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2017年高三数学(理)一轮总复习 第2篇 第1节 函数及其表示课件_图文

第二篇

函数、导数及其应用(必修1、
选修2-2)

第1节

函数及其表示

最新考纲 1.了解构成函数的要素,会求一 些简单函数的定义域和值域;了 解映射的概念. 2.在实际情境中,会根据不同的 需要选择恰当的方法(如图象

法、列表法、解析法)表示 函数. 3.了解简单的分段函数, 并能简单应用(函数分段 不超过三段).

编写意图

函数的概念及其表示是研究函数性质与应用的基础,高

考中常以基本初等函数为载体,考查函数的定义域、值域、解析式 的求法,考查分段函数的求值、解方程、解不等式、最值等问题.本

节围绕高考命题的规律进行设点选题.重点突出函数与映射概念的
理解.函数解析式的求法,待定系数法、换元法与方程思想的应用, 难点突破分段函数及应用,分类讨论思想、数形结合思想,函数与方

程思想的应用,思想方法栏目进一步凸显了分类讨论思想在分段函
数问题中的应用.

夯基固本

考点突破 思想方法

夯基固本
知识梳理
1.函数的概念

抓主干

固双基

设A,B都是非空的 数集 ,如果按照某种确定的对应关系f,使对 于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它 对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x), x∈A,其中x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数f(x)的 定义域 , 与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做 函数f(x)的 值域 ,显然,值域是集合B的子集,函数的 定义域 、

值域和对应关系构成了函数的三要素.

质疑探究:函数的值域是由函数的定义域、对应关系唯一确定
的吗? (提示:是.函数的定义域和对应关系确定后函数的值域就确定

了,在函数的三个要素中定义域和对应关系是关键 )
2.函数的表示法 (1)基本表示方法: 解析法 、图象法、列表法.

(2)分段函数:在定义域的不同范围内函数具有不同的解析式, 这类函数称为 分段函数 .分段函数是一个函数,分段函数的
并集 定义域是各段定义域的 并集 ,值域是各段值域的 .

3.映射

设A,B都是非空的集合,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集

合A中的任意一个元素x,在集合B中都有

唯一确定 的元素y与之

对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.

基础自测
1.下列各图中,可表示函数 y=f(x)的图象的只可能是( D )

解析:根据函数的定义,对定义域内的任意一个 x 必有唯一 的 y 值和它对应.

2.(2014 高考江西卷)函数 f(x)=ln(x2-x)的定义域为( C (A)(0,1) (B)[0,1] (C)(-∞,0)∪(1,+∞) (D)(-∞,0]∪[1,+∞)

)

解析:由题意可得 x -x>0, 解得 x>1 或 x<0, 所以所求函数的定义域为(-≦,0)∪(1,+≦). 故选 C.

2

3.设函数 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 g(x)的表达式是( B ) (A)g(x)=2x+1 (B)g(x)=2x-1 (C)g(x)=2x-3 (D)g(x)=2x+7

解析:法一 ≧g(x+2)=2x+3=2(x+2)-1, ?g(x)=2x-1. 法二 ≧g(x+2)=2x+3,令 t=x+2,则 x=t-2. ?g(t)=2(t-2)+3=2t-1. ?g(x)=2x-1.

x ? ? 4 , x ? 1, 4.(2014 西安模拟)已知函数 f(x)= ? 若 f(x)=2,则 ? ? ? x, x ? 1,

x=

.
x

1 解析:当 x≤1 时,由 4 =2,得 x= ; 2

当 x>1 时,由-x=2,得 x=-2<1,舍去.
1 ?x= . 2 1 答案: 2

5.给出下列命题: ①函数是其定义域到值域的映射. ②若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数. ③f(x)= x ? 1 + 1 ? x 是函数. ④函数 y=2x(x∈N)的图象是一条直线.
2 2 ? ? ? 1 ? x ? ?1 ? x ? 1? , ? 1 ? x ? ?1 ? x ? 1? , ⑤若 f(x)= ? 则 f(-x)= ? ? ? ? x ? 1? x ? 1或x ? ?1? , ?? x ? 1? x ? 1或x ? ?1? .

其中真命题有

.(写出所有真命题的序号).

