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湖北省黄冈中学等八校2013届高三上学期第一次联考(12月)数学理试题(纯word版)(1)

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2013 届高三第一次联考
数学试题(理)
考试时间:2012 年 12 月 21 日下午 15:00——17:00 试卷满分:150 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一个符合一目要求的. 1.集合 A=
3 A. ?2,?

?x y ?

- x ? 10 x ? 16
2

?,集合 B= ?y y ? log

2

x , x ? A ? ,则 A ? C R B ?
8 D. ?3,?

(

)

2 B. ?1, ?
2

8 C. ?3,?

2.若命题 p: ? x 0 ? ?- 3 , 3 ?, x 0 ? 2 x 0 ? 1 ? 0 ,则对命题 p 的否定是(


2

A ? x 0 ? ?- 3 , 3 ?, x 02 C.

? 2 x0 ? 1 ? 0
2

B

? x 0 ? ? - ? , - 3 ? ? ?3 , ?? ?, x 0 ? 2 x 0 ? 1 ? 0 ? x 0 ? ?- 3 , 3 ?, x 0 ? 2 x 0 ? 1 ? 0
2

? x 0 ? ? - ? , - 3 ? ? ?3 , ?? ?, x 0 ? 2 x 0 ? 1 ? 0

D.

3.某实心机器零件的三视图如图所示,该机器零件的体积为(



A. 36

? 2?

B. 36

? 4?

C. 36

? 8?

D. 36
S6 S3

? 10 ?

4.等比数列 ?a n ? 各项为正, a 3 , a 5 , - a 4 成等差数列. S n 为 ?a n ? 的前 n 项和,则

=(



A.2

B.

7 8

C.

9 8

D.

5 4

5.如图 MN 是半圆 O 的直径,MN=2,等边三角形 OAB 的顶点 A、B 在半圆弧上,且 AB//MN, 点 P 半圆弧上的动点,则 PA ? PB 的取值范围是( )
3 3, ? 2 ? ? ?

A. ?

?3 3 , ? ?2 2

3

? ? ?

B. ?

?3 ?2

-

3? 3, 2? ?

C. ?

?3 ?2

-

3

D. ?
?

?3 -

3 3? , ? 2 2?

6.若双曲线 x ?
2

y m

2 2

? ? ? ? 1 的一条渐近线的倾斜角 ? ? ? 0, ? ,则 m 的取值范围是( 3 ? ?



第 1 页 共 11 页

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A. ? - 3 , 0 ? B. ?3 ,0

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?
3 2 , BC ?

C. ? 0 , 3 ?
3 AC , 则 ? B ? (

( D. -

3 3

, 0)

7.在 ? ABC 中, sin ( A ? B ) ? sin C ?



A.

?
3

B.
2

?
6
2 2

C.

?
6



?
3

D.


?
2

8.已知 a , b , c ? R ,则 2 a ? 3 b ? 6 c ? 1 是 a ? b ? c ? ?- 1,1 ? 的(

A.充分不必要条件 C.充分必要条件
9.若实数 x , y 满足: ?
? 2y ? x ? 0 ?y ? 5? x
2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
,则 x ? 2 y 的最大值是( )

A.3

B. 2

5
( x ? 0) ( x ? 0)

C.5
2

D5

5

x ? 3 f (x) ? ? 10.已知函数 ? log 3 ( - x )

,函数 g ( x ) ? f ( x ) ? f ( x ) ? t ( t ? R ) .关于 g ( x ) )

的零点,下列判断不正确的是( ...

A.若 t C.若 t

?

1 4

, g ( x ) 有一个零点

B.若 - 2 D.若 t

?t ?

1 4

, g ( x ) 有两个零点

? - 2 , g ( x ) 有三个零点

? - 2 , g ( x ) 有四个零点

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. (一)必做题(11-14 题)
11.已知复数 z ? (1 ? 2 i ) ? ( 3 ? 4 i ), i 为虚数单位,则 z 的共轭复数是
1 1

. .

12.函数 f ( x ) ? x ln x ,a ? f ( 2 ), b ? f ( ), c ? f ( ) , a , b , c 从小到大的排列是 则
3 4

13.阅读如图所示程序框图,运行相应程序,输出结果 n =

.

14.如图把函数
f1 ( x ) ? x , f 2 ( x ) ? x ? x
3

,

6 x
7

f3 ( x) ? x ?

x

3

?

x

5

6

120

, f4 (x) ? x ?

x

3

?

x

5

?

x

7

,

6

120

5040

f5 ( x) ? x ?

x

3

?

x

5

?

