?( x) ? 0 ,则在 (a, b) 内单调递减. 2、函数单调性的必要条件: 函数 y ? f ( x) 在某个区间 (a, b) 内可导, 若 y ? f ( x) 在 (a, b) 内单调递增,则 f ?( x) ? 0 ;若在 (a, b) 内单调递减,则 f ?( x) ? 0 . 3、函数单调区间的求法: (注意单调区间的表达) 首先,确定函数 y ? f ( x) 的定义域;其次,求 f ?( x) ;最后,在定义域中解不等式

f ?( x) ? 0 得增区间,解不等式 f ?( x) ? 0 得减区间.
1、极值的概念: 设 函 数 y ? f ( x) 在 x0 附 近 有 定 义 , 如 果 对 x0 附 近 的 所 有 点 , 都 有

f ( x) ? f ? x0 ? ( f ( x) ? f ? x0 ?) ,我们就说 f ? x0 ? 是函数 f ( x) 的一个极大(小)值,记作 y极大值 ? f ? x0 ? ( y极小值 ? f ? x0 ?) ,把 x0 点叫做函数的极大(小)值点.
特 别 地 , 若 函 数 y ? f ( x) 可 导 , f ? ? x0 ? ? 0 , 而 且 在 点 x ? x0 附 近 的 左 侧

f ? ? x ? ? 0 ? f ? ? x ? ? 0 ? ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ? f ? ? x ? ? 0 ? ,则称 f ? x0 ? 是函数 f ( x) 的一个极
大(小)值. 2、求可导函数极值的步骤: ① 确定函数的定义域; ② 求导数 f ? ? x ? ; ③ 解方程 f ? ? x ? ? 0 ; ④ 当 f ? ? x0 ? ? 0 时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极大值; (2)如果 在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极小值. 3、” f ? ? x0 ? ? 0 ” 是 ” x0 是函数极值点.” 的必要不充分条件. 4、函数最值的概念: 函数 y ? f ( x) 在 ? a, b ? 上所有点处最大(小)的函数值,称为 y ? f ( x) 的最大(小)值.

4

5、函数最值的判断: ① 求函数 y ? f ( x) 在区间 ? a, b ? 内的极值;② 将 f ( x) 的各极值与端点处的函数值

f ? a ? 、f ? b? 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
6、极值与最值的区别与联系: (1)函数极值是局部性质,最值是整体性质; (2)函数在定义区间上最大、最小值最多各有一个,但极值可能不止一个,也可能不存在; (3)当函数在某区间上的图像连续,并有且仅有一个极值时,该极值必为函数的最值.

基础练习:
1.(2008 广东文)设 a ? R ,若函数 y ? e ? ax , x ? R 有大于零的极值点,则(
x



1 e , 2. (2008 福建文)如果函数 y ? f ( x) 的图像如右图,那么导函数 y ? f ( x) 的图像可能是 ( )
A. a ? ?1 B. a ? ?1 C. a ? ? D. a ? ?

1 e

3. (2004 全国卷Ⅱ理科)函数 y=xcosx-sinx 在下面哪个区间内是增函数(



3? ? 3? 5? (A)( , ) (B)( ? ,2 ? ) (C)( , ) (D)(2 ? ,3 ? ) 2 2 2 2


4.( 2007广东文)函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是
3

5. (2007 江苏)已知函数 f ( x) ? x ? 12 x ? 8 在区间 [?3,3] 上的最大值与最小值分别为

M , m ,则 M ? m ?
3

.
2

6、已知函数 f ( x) ? ? x ? 3x ? 9 x ? a. (Ⅰ)求 f ( x) 的单调减区间; (Ⅱ)若 f ( x) 在区间[-2,2].上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.

5

7、已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在 x ? ?
3 2

2 与 x ? 1 时都取得极值. 3

(1)求 a,b 的值及函数 f ( x) 的单调区间; (2)若对 x ?[?1 , 2] ,不等式 f ( x) ? c 恒成立,求 c 的取值范围.
2

8.(2008 北京文)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 3bx ? c(b ? 0), 且g ( x) ? f ( x) ? 2 是奇函数. (Ⅰ)求 a,c 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间.
3 2

6

9. (2004 浙江文)已知 a 为实数, f ( x) ? ( x ? 4)( x ? a) (Ⅰ)求导数 f ?( x) ;
2

(Ⅱ)若 f ?(?1) ? 0 ,求 f ( x) 在[-2,2] 上的最大值和最小值; (Ⅲ)若 f ( x) 在(-∞,-2]和[2,+∞)上都是递增的,求 a 的取值范围。

10. (2005 全国卷 II 文科)设 a 为实数,函数 f ( x) ? x ? x ? x ? a . (I)求 f ( x) 的极值;
3 2

(II)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y ? f ( x) 与 x 轴仅有一个交点.

7

函数的单调性、极值、最值与导数(答案)
1.A ; 2.A ; 3.B;
2

4. ? ,?? ?

?1 ?e

? ?

;5.

32

.

