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江苏省泰兴市横垛中学2011届高三年级限时练习数学文


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泰兴市横垛中学 2011 届高三年级限时练习

数学试题(文科)
一、填空题: (每小题 5 分,共 70 分) 1.设全集 U = {1, 2,3, 4,5} ,集合 M = {1, 4} , N = {1,3,5} ,则 N ∩ (CU M ) =_____. 2.曲线 y = x
3

? 2x2 ? 4x + 2 在点 (1, 3) 处的切线的斜率是_______________ ?
_____

3. f ( x ) 是 R 上周期为 5 的奇函数, 若 且满足 f (1) = 1, f ( 2 ) = 2 , f ( 3) ? f ( 4 ) = 则 4.{an}为等差数列,且 a 7 ? 2a 4 = ?1, a3 = 0 ,则公差 d= 5.已知 tanθ=2,则 .

sin θ ? cosθ = ________ sin θ + cos θ

6.设 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,其图像关于原点对称,且当 x >0 时, f ( x ) = 2 x ? 3 ,则
f ( ?2) =

. . .

7.平面向量 a 与 b 的夹角为 120°, a =| b |=4,则 a ? b =

8.已知锐角△ABC 的面积为 3 3 ,BC=4,CA=3,则角 C 的大小为

9.在等差数列 {a n } 中, a1 , a 3 , a 4 成等比数列,则该等比数列的公比为__________. 10.已知函数 f ( x) = x 2 + abx + a + 2b ,若 f (0) = 4 ,则 f (1) 的最大值为_____. 11.已知 a =(-3,2) b =(-1,0) , ,向量 λ a + b 与 a -2 b 垂直,则实数 λ 的值为 12. ω > 0 ,函数 y = sin(ω x + 设 最小值是 . .

π
3

) + 2 的图像向右平移

4π 个单位后与原图像重合, ω 的 则 3

13.已知 a, b, c (a < b < c) 成等差数列,将其中的两个数交换,得到的三个数依次成等比

a2 + c2 数列,则 的值为___________. b2
14.如图,已知 C 为 ?OAB 边 AB 上一点,且

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AC = 2CB, OC = mOA + nOB(m, n ∈ R) ,
则 mn = ________ 二、解答题 15.设集合 A = {x || x ? a |< 2} , B = {x |

2x ? 1 < 1} ,若 A ? B,求实数 a 的取值范围. x+2

16.设函数 f ( x ) = sin x ? sin(2 x ?
2

π
6

).

(1)求函数 f (x ) 的值域; 若 (2) A, B, C 为 ?ABC 的三个内角, cos B = 设 的值.

1 C 1 ,f ( ) = ? , C 为锐角, sin A 且 求 3 2 4

17.已知 {an } 为等差数列,且 a3 = ?6 , a6 = 0 . (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若等比数列 {bn } 满足 b1 = ?8 , b2 = a1 + a2 + a3 ,求 {bn } 的前 n 项和公式

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18.已知 a = (sin x, 3 cos x), b = (cos x,cos x), f ( x) = a ? b . (1) 求函数 f ( x) 的周期及增区间; (2) 若 a ⊥ b ,求 x 的取值集合.

19.在数列 {an } 中, a1 = 1 , a2 = 2 ,且 an +1 = (1 + q ) an ? qan ?1 ( n ≥ 2, q ≠ 0 ) . (Ⅰ)设 bn = an +1 ? an ( n ∈ N ) ,证明 {bn } 是等比数列;
*

(Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)若 a3 是 a6 与 a9 的等差中项,求 q 的值,并证明:对任意的 n ∈ N , an 是 an + 3 与
*

an + 6 的等差中项.

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20.已知函数 f ( x) = x + mx + nx ? 2 的图像过点 ( ?1,?6) ,且函数 g ( x ) = f ′( x ) + 6 x 的
3 2

(1)求 m, n 的值及函数 y = f (x ) 的单调区间; (2)若 a > 0 ,求 图像关于 y 轴对称, 函数 y = f (x ) 在区间 (a ? 1, a + 1) 内的极值。

参考答案
填空题 1. {3,5} 2 6 10 . 14 . -5 -1 7 3 7 11 -1 -8 4 8

?

1 2 60 0 3 2

1 3 1 9 . ,1 2
5. 13 . 20

?

1 7

12

2 9
……5 分 ……10 分

二.解答题 15.解:由|x-a|<2,得 a-2<x<a+2,所以 A={x|a-2<x<a+2}. 由

2x ?1 x?3 <1,得 <0,即-2<x<3,所以 B={x|-2<x<3}. x+2 x+2 ?a ? 2 ≥ ?2 ,于是 0 ≤ a ≤ 1 . a+2≤3 ?

因为 A ? B,所以 ?