?

x

9

6

120

5040

362880

,依次称为 f ( x ) ? sin x 在 ?0, ? ? 上的第 1 项、2

项、3 项、4 项、5 项多项式逼近函数.以此类推,请将 f ( x ) ? sin x 的 n 项多项式逼近函数

第 2 页 共 11 页

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f n ( x ) 在横线上补充完整: f n ( x ) ?

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2 n ?1

? (
k ?1

) ( n, k ? N

?

).

(二)选做题(请考生在 15、16 两题中任选一题作答.如果全选,则按第 15 题作答结果计分)
15.(选修 4-1:几何证明选讲) 如图过点 A 作圆 O 的一条切线 AB ,切点为 B , OA 交圆 O 于点 C . 若 OC ? CA , BC ? 1 ,则 AB ? 16.(选修 4-4:坐标系与参数方程) 曲线 C 的极坐标方程为: ? ? cos ? ? sin ? ,化成普通方程为 . .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤. 17.(本小题满分 12 分)
函数 f ( x ) ? A sin( wx ? ? ) ? 1 ( A ? 0, w ? 0 , ? ? 个对称中心之间的距离为
?
2 ( ,且经过点 -

?
2

) 的最大值为 2,其图像相邻两

?

,

1

12 12

).

(1)求函数 f ( x ) 的单调递增区间;
7
??

(2)若 f (? ) ?

,且 ? ? ? , ? ,求 f ( ? ) 的值. 5 2 6 ? 12 4 ?

? ?

?

?

18.(本小题满分 12 分) 已知数列 { a n } 满足: a 1 ? - ,a n ? 1 ?
3 2

- 2an ? 3 ( n ? N ?) . 3an ? 4

(1)证明数列 {

1 an ? 1

} 是等差数列,并求 ?a n ? 的通项公式;

第一次八校联考数学(理)试题

第 3 页 (共 5 页)

(2)数列 { b n } 满足: b n ?

( n ? N ?) ,求 { b n } 的前 n 项和 S n . an ? 1

3

n

19.(本小题满分 12 分) 如图 I,平面四边形 ABCD 中, ? A ? 60 , ? ABC ? 150 , AB ? AD ? 2 BC ? 4, 把
0 0

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? ABD 沿直线 BD 折起,使得平面 ABD ?

平面 BCD ,连接 AC 得到如图 II 所示四面 体 A ? BCD .设点 O , E , F 分别是 BD , AB ,
AC 的中点.连接 CE , BF 交于点 G ,连接
OG .

(1)证明: OG ? AC ; (2)求二面角 B ? AD ? C 的大小.

20.(本小题满分 12 分) 在淘宝网上,某店铺专卖当地某种特产.由以往的经验表明,不考虑其他因素,该特产每 日的销售量 y (单位:千克)与销售价格 x (单位:元/千克,1 ? x ? 5 )满足:当 1 ? x ? 3 时, y ? a ( x ? 3 ) ?
2

b x ?1

( , a , b 为常数) ;当 3 ? x ? 5 时, y ? - 70 x ? 490 .已知当销售

价格为 2 元/千克时,每日可售出该特产 700 千克;当销售价格为 3 元/千克时,每日可售出 150 千克. (1)求 a , b 的值,并确定 y 关于 x 的函数解析式; (2)若该特产的销售成本为 1 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使店铺每日销售该特产所 获利润 f ( x ) 最大( x 精确但 0.01 元/千克). 21.(本小题满分 13 分) 如图所示,过点 M ( m ,1) 作直线 AB 交抛物线 x ? y 于 A, B 两点,且 AM ? MB ,过
2

M 作 x 轴的垂线交抛物线于点 C .连接 AC , BC , 记三角形 ABC 的面积为 S ? ,记直线 AB

与抛物线所围成的阴影区域的面积为 S 弓 . (1)求 m 的取值范围; (2)当 S ? 最大时,求 m 的值; (3)是否存在常数 ? ,使得 若不存在,请说明理由.
第一次八校联考数学(理)试题 第 4 页 (共 5 页)

S? S弓

? ? ?若存在,求出 ? 的值;

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? (1 ? x ) ? 1 的定义域为 ? - 1, ?? ? ,其中实数 t 满足 t ? 0 且 t ? 1 .直线
t

l : y ? g ( x ) 是 f ( x ) 的图像在 x ? 0 处的切线.
第 4 页 共 11 页

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(1)求 l 的方程: y ? g ( x ) ;

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(2)若 f ( x ) ? g ( x ) 恒成立,试确定 t 的取值范围; (3)若 a 1 , a 2 ? ? 0 ,1 ? ,求证: a1 ? a 2 ? a1 ? a 2 .
a1 a2 a2 a1

? ( 注:当 ? 为实数时,有求导公式 x ? ) ? ? x ? ? 1 .