6、解: (I) f ?( x) ? ?3x ? 6 x ? 9. 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?1或x ? 3, 所以函数 f ( x) 的单调递减区间为 (??,?1), (3,??). (II)因为 f (?2) ? 8 ? 12 ? 18 ? a ? 2 ? a,

f (2) ? ?8 ? 12 ? 18 ? a ? 22 ? a,

所以 f (2) ? f (?2). 因为在(-1,3)上 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在[-1,2]上单调递 增,又由于 f ( x) 在[-2,-1]上单调递减,因此 f (2) 和 f (?1) 分别是 f ( x) 在区间[-2, 2]上的最大值和最小值.于是有 22 ? a ? 20 ,解得 a ? ?2. 故 f ( x) ? ? x ? 3x ? 9 x ? 2.
3 2

因此 f (?1) ? 1 ? 3 ? 9 ? 2 ? ?7,

即函数 f ( x) 在区间[-2,2]上的最小值为-7. 7、解: (1)f(x)=x +ax +bx+c,f?(x)=3x +2ax+b
3 2 2

由 f?( - x

f?(x)=3x2-x-2=(3x+2) (x-1) ,函数 f(x)的单调区间如下表:
(-?,-

2 12 4 1 )= - a+b=0 ,f?(1)=3+2a+b=0 得 a= - ,b=-2 3 9 3 2

f? (x) + f(x) ?

2 2 ) - 3 3
0 极大值

(- -

1 2 ,1) 3 0 极小值

(1,+?) +

?

?

2 2 )与(1,+?) 。递减区间是(- ,1) 3 3 1 2 22 (2)f(x)=x3- x2-2x+c,x?〔-1,2〕 ,当 x=- 时,f(x)= +c 2 3 27
所以函数 f(x)的递增区间是(-?,- 为极大值,而 f(2)=2+c,则 f(2)=2+c 为最大值。 2 2 要使 f(x)?c (x?〔-1,2〕 )恒成立,只需 c ?f(2)=2+c 解得 c?-1 或 c?2 8.解: (Ⅰ) 因为函数 g(x)=f(x)-2 为奇函数, 所以, 对任意的 x∈R,g(-x)=-g(x),即 f(-x)- 2=-f(x)+2. 又 f(x)=x3+ax2+3bx+c,所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2. 所以

a ? ? a,

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f(x)=x3+3bx+2. 所以 f′(x)=3x2+3b(b≠0). 当 b<0 时,由 f′(x)=0 得 x=± ? b . x 变化时,f′(x)的变化情况如下表: x f′(x) (-∞,+

c ? 2 ? ?c ? 2.

解得 a=0,c=2.

?b )

- ?b 0

(- ? b , ? b ) 0

?b

( ? b ,+∞) +

所以,当 b<0 时,函数 f (x)在(-∞,- ? b )上单调递增,在(- ? b , ? b )上单调

8

递减,在( ? b ,+∞)上单调递增. 当 b>0 时,f′(x)>0.所以函数 f (x)在(-∞,+∞)上单调递增. 9.解: (Ⅰ)由原式得 f ( x) ? x ? ax ? 4 x ? 4a,
3 2

∴ f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 4.
2

(Ⅱ)由 f ?(?1) ? 0 得 a ? 由 f ?(?1) ? 0 得 x ?

1 1 ,此时有 f ( x) ? ( x 2 ? 4)( x ? ), f ?( x) ? 3x 2 ? x ? 4 . 2 2

4 或 x=-1 , 3 4 50 9 又 f( )?? , f (?1) ? , f (?2) ? 0, f (2) ? 0, 3 27 2 9 50 所以 f(x)在[--2,2]上的最大值为 , 最小值为 ? . 2 27 2 (Ⅲ)解法一: f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 4 的图象为开口向上且过点(0,--4)的抛物线,由条件得 即 4a ? 8 ? 0 ∴--2≤a≤2. f ?(?2) ? 0, f ?(2) ? 0, 8 ? 4a ? 0.

?

所以 a 的取值范围为[--2,2]. 解法二:令 f ?( x) ? 0 即 3x ? 2ax ? 4 ? 0, 由求根公式得: x1, 2 ?
2

由题意可知,当 x≤-2 或 x≥2 时, f ?( x) ≥0, 从而 x1≥-2,

所以 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 4. 在 ?? ?, x1 ?和 ?x 2 ,?? ? 上非负.
2

a ? a 2 ? 12 ( x1 ? x 2 ) 3

x2≤2,

? 即? a

?

2 ? 12 ? a ? 6 解不等式组得: --2≤a≤2. 2 ? ? a ? 12 ? 6 ? a.
1 3

∴a 的取值范围是[--2,2]. 10、 【解】 (1) f ?( x) ? 3x ? 2 x ? 1 ,若 f ?( x) ? 0 ,则 x ? ? ,1
2

当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 变化情况如下表:

x
f ?( x) f ( x)

1 (??, ? ) 3


?

1 3

1 (? ,1) 3


1 0 极小值

(1, ??)


0 极大值

?

?

?

1 5 ? a ,极小值是 f (1) ? a ? 1 . 3 27 3 2 2 (2)函数 f ( x) ? x ? x ? x ? a ? ( x ? 1) ( x ? 1) ? a ? 1 . 由此可知 x 取足够大的正数时,有 f ( x) ? 0 , x 取足够小的负数时,有 f ( x) ? 0 ,所以曲 线 y ? f ( x) 与 x 轴至少有一个交点.结合 f ( x) 的单调性可知: 5 5 当 f ( x) 的极大值 ? a ? 0 ,即 a ? (?? , ? ) 时,它的极小值也小于 0 ,因此曲线 27 27 y ? f ( x) 与 x 轴仅有一个交点,它在 (1, ??) 上; 当 f ( x) 的极小值 a ? 1 ? 0 时,即 a ? (1, ??) 上时,它的极大值也小于 0, y ? f ( x) 与 x 轴 1 5 仅有一个交点,它在 (??, ? ) 上.所以,当 a ? (??, ? ) ? (1, ??) 时,曲线 y ? f ( x) 与 x 3 27
所以 f ( x) 的极大值是 f (? ) ? 轴仅有一个交点.
9


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