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福建省漳浦一中2015届高三上学期数学理练习卷 Word版含答案


漳浦一中 2014-2015 学年上学期高三数学(理)练习卷
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的) 1.若函数 y=2cosx(0≤x≤2π )的图象和直线 y=2 围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积为 ( ) A .4 B.8 C.2π D.4π 2.当 0 ? x ?

1 时, 4x ? log a x ,则 a 的取值范围是 2
B. (1, 2) C. (

A. (0,

2 ) 2

2 ,1) 2

D. ( 2, 2)

3.等差数列 ?an ? 中的 a1 , a4027 是函数 f ( x) ? A.3 B.2 C.4

1 3 x ? 4 x 2 ? 12 x ? 1 的极值点,则 log2 a2014 ? 3
D.5

4.设向量 a ? ?cos? , sin ? ?, b ? ?cos? , sin ? ? ,其中 0 ? ? ? ? ? ? ,若 2a ? b ? a ? 2b ,则 ? ? ? 等于 A. ?

?
2

B.

? 2

C.

? 4

D. ?

?
4

5.下列函数中,既是奇函数又在定义域内单调递减的函数为 A. y ?

1 x

B. y ? lg x

C. y ? sin x

D. y ?

e? x ? e x 2

6.已知 f ( x) ?

1 2 ? x ? sin( ? x) , f '( x) 为 f ( x) 的导函数,则 f '( x) 的图象是 4 2

7.已知数列{ an }的首项 a1 ? 1 , an ?1 ? 3Sn ? n ? 1? ,则下列结论正确的是 A.数列{ an }是等比数列 C.数列{ an }是等差数列 B.数列 a2 , a3 , ???, an 是等比数列 D.数列 a2 , a3 , ???, an 是等差数列

8.已知等比数列{ a n }中, a2 ? a8 ? 4a5 , 等差数列 ?bn ? 中, b4 ? b6 ? a5 ,则数列 ?bn ? 的前 9 项和 s9 等于 A .9 B.18
2

C.36

D.72

9.设函数 f ( x) ? g ( x) ? x ,曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,则曲线 y ? f ( x ) 在点

(1, f (1)) 处切线的斜率是
A .4 B. ?

1 4

C.2

D. ?

1 2

-1-

10.已知函数 y ? x 3 ? 3x ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则 c ? A. ?3 或 1 B. ?9 或 3 C. ?1或 1 D. ?2 或 2

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置). 11.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边长分别是 a, b, c ,若 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ab ,则角 C 的大小为 12.一辆汽车在行驶中由于遇到紧急情况而刹车,以速度 ? (t ) ? 7 ? 3t ? 行驶至停止,在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是 13.幂函数 y ? f ( x ) 的图象经过点 (4, ) ,则 f ( ) ? 14.已知 y ? f ( x) 在定义域 (?1,1) 上是减函数,且 f (1 ? a) ? f (2a ? 1) ,则 a 的取值范围是 .

5 ( t 的单位: s ,? 的单位:m/s) 1? t



1 2

1 4

?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? 15.当实数 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 时, 1 ? ax ? y ? 4 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ?x ? 1 ?
三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
3 2

.

16. (12 分)已知函数 f ( x) ? x ? bx ? cx 在 x ? 1 处的切线方程为 6 x ? 2 y ? 1 ? 0 , f '( x) 为 f ( x) 的导函 数, g ( x) ? a ? e ( a, b, c ? R , e 为自然对数的底)
x

(1)求 b, c 的值; (2)若 ?x ? ? 0, 2? ,使 g ( x) ? f '( x) 成立,求 a 的取值范围. 17. (12 分)如图,为测量山高 MN ,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点,从 A 点测得 M 点的仰角 ?MAN ? 60? , C 点 的 仰 角 ?CAB ? 45? 以 及 ?MAC ? 75? ; 从 C 点 测 得 ?MCA ? 60? , 已 知 山 高 BC ? 100 m,求山高 MN .