湖北省八校 2013 届高三第一次联考数学(理科)参考答案

一 选择题: 1.D 2.A 二 填空题 11. ? 12. 13.
1 5 ? 2 5 i

3.A

4.C

5.B

6.A

7.B

8. A 9.C

10.D

b ? c? a

3
k? 2 ) x
k

14. s in (

[供参考: c o s (

( k ? 1) ? 2

)

x

k



(i

k ?1

? (?i) 2

k ?1

) x

k

(i 为虚数单位)]

k!

k!

k!

15.
2

3
2

16. x ? x ? y ? y ? 0

三 解答题:
第 5 页 共 11 页

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17. 解: (1)由已知: A ? 3, ? ? 2 , ? ? 令 2k? ?
?
2 ? 2x ?

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?
3

, f ( x ) ? 3 sin ( 2 x ?

?
3

) ?1

……….3’

?
3

? 2k? ?

?
2

得 k? ?
5 12

5 12

? ? x ? k? ?
?
12 ]( k ? Z ) ;

?
12

(k ? Z )

所以 f ( x ) 单调递增区间是 [ k ? ? (2)由 f (? ) ?
? ? ?[

? , k? ?
)? 4 5 3 5

……….6’

7 5

,得 s in ( 2 ? ?
?
3

?
3



?
12

,

?
4

] 所以 c o s( 2 ? ?

)? ?

f(

?
2

?

?
6

) ? 3 sin (? ?

2? 3

) ? 1 ? 3 c o s(? ?

?
6

1 ? c o s ( 2? ?
) ? 1 =3

?
3

) ?1

2

=

3 5 5

?1.

………12’

18. 解: (1)因为
1 a n ?1 ? 1 ? 1 ?2an ? 3 3an ? 4
1 a n ?1 ? 1 1 an ? 1 1 an ? 1 1 an ? 1

? ?1

3an ? 4 an ? 1

? 3?

1 an ? 1

所以

?

?3

所以{

}是首项为 3,公差为 3 的等差数列。

....... .......4'

所以

? 3n ,

所以 a n ?

1 3n

?1 ;
3
n

......... .........5'
n ?1

(2)由已知 b n ?
3

an ? 1

? 3

n

........ ........6’

S n ? 3 ? 1 ? 3 ? 2 ? ... ? 3 ? ( n ? 1) ? 3
2 n

n ?1

?n
n?2


?n②

3 S n ? 3 ? 1 ? 3 ? 2 ? ... ? 3
3 4

n ?1

? ( n ? 1) ? 3

① - ②得
? 2 S n ? 3 ? 3 ? ... ? 3
2
3

n ?1

?3

n?2

?n

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? 3 (3 ? 1)
2 n

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........ ........9’

3 ?1 3

?3

n?2

?n

n?2

所以 S n ?
? ( 2 n ? 1) 4

?9

?4

?

n 2

3

n?2

3

n?2

?

9 4



........ ........12’

19. 解: (以下仅提供一种解法,其它解法酌情给分) (1) 由已知, ? A B D 是等边三角形,取 O D 的中点 M ,连接 A M 、CM、FM 在三角形 ABM 中,BM=3,AB=4,B= 6 0 , 由余弦定理得 AM= 1 3 在三角形 CBM 中,BC=2,BM=3, C B ? B D ,得 CM= 1 3 所以 AM=CM, 因为 F 为 AC 中点,所以 MF ? AC 由已知,G 为三角形 ABC 的重心, 所以 BG:GF=BO:OM=2:1 所以 OG//MF, 所以 O G ? A C ; ......... ........ 6' (2)? 平面 A B D ? 平面 B C D , 平面 A B D ? 平面 B C D =BD
CB ? BD
?

? C B ? 面 ABD ? CB ? AB ? ?ABC ? ?BCD ? AC ? CD

取 AD 中点 N,连接 CN,BN, 则 CN ? AD,BN ? AD 所以 ? B N C 是二面角 B ? A D ? C 的平面角.
? 在三角形 BNC 中,CB ? BN,BC=2,BN= 2 3 ,所以 ? B N C = 3 0

所以二面角 B ? A D ? C 的大小为 3 0

?