解析:①正确,但映射不一定是函数,②不正确,如函数 y=x 与 y=x+1,其 定义域与值域完全相同,但不是相等函数,③正确,f(x)是定义域为{1}, 值域为{0}的函数,④不正确,函数 y=2x(x∈N)的图象是分布在射线 y=2x(x≥0)上的无数个孤立的点.⑤正确,当-1≤x≤1 时,-1≤-x≤1, f(-x)= 1 ? ? ? x ? = 1 ? x 2 ;当 x>1 或 x<-1 时,-x>1 或-x<-1,
2

f(-x)=-x+1.
答案:①③⑤

考点突破
考点一 函数与映射的概念

剖典例

找规律

【例 1】 (1)下列四组函数中,表示相等函数的是(
2 (A)f(x)= x 2 ,g(x)=( x )

)

(B)f(x)= x ? 1 · x ? 1 ,g(x)= x 2 ? 1 (C)f(x)=2lg x,g(x)=lg x2
?1, x ? 1, ? (D)f(x)= ?2,1 ? x ? 2, ?3, x ? 2, ?
x g(x) x≤1 1 1<x<2 2 x ≥2 3

(2)有以下判断:

?1, x ? 0, ①f(x)= 与 g(x)= ? 表示相等函数. x ??1, x ? 0
x

②函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的交点最多有 1 个. ③f(x)=x -2x+1 与 g(t)=t -2t+1 是相等函数.
2 2

? ④若 f(x)=|x-1|-|x|,则 f ? ?
其中正确判断的序号是

? 1 ?? f ? ? ? =0. ? 2 ??
.

? 1? (3)已知 f:x→-sin x 是集合 A(A? [0,2π ])到集合 B= ?0, ? 的 ? 2?

一个映射,则集合 A 中的元素个数最多有( (A)4 个 (B)5 个 (C)6 个 (D)7 个

)

解析:(1)选项 A 中,f(x)=|x|(x∈R),g(x)=x(x≥0),两函数定义域不

? x ? 1 ? 0, 同,选项 B 中,由 ? 得 f(x)的定义域为{x|x≥1},由 x2-1≥0, ? x ? 1 ? 0,
得 g(x)的定义域为{x|x≥1 或 x≤-1},两函数的定义域不同,选项 C 中,f(x)的定义域为{x|x>0},g(x)的定义域为{x|x≠0},两函数定义 域不同,选项 D 中,两个函数的定义域与对应关系都相同.

(2)对于①,由于函数 f(x)=

?1, x ? 0, 的定义域为{x|x∈R 且 x≠0},而函数 g(x)= ? 的 x ??1, x ? 0
x

定义域是 R,所以两者不是相等函数;对于②,若 x=1 不是 y=f(x)定义域内的值,则直线 x=1 与 y=f(x)的图象没有交点,若 x=1 是 y=f(x)定义域内的值,由函数的定义可知,直 线 x=1 与 y=f(x)的图象只有一个交点,即 y=f(x)的图象与直线 x=1 最多有一个交点; 对于③,f(x)与 g(t)的定义域、值域和对应关系均相同,所以 f(x)与 g(t)表示相等函
1 ?1? 1 数;对于④,由于 f ? ? = ? 1 - =0, 2 ?2? 2

? ?f ? ?

? 1 ?? f ? ? ? =f(0)=1. ? 2 ??

综上可知,正确的判断是②,③.

(3)当-sin x=0 时 sin x=0,x 可取 0,π,2π;
1 1 7 π 11π 当-sin x= 时,sin x=- ,x 可取 , , 6 6 2 2

故集合 A 中的元素最多有 5 个, 故选 B.
答案:(1)D (2)②③ (3)B

反思归纳 (1)判断一个对应关系是否是函数关系,就看这个对应

关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都 有唯一确定的函数值”这个核心点.(2)两个函数是否是相等函 数,取决于它们的定义域和对应关系是否相同,只有当两个函数 的定义域和对应关系完全相同时,才表示相等函数.(3)函数的 自变量习惯上用 x 表示,但也可用其他字母表示,如:f(x)=2x-1, g(t)=2t-1,h(m)=2m-1 均表示相等函数.

考点二

函数的定义域
1

【例 2】 (1)(2014 高考山东卷)函数 f(x)=
1 ) 2

? log 2 x ?

2

?1

的定义域为(

)

(A)(0, (C)(0,

(B)(2,+∞)

1 1 )∪(2,+∞) (D)(0, ]∪[2,+∞) 2 2

(2)(2014 北京模拟)已知函数 y=f(x)的定义域为[0,4],则函数 y1=f(2x)-ln(x-1) 的定义域为( ) (A)[1,2] (B)(1,2] (C)[1,8] (D)(1,8] (3)(2014 合肥模拟)若函数 f(x)= 2 为 .
x 2 ? 2 ax ? a

? 1 的定义域为 R,则 a 的取值范围

解析:(1)(log2x) -1>0,即 log2x>1 或 log2x<-1, 解得 x>2 或 0<x< 故选 C.
?0 ? 2 x ? 4, (2)由题意知 ? 解得 1<x≤2. ? x ? 1 ? 0, (3)因为函数 f(x)的定义域为 R,
所以 2 x 即 2x
2 2

2

1 1 ,故所求的定义域是(0, )∪(2,+≦). 2 2

? 2 ax ? a

-1≥0 对 x∈R 恒成立,
2

? 2 ax ? a

≥1,x +2ax-a≥0 恒成立,

因此有Δ=(2a)2+4a≤0, 解得-1≤a≤0.