18. (12 分)已知等差数列 ?an ? 满足 a1 ? 3, a4 ? a5 ? a6 ? 45 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?

? 1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? an an ?1 ?

-2-

19. (12 分)已知 f(x)的定义域为(0, +∞), 且满足 f(2)=1, f(xy)=f(x)+f(y), 又当 x2>x1>0 时, f(x2)>f(x1). (1)求 f(1)、f(4)、f(8)的值; (2)若有 f(x)+f(x-2)≤3 成立,求 x 的取值范围.

20. (本小题满分 12 分)某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y (单位:千克)与销售价 格 x (单位:元/千克)满足关系式 y ?

a ? 10( x ? 6) 2 ,其中 3 ? x ? 6 , a 为常数,已知销售价格为 5 x ?3

元/千克时,每日可售出该商品 11 千克。 (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大

21.(Ⅰ)(本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 A ? ?
2? ?1 ?. ? ?1 4 ?

(1)求 A 的逆矩阵 A ?1 ; (2)求矩阵 A 的特征值 ?1 、 ? 2 和对应的一个特征向量 ?1 、 ? 2 . (Ⅱ)(本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系

xoy 中,直线 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,曲线 C 的参数方程为

? x ? 3cos? ? (? 为参数) . ? y ? sin ? ? ?
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系 中,点 P 的极坐标为 (4,

xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)

?
2

) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系;

(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. (Ⅲ)(不等式选讲) (本小题满分 10 分)设函数 f ( x ) ? x ? 1 ? (1)求不等式 f ( x) ? 2 的解集; (2)若不等式 f ( x ) ? a ( x ? ) 的解集非空,求实数 a 的取值范围.

1 | x ?3| 2

1 2

-3-

漳浦一中 2014-2015 学年上学期高三数学(理)练习卷参考答案
一、选择题 1. 【解析】如图所示. 由图可知,S1=S2,S3=S4,因此函数 y=2cosx(0≤x≤2π )的图象 与直线 y=2 所围成的图形面积即为矩形 OABC 的面积. ∵|OA|=2,|OC|=2π ,∴S 矩形=2×2π =4π . 2. 【解析】当 0 ? x ? 所示: 若不等式 4 x ? log2 x 恒成立,则 y ? loga x 的图象恒在 y ? 4 的
x

1 时,函数 y ? 4 x 的图象如下图 2

图象的上方(如图中虚线所示)

2 ?1 ? ? y ? loga x 的图象与 y ? 4 x 的图象交于 ? ,2 ? 点时, a ? 2 ?2 ?
故虚线所示的 y ? loga x 的图象对应的底数 a 应满足 考点:函数恒成立的问题. 3. 【解析】由于 a1 , a4027 是函数 f ( x) ?

2 ? a ? 1 ,故答案为 C. 2

1 3 x ? 4 x 2 ? 12 x ? 1 的极值点, f ??x? ? x 2 ? 8x ? 12 ? 0 的两个根是 3

a1 , a4027 ,由根与系数的关系得 a1 ? a4027 ? 8 ,由等差数列的性质,得 a1 ? a4027 ? a2014 ? a2014 ,? a2014 ? 4 。

?log2 2014? log2 4 ? 2 ,故答案为 B.
考点:1、极值点的应用;2、等差数列的性质. 4. 【解析】 a ? cos
2
2

? ? sin 2 ? ? 1 , b ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ,由 2a ? b ? a ? 2b ,
2 2 2

两 边 平 方 得 3a ? 8a ? b ? 3b ? 0 , ? a ? b ? 1 , ? a ? b ? 0 , 即 c o ? sco? s ?s i n ?si n ? ?0 ,

cos?? ? ? ? ? 0 ,? 0 ? ? ? ? ? ? ,? 0 ? ? ? ? ? ? ,? cos?? ? ? ? ? 0 ,? ? ? ? ?
点:1、平面向量模的运算;2、两角差的余弦公式. 5. 【解析】函数 y ?