........12' .......

20. 解: (I)因为 x=2 时,y=700;x=3 时,y=150,所以

第 7 页 共 11 页

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?b ? ? 150 解得 a ? 4 0 0, b ? 3 0 0 ?2 ?a ? b ? 700 ?

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300 ? 2 (1 ? x ? 3) ? 4 0 0 ( x ? 3) ? 每日的销售量 y ? ? x ?1 ? ? 7 0 x ? 4 9 0 (3 ? x ? 5 ) ?



....4' ...

(II)由(I)知, 当 1 ? x ? 3 时: 每日销售利润 f ( x ) ? [ 4 0 0 ( x ? 3) 2 ?
300 x ?1 ]( x ? 1) ? 4 0 0 ( x ? 3) ( x ? 1) ? 3 0 0
2

3 2 ? 4 0 0 ( x ? 7 x ? 1 5 x ? 9 ) ? 3 0 0 (1 ? x ? 3 )

f '( x ) ? 4 0 0 (3 x ? 1 4 x ? 1 5)
2

当x ?

5 3

, 或 x ? 3 时 f '( x ) ? 0 5 5

当 x ? (1, ) 时 f '( x ) ? 0 , f ( x ) 单增;当 x ? ( , 3) 时 f '( x ) ? 0 , f ( x ) 单减.
3 3 5 32 27 ? 300 ? 700 ; 3

? x ?

5 3

是函数 f ( x ) 在 (1, 3] 上的唯一极大值点, f ( ) ? 4 0 0 ?

.....8' .... 当 3 ? x ? 5 时: 每日销售利润 f ( x ) ? ( ? 7 0 x ? 4 9 0 )( x ? 1) = ? 7 0 ( x ? 8 x ? 7 )
2

5 f ( x ) 在 x ? 4 有最大值,且 f ( 4 ) ? 6 3 0 ? f ( ) . 3

.....11' .... ..... .....12'

综上,销售价格 x ? 21.

5 3

? 1 .6 7 元/千克时,每日利润最大.

解: (1)易知直线 AB 的斜率存在,设 AB 直线方程为 y ? k ( x ? m ) ? 1 代入抛物线方程 x ? y 得, x ? kx ? m k ? 1 ? 0 (*)
2
2

设 A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 因为 M 是 AB 的中点,所以 m ?
2

x1 ? x 2 2
2

?

k 2

,即 k ? 2 m

方程(*)即为: x ? 2 m x ? 2 m ? 1 ? 0 (**) 由 ? ? 4m ? 8m ? 4 ? 0 得 ?1 ? m ? 1
2 2

所以 m 的取值范围是 ( ? 1,1) ; (2)因为 M ( m ,1), C ( m , m ), M C ? x 轴,
2

... ...4'

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所以|MC|= 1 ? m ,
2

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由方程(**)得 x1 ? x 2 ? 2 m , x1 x 2 ? 2 m ? 1
2

所以 S ? = S A C M ? S B C M =
1 2 4 ? 4m

1 2

| x1 ? x 2 |
3

.| M C | = 1 2

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2
2

.| M C |

=

2

.(1 ? m 2 ) = (1 ? m 2 ) 2 ≤1

所以当 S ? 最大时, m ? 0 ; (3)常数 ? 存在且 ? ? 不妨设 x1 ? x 2
S弓 = ?
x2 x1

... ...8'

3 4

[ k ( x ? m ) ? 1 ? x ]d x = ?
2

x2 x1

[ 2 m x ? 1 ? 2 m ? x ]d x
2 2

? [ m x ? (1 ? 2 m ) x ?
2 2 2 2

1 3
2

x ] | x2
1

3

x

? m ( x 2 ? x1 ) ? (1 ? 2 m )( x 2 ? x1 ) ? ? ( x 2 ? x1 )[ m ( x 2 ? x1 ) ? (1 ? 2 m ) ?
2

1 3

( x 2 ? x1 )
3 3

1 3 1 3

( x 2 ? x 2 x1 ? x1 )]
2 2

? ( x 2 ? x1 )[ m ( x 2 ? x1 ) ? (1 ? 2 m ) ?
2

(( x 2 ? x1 ) ? x 2 x1 )]
2

由方程(**)得 x1 ? x 2 ? 2 m , x1 x 2 ? 2 m ? 1 ,
2

代入上式化简得 S 弓 ?