答案: (1)C

(2)B

(3)[-1,0]

【变式】 本例(2)中,条件变为“函数 y=f(2x)的定义域为[0,4]”,则
结果如何?

解:≧函数 y=f(2x)的定义域为[0,4], ?20≤2x≤24, 即 1≤2x≤16, ?函数 y=f(x)的定义域为[1,16],

?1 ? 2 x ? 16, 由? ? x ? 1 ? 0,
解得 1<x≤8, ?函数 y1=f(2x)-ln(x-1)的定义域为(1,8]. 故选 D.

反思归纳 求函数定义域的三种类型及求解策略 (1)已知函数的解析式,构建使解析式有意义的不等式(组)求解.
(2)抽象函数: ①若已知函数 f(x)的定义域为[a,b],则复合函数 f(g(x))的定义域 由 a≤g(x)≤b 求出. ②若已知函数 f(g(x))的定义域为[a,b],则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a,b]时的值域.

(3)实际问题:既要使构建的函数解析式有意义,又要考虑实际问题 的要求.
提醒:(1)如果所给解析式较复杂,切记不要化简后再求定义域.
(2)所求定义域须用集合或区间表示.

考点三 求函数的解析式
1? 2 1 ? 【例 3】 (1)已知 f ? x ? ? =x + 2 ,求 f(x)的解析式; x x? ? ?2 ? (2)已知 f ? ? 1? =lg x,求 f(x)的解析式; ?x ?

(3)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求 f(x)的 解析式;
?1? (4)已知 f(x)满足 2f(x)+f ? ? =3x,求 f(x)的解析式. ?x?

1? 2 1 ? 1? ? 解:(1)由于 f ? x ? ? =x + 2 = ? x ? ? -2, x ? x? x? ?

2

所以 f(x)=x2-2,x≥2 或 x≤-2, 故 f(x)的解析式是 f(x)=x -2(x≥2 或 x≤-2).
2 2 2 (2)令 +1=t 得 x= ,代入得 f(t)=lg , t ?1 t ?1 x
2

又 x>0,所以 t>1,
2 故 f(x)的解析式是 f(x)=lg (x>1). x ?1

(3)因为 f(x)是一次函数,可设 f(x)=ax+b(a≠0), ?3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17.即 ax+(5a+b)=2x+17,

?a ? 2, ?a ? 2, 因此应有 ? 解得 ? 故 f(x)的解析式是 f(x)=2x+7. ?b ? 7. ?5a ? b ? 17,
?1? (4)≧2f(x)+f ? ? =3x, ?x?



?将 x 用

1 3 ?1? 替换,得 2f ? ? +f(x)= ,② x x ?x? 1 1 (x≠0),即 f(x)的解析式是 f(x)=2x- (x≠0). x x

由①②解得 f(x)=2x-

反思归纳

求函数解析式常用方法:

(1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达

式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式;
(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定 系数法; (3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新 元的取值范围;

?1? (4)方程思想:已知关于 f(x)与 f ? ? 或 f(-x)的表达式,可根据已知 ?x?

条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出 f(x).

【即时训练】 某商店销售某种商品,当销售量 x 不超过 30 件时,
单价为 a 元,其超出部分按原价的 90%计算,则表示销售额 y 与销售 量之间的函数关系是 .
解析:由题意知:销售量为 x,销售额为 y, 当 0≤x≤30 时,y=ax, 当 x>30 时,y=30a+(x-30)×90%·a=0.9ax+3a. 故销售额 y 与销售量 x 之间的函数关系为

?ax,0 ? x ? 30, y= ? ?0.9ax ? 3a, x ? 30.
?ax,0 ? x ? 30 答案:y= ? ?0.9ax ? 3a, x ? 30

考点四 分段函数及应用
? 2 x 3 , x ? 0, ? 【例 4】 (1)(2013 高考福建卷)已知函数 f(x)= ? π ? tan x ,0 ? x ? , ? 2 ?

? 则f? ?

? π ?? f ? ?? = ? 4 ??

.

?2 x ? a, x ? 1, (2)(2014 南京质检)已知实数 a≠0,函数 f(x)= ? 若 ?? x ? 2a, x ? 1,
f(1-a)=f(1+a),则 a 的值为 .

2 ? ? x ? x, x ? 0, (3)(2014 高考浙江卷)设函数 f(x)= ? 2 若 f(f(a))≤2,则 ? ? ? x , x ? 0.

实数 a 的取值范围是

.

? x1 , x1 ? x2 , (4)对任意两个实数 x1,x2,定义 max(x1,x2)= ? 若 ? x2 , x1 ? x2 .
f(x)=x2-2,g(x)=-x,则 max(f(x),g(x))的最小值为 .