?
2

,故答案为 B. 考

1 是奇函数,在 ?? ?,0? , ?0,??? 上单调递减,不在整个定义域内单调递减, y ? lg x 定 x

e? x ? e x 义域不关于原点对称,不具有奇偶性, y ? sin x 是奇函数,但在定义域内有增,有减, f ? x ? ? , 2 f ?? x ? ? e x ? e? x e? x ? e x ?1? x ? ? f ? x ?,定义域是 R ,故 f ?x ? ? 是奇函数,由于 e ? x ? ? ? 是减函数, ? e 在 2 2 ?e? e? x ? e x 在定义域内单调递减,故答案为 D.考点:函数的性质. 2
1 2 1 1 x ? cos x , f ?? x ? ? x ? sin x , f ??? x ? ? ?? x ? ? sin ?? x ? 4 2 2
-4x

R 上也是减函数,因此 f ?x ? ?

6. 【解析】由诱导公式得 f ? x ? ?

? ? ?1 ? ?? ? 1 ? ? ?? x ? sin x ? ? ? f ??x ? ,? f ??x ? 是奇函数,图象关于原点对称, f ?? ? ? ? ? sin ? ? 1 ? 0 , 2 4 ?2 ? ?2? 2 2
故答案为 B.考点:函数图象的判断. 7. 【解析】当 n ? 2 时, an ? 3Sn?1 ①, an?1 ? 3Sn ②,两式相减得 an?1 ? an ? 3?Sn ? Sn?1 ? ,即

an?1 ? an ? 3an ,即

an ?1 ? 4?n ? 2 ? ,故数列从第 2 项起是等比数列,故答案为 B. an

考点:等比数列的判断. 8. 【解析】由等比数列的性质,得 a2 ? a8 ? a5 ? a5 ? 4a5 ,得 a5 ? 4 ,由等差数列的性质,得

b4 ? b6 ? 4 ,由等差数列的前 n 项和公式,得 S9 ?

9 ?b1 ? b9 ? ? 9 ?b4 ? b6 ? ? 18 ,故答案为 B. 2 2

考点:1、等差、等比数列的性质;2、等差数列的前 n 项和公式. 9. 【解析】由导数的几何意义,得 g ??1? ? 2 ,求导函数得 f ??x ? ? g ??x ? ? 2 x , k ? f ??1? ? g ??1? ? 2 ? 4 ,故 答案为 A.考点:导数的几何意义. 10. 【解析】求导函数可得 y? ? 3?x ? 1??x ? 1? ,令 y? ? 0 ,可得 x ? 1 或 x ? ?1 ;令 y? ? 0 ,可得 ? 1 ? x ? 1 ; 函数在 ?? ?,?1? , ?1,??? 上单调递增,在 ?? 1,1? 上单调递减,? 函数在 x ? ?1 处取得极大值,在 x ? 1 处取 得极小值, ? 函数 y ? x ? 3x ? c 的图象与 x 轴恰有两个公共点, ? 极大值等于零或极小值等于零,
3

?1 ? 3 ? c ? 0 或 ? 1 ? 3 ? c ? 0 ,? c ? 2 或 c ? ?2 ,故答案为 D.
考点:1、利用导数研究函数极值;2、函数的零点与方程根的关系. 二、填空题
2 2 2 11. 【解析】由 ?a ? b ? c ??a ? b ? c ? ? ab ,得 a ? b ? c ? ?ab ,

? cosC ?

a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab 1 2? ? ? ? ,? C ? .考点:余弦定理的应用. 3 2ab 2ab 2
25 ? 0 ,化为 3t 2 ? 4t ? 32 ? 0 ,又 t ? 0 ,解得 t ? 4 , 1? t

12. 【解析】令 v ?t ? ? 7 ? 3t ?

所 以 由 刹 车 行 驶 至 停 止 , 在 此 期 间 汽 车 继 续 行 驶 的 距 离
4? ? ?4 25 ? 3t 2 S ? ? ? 7 ? 3t ? dt ? 7 t ? ? 25ln?1 ? t ?? |0 ? 4 ? 25ln 5 ,故答案为 4 ? 25 ln 5 . ? ? 0 1? t ? 2 ? ? ?