4 ? 4m
3

2

. 2 (1 ? m 2 ) ? 4 (1 ? m 2 ) 2 3 3

3

由(2)知 S ? = (1 ? m ) 2
2
3

所以

S? S弓

=

(1 ? m ) 2
2

4 3

3

?

3 4

(1 ? m ) 2
2

所以常数 ? 存在且 ? ? 22.

3 4



.........13' ........

解: (1)因为 f '( x ) ? t (1 ? x )

x ?1

,所以 f '(0 ) ? t , .......... ..........2'
t

又 f (0 ) ? 0 ,所以 l : y ? tx ; (2)令 h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? (1 ? x ) ? tx ? 1
第 9 页 共 11 页

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h '( x ) ? t (1 ? x )
t ?1

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? t ? t [(1 ? x )

t ?1

? 1]

当 t ? 0 时,
(1 ? x )
t ?1

? 1 单调递减,当 x ? 0 时, h '( x ) ? 0

当 x ? ( ? 1, 0 ) , h '( x ) ? 0 , h ( x ) 单调递减;当 x ? (0, ? ? ) , h '( x ) ? 0 , h ( x ) 单调递 增. 所以, x ? 0 是 h ( x ) 的唯一极小值点,所以 h ( x ) ? h ( 0 ) ? 0 , f ( x ) ≥ g ( x ) 恒成 立;..4' .. 当 0 ? t ? 1 时,
(1 ? x )
t ?1

? 1 单调递减,当 x ? 0 时, h '( x ) ? 0

当 x ? ( ? 1, 0 ) , h '( x ) ? 0 , h ( x ) 单调递增;当 x ? (0, ? ? ) , h '( x ) ? 0 , h ( x ) 单调递 减. 所以, x ? 0 是 h ( x ) 的唯一极大值点,所以 h ( x ) ? h (0 ) ? 0 ,不满足 f ( x ) ≥ g ( x ) 恒 成立;....6' .... 当 t ? 1 时,
(1 ? x )
t ?1

? 1 单调递增,当 x ? 0 时, h '( x ) ? 0

当 x ? ( ? 1, 0 ) , h '( x ) ? 0 , h ( x ) 单调递减;当 x ? (0, ? ? ) , h '( x ) ? 0 , h ( x ) 单调递 增. 所以, x ? 0 是 h ( x ) 的唯一极小值点,所以 h ( x ) ? h (0 ) ? 0 , f ( x ) ≥ g ( x ) 恒成立; 综上, t ? ( ? ? , 0 ) ? (1, ? ? ) ; (3) 当 a1 ? a 2 ,不等式显然成立; 当 a1 ? a 2 时,不妨设 a1 ? a 2
a1
a1

....... .......8' ...... ......9'

? a2

a2

> a1
a1

a2

? a2
a2

a1

? a1

a1

? a1

a2

? a2

a1

? a2

a2

令? ( x ) ? x

?x

, x ? [ a1 , a 2 ]

下证 ? ( x ) 是单调减函数:
? '( x ) ? a 1 x
a1 ? 1

? a2 x

a 2 ?1

? a1 x

a 2 ?1

(x

a1 ? a 2

?

a2 a1

)

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1 1 ? a1 ? a 2 ?1

易知 a 1 ? a 2 ? ( ? 1, 0 ) , 1 ? a1 ? a 2 ? (0,1) ,

由(2)知当 t ? 1 , (1 ? x ) ? 1 ? tx , x ? [ a 1 , a 2 ]
t
1 1

所以 a 2

1 ? a1 ? a 2

? [1 ? ( a 2 ? 1)]

1 ? a1 ? a 2

?1?

a2 ? 1 1 ? a1 ? a 2

?

a1 1 ? a1 ? a 2

? a1

所以 a 2 ? a1 所以
a2 a1

1 ? a1 ? a 2

? a1 1

a ? a2

? x

a1 ? a 2

所以 ? '( x ) ? 0 , 所以 ? ( x ) 在 [ a1 , a 2 ] 上单调递减. 所以 ? ( a1 ) ? ? ( a 2 ) ,即 a 1 ? a 1
a1 a2

? a2

a1

? a2

a2

所以 a 1 ? a 2 > a 1
a1 a2

a2

? a2 1 .
a a

综上, a 1 ? a 2 ≥ a 1
a1 a2

a2

? a 2 1 成立.

........14' .......

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