解析:(1)f(

π π )=-tan =-1, 4 4

? f? ?

? π ?? 3 f ? ? ? =f(-1)=2×(-1) =-2. ? 4 ??

(2)①当 a>0 时,1-a<1,1+a>1,此时 f(1-a)=2(1-a)+a=2-a, f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a.由 f(1-a)=f(1+a)得 2-a=-1-3a,
3 解得 a=- ,不合题意,舍去. 2

②当 a<0 时,1-a>1,1+a<1,此时 f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a, f(1+a)=2(1+a)+a=2+3a,由 f(1-a)=f(1+a)得-1-a=2+3a,
3 解得 a=- . 4

综上可知,a 的值为-

3 . 4

2 ? ? a ? a , a ? 0, (3)f(a)= ? 2 ? ? ? a , a ? 0.

①当 a≤-1 时,f(a)=a +a≥0, ?f(f(a))=-(a +a) ,此时 f(f(a))≤2 必成立. 2 2 2 2 ②当-1<a<0 时,f(a)=a +a<0,?f(f(a))=(a +a) +(a +a)≤2, 2 解得-2≤a +a≤1 恒成立. ③当 a>0 时,f(a)=-a <0,?f(f(a))=(-a ) -a ≤2. 解得 0<a≤ 2 . ④a=0 时,f(a)=0,f(f(a))=0≤2 恒成立. 总上,a≤ 2 .
2 2 2 2 2 2

2

(4)f(x)-g(x)=x -2-(-x)=x +x-2, 令 x2+x-2≥0,解得 x≥1 或 x≤-2. 当-2<x<1 时,x2+x-2<0, 即 f(x)<g(x), 所以 max(f(x),
? ?? x, ?2 ? x ? 1, g(x))= ? 2 作出图象, ? ? x ? 2, x ? 1或x ? ?2,

2

2

由图象可知函数的最小值在 A 处, 所以最小值为 f(1)=-1. 3 答案:(1)-2 (2)(3)(-∞, 2 ] (4)-1 4

反思归纳 分段函数应用的常见题型及求解策略:
常见题型 求函数值 问题 解方程或 解 不等式问 题 求最值或 值域问题 图象及其 应用 先求出每一个区间上的最值或值域 ,然后进行比较得出最大值、 最小 值 ,合并得出值域 根据每段函数的定义区间和解析式在同一坐标系中作出图象 ,然后 应用 ,作图时要注意每段图象端点的虚实 分类求出各子区间上的解 ,再将它们合并在一起 ,但要检验所求是否 符合相应各段自变量的取值范围 用求值 求解策略 根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求值 ,有时每段交替使

提醒:解决分段函数问题的总策略是分段击破,即对不同的区间进行分 类求解,然后整合.

助学微博
1.函数是特殊的映射,映射不一定是函数,从A到B的一个映射,A,B若不

是数集,则这个映射便不是函数.
2.判断两个函数是否为同一函数时,要紧扣两点:一是定义域是否相同; 二是对应关系是否相同.

3.牢固树立“定义域优先原则”:对函数性质的讨论,必须在定义域的
前提下进行. 4.函数解析式的常用求法:待定系数法、换元法、配凑法、函数方程法 .

5.解决与分段函数有关的问题时,需将问题分段解决,注意分类讨论思
想与数形结合思想的灵活运用.

思想方法

融思想

促迁移

? x, x ? 0, 【典例】 (2014 天津模拟)已知 f(x)= ? 则不等式 x+x·f(x)≤2 的 ?? x, x ? 0,
解集是 .
2

分类讨论思想在求解有关分段函数不等式中的应用

解析:当 x≥0 时,不等式可化为 x+x ≤2,解得-2≤x≤1, 又 x≥0,所以 0≤x≤1. 当 x<0 时,不等式可化为 x-x2≤2,解得 x∈R, 又 x<0,所以 x<0, 综上知,不等式的解集为{x|x≤1}.
答案: {x|x≤1}

方法点睛

(1)求解分段函数问题应对自变量分类讨论,

讨论的标准就是自变量与分段函数所给出范围的关系.

(2)求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围.

2 ? x ? ? 2 x, x ? 0, 【即时训练】 (2014 黄冈质检)已知函数 f(x)= ? 2 若 ? ? x ? 2 x, x ? 0,

f(-a)+f(a)≤0,则 a 的取值范围是( (A)[-1,1] (B)[-2,0] (C)[0,2] (D)[-2,2]

)

解析:当 a≥0 时,不等式可化为 a2-2a+(-a)2+2(-a)≤0, 解得 0≤a≤2, 当 a<0 时,不等式可化为(-a) -2(-a)+a +2a≤0,解得-2≤a≤0. 又 a<0, 所以-2≤a<0, 综上,a 的取值范围是[-2,2],选 D.
2 2


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