考点:定积分的应用. 13 .【 解 析 】 设 幂 函 数 y ? x
? 1 2 ? 1? ? 2?? ? ? ? 2?

?

, 由 于 过 点 ? 4, ? ,

? ?

1? 2?

? 1 1 ? 4? , 得 ? ? ? , y ? x 2 , 2 2

1

?1? ?1? ? f? ??? ? ?4? ?4?

?2

? 2 ,故答案为 2.考点:幂函数的应用.

-5-

?? 1 ? 1 ? a ? 1 ? 14. 【解析】因为 y ? f ( x) 在定义域 (?1,1) 上是减函数,且 f (1 ? a) ? f (2a ? 1) ,所以 ?? 1 ? 2a ? 1 ? 1 ,即 ?1 ? a ? 2a ? 1 ?

? ?0 ? a ? 2 ? 2 2 ?0 ? a ? 1 ,解得 0 ? a ? ,即 a 的取值范围是 (0, ) .考点:抽象不等式的解法. 3 3 ? 2 ?a ? 3 ?
15. 【解析】由约束条件作出可行域,再由 1≤ax+y≤4 恒成立,结合可行域内特殊点 A,B,C 的坐标满足不 等式列不等式组,求解不等式组得实数 a 的取值范围. 由约束条件作可行域如图, 联立 ?

x ?1 ? x ? y ?1 ? 1 ? 3? ,?C ?1, ? .联立 ? ,? B ? 2,1? . ? 2? ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?

在 x﹣y﹣1=0 中取 y=0 得 A(1,0) .要使 1 ? ax ? y ? 4 恒成立,

? a ?1 ? 0 ? 3 ? 3 ? a ? ?1 ? 0 ? 3? ,1 ? a ? , ∴实数 a 的取值范围是 ?1, ? . 则? 2 2 ? 2? ? a?4?0 ? ? ? 2a ? 1 ? 4 ? 0
故答案为: ?1, ? .考点:简单线性规划. 2 三、解答题 16. 【解析】 (1) (1) f '( x) ? 3x ? 2bx ? c ,∴ f '(1) ? 2b ? c ? 3 ? 3
2

? 3? ? ?

又 f (1) ? b ? c ? 1 , (1, f (1)) 在直线 6 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,∴ 6 ? 2(b ? c ? 1) ? 1 ? 0 , 解得 b ? ?

3 ,c ? 3 2

x 2 (2)∵ g ( x) ? f '( x) ,∴ ae ? 3x ? 3x ? 3 , ∴ a ?

3x 2 ? 3x ? 3 ex

3x 2 ? 3x ? 3 , x ? ? 0, 2? , 令 h( x ) ? ex
则 h '( x) ?

(6 x ? 3)e x ? (3x 2 ? 3x ? 3)e x ?3( x 2 ? 3x ? 2) ? e2 x ex

当 x 变化时, h( x) 与 h '( x ) 的变化如表所示

x

(0,1)

1

(1,2)

2

-6-

h '( x)

— 单调递减

0

+ 单调递增

0

h( x )

3 e

9 e2

∴ h( x) 有极小值 h(1) ? ∵ h(0) ? 3 ?

3 9 ,有极大值 h(2) ? 2 e e
∴ a 的取值范围为 ? ,3 ? .

9 ?3 ? , ∴ h( x) 的值域为 ? ,3 ? , 2 e ?e ?

?3 ?e

? ?

考点:1、导数的几何意义;2、利用导数求函数的最值. 17. 【解析】 (1)解:在 Rt ?ABC 中, ?CAB ? 45? , BC ? 100 m,所以 AC ? 100 2 m 在 ?AMC 中, ?MAC ? 75? , ?MCA ? 60? ,从而 ?AMC ? 45? ,

AC AM ? ,因此 AM ? 100 3 m sin 45? sin 60? MN ? sin 60? 在 Rt ?MNA 中, AM ? 100 3 m, ?MAN ? 60? ,由 AM
由正弦定理得, 得 MN ? 100 3 ?

3 ? 150 m. 2

考点:正弦定理在实际中应用.

18. 【解析】 (1)由等差数列的性质得, a4 ? a5 ? a6 ? 3a5 ? 45 ,? a5 ? 15,? d ? 3 ,由等差数列的通项 公式得 an ? a1 ? ?n ?1?d ? 3 ? 3?n ?1? ? 3n

an ? an?1 ? 3n ? ?3n ? 3? ? 9n?n ? 1? , ?
Tn ?

1 1 1?1 1 ? ? ? ? ? ? ,数列 an ? an?1 9n?n ? 1? 9 ? n n ? 1 ?

? 1 ? ? ? 前 n 项和 ? an an ?1 ?

1 1 1 1 1? 1? 1? 1 1? 1?1 1? ? ? ? ?? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? a1 ? a2 a2 ? a3 a3 ? a4 an ? an?1 9 ? 2 ? 9 ? 2 3 ? 9 ? 3 4 ?

1?1 1 ? 1? 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? 1 ? n . ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 ? ?? 9 ? n n ?1? 9 ? 2 2 3 3 4 n n ? 1 ? 9 ? n ? 1 ? 9?n ? 1?
考点:1、求等差数列的通项公式;2、裂项法求数列的和. 19. 【解析】 (1)证明: 令 x ? y ? 1,得 f (1 ? 1) ? f (1) ? f (1) ,即 f (1) ? 0 ; 令 x ? y ? 2 ,得 f (4) ? f (2) ? f (2) ? 2 ;令 x ? 2, y ? 4 ,得 f (8) ? f (2) ? f (4) ? 3 (2)解: 不等式化为 f(x)>f(x-2)+3 ∵f(8)=3,∴f(x)>f(x-2)+f(8)=f(8x-16)

∵f(x)是(0,+∞)上的增函数,∴

?8( x ? 2) ? 0 ? ? x ? 8( x ? 2)

解得 2 ? x ?

16 . 7

考点:1.赋值法;2.抽象不等式的解法. 20.【解析】 (1)解: (1)因为 x ? 5 时, y ? 11,所以

a ? 10 ? 11, a ? 2. 2

-7-

由(1)可知,该商品每日的销售量 y ? 所以商场每日销售该商品所获得的利润

2 2 ? 10? x ? 6 ? , x ?3

? 2 2? 2 f ?x ? ? ?x ? 3?? _ ? 10?x ? 6? ? ? 2 ? 10?x ? 3??x ? 6? 3 ? x ? 6 ?x?3 ?
从而, f ??x? ? 10 ?x ? 6? ? 2?x ? 3??x ? 6? ? 30?x ? 4??x ? 6?
2

?

?

于是,当 x 变化时, f ?? x ? , f ?x ? 的变化情况如下表:

x
f ?? x ?

? 3,4?
+ 单调递增

4
0 极大值 42

? 4,6 ?
单调递减

f ?x ?

由表可得, x ? 4 是函数 f ?x ? 在区间 ?3,6? 内的极大值点,也是最大值点; 所以,当 x ? 4 时,函数 f ?x ? 取得最大值,且最大值等于 42 答:当销售价格为 4 元 / 千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大. 考点:导数在生活中的优化问题.

?2 ?3 ?1 21.(Ⅰ) (1) A ? ? ?1 ?6 ?

1? ? ? ? 2? ?1? 3 (2) ?1 ? 2, ?2 ? 3 , ?1 ? ? ? , ? 2 ? ? ? . ?; 1 ? ?1 ? ?1? ? 6 ?

(Ⅱ) (1)点 P 在直线 l 上; (2) 2 . (Ⅲ) (1) {x | x ?

1 3 4 或x ? 3} ; (2) a ? ? 或a ? . 3 2 7

-8-


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