……14 分

16. (1) f ( x ) =

1 ? cos 2 x 3 1 1 3 ? sin 2 x + cos 2 x = ? sin 2 x 2 2 2 2 2

……4 分

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所以函数 f (x ) 的值域为 [

1? 3 1+ 3 , ]. 2 2

……6 分

(2) f (

C 1 3 1 3 , )= ? sin C = ? ,所以 sin C = 2 2 2 4 2

……8 分

因为 C 为锐角, 所以 C =

π
3

. 2 1 ,所以 sin B = 2 , 所以 3 3

……9 分 ……12 分

又因为在 ?ABC 中, cos B =

sin A = sin( B + C ) = sin B cos C + cos B sin C =
14 分 17.解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差 d . 因为 a3 = ?6, a6 = 0 ,所以 ?

2 1 1 3 2 2+ 3 . … 2× + × = 3 2 3 2 6

?a1 + 2d = ?6, 解得 a1 = ?10, d = 2 ?a1 + 5d = 0,

所以 an = ?10 + ( n ? 1) ? 2 = 2n ? 12 . (Ⅱ)设等比数列 {bn } 的公比为 q 因为 b2 = a1 + a 2 + a3 = ?24, b1 = ?8 ,所以 ?8q = ?24 ,即 q =3

b1 (1 ? q n ) 所以 {bn } 的前 n 项和公式为 S n = = 4(1 ? 3n ) 1? q
18.解: (1)∵ a ⊥ b,∴ a ? b = 0 ,

1 3 3 π 3 而 a ? b = sin x cos x + 3 cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x + = sin(2 x + ) + 2 2 2 3 2 π 3 π 3 ∴ sin(2 x + ) + = 0 ,即 sin(2 x + ) = ? 3 2 3 2 π 2 π 1 ∴ 2 x + = 2kπ ? π 或 2 x + = 2kπ ? π ( k ∈ Z ) 3 3 3 3
∴ x 的取值集合为 {x | x = kπ ?
(2) f ( x) = a ? b = sin(2 x +

π

或 x = kπ ? } ( k ∈ Z ) 2 3

π

π
3

)+

3 2

∴ f ( x) 的周期 T =

2π =π 2

∵ y = sin x 的增区间为 [2kπ ?

π
2

, 2kπ +

π
2

]( k ∈ Z )

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由 2 kπ ?

π
2

≤ 2x +

π
3

≤ 2kπ +

π
2

,得 kπ ?

5π π ≤ x ≤ kπ + 12 2

∴ f ( x) 的增区间为 [kπ ?

5π π , kπ + ](k ∈ Z ) 12 12

19.解: (Ⅰ)证明:由题设 an +1 = (1 + q ) an ? qan ?1 ( n ≥ 2 ) ,得

an +1 ? an = q (an ? an ?1 ) ,即 bn = qbn ?1 , n ≥ 2 .
又 b1 = a2 ? a1 = 1 , q ≠ 0 ,所以 {bn } 是首项为 1,公比为 q 的等比数列. (Ⅱ)解法:由(Ⅰ)

a2 ? a1 = 1 , a3 ? a2 = q ,
……

an ? an ?1 = q 2 , n ≥ 2 ) ( .
将以上各式相加,得 an ? a1 = 1 + q + ? + q
n?2

(n ≥ 2) .

? 1 ? q n ?1 , ?1 + 所以当 n ≥ 2 时, an = ? 1? q ?n, ?
上式对 n = 1 显然成立.

q ≠ 1, q = 1.

(Ⅲ)解:由(Ⅱ) ,当 q = 1 时,显然 a3 不是 a6 与 a9 的等差中项,故 q ≠ 1 . 由 a3 ? a6 = a9 ? a3 可得 q 5 ? q 2 = q 2 ? q 8 ,由 q ≠ 0 得 q 3 ? 1 = 1 ? q 6 , ①

3 2 3 3 3 .于是 q = ? 3 2 . 整理得 ( q ) + q ? 2 = 0 ,解得 q = ?2 或 q = 1 (舍去)

另一方面, an ? an +3 =

q n + 2 ? q n ?1 q n ?1 3 = (q ? 1) , 1? q 1? q

an + 6 ? an =

q n ?1 ? q n +5 q n ?1 = (1 ? q 6 ) . 1? q 1? q
*

由①可得 an ? an +3 = an + 6 ? an , n ∈ N . 所以对任意的 n ∈ N , an 是 an + 3 与 an + 6 的等差中项.
*

20.略 1)本小题主要考察函数的奇偶性、单调性、极值、导数、不等式等基础知识,考查运用导 数研究函数性质的方法,以及分类与整合、转化与化归等数学思想方法,考查分析问题
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和解决问题的能力,满分 12 分。 解: (Ⅰ)由函数 f ( x ) 图象过点 (?1, ?6) ,得 m ? n = ?3 ……① 由 f ( x) = x 3 + mx 2 + nx ? 2, 得f ′( x) = 3 x 2 + 2mx + n 则 g ( x) = f ′( x) + 6 x = 3 x + (2m + 6) x + n
2

而 g ( x) 图象关于 y 轴对称,所以 ? 所以 m = ?3 代入①得 n = 0 于是 f ′( x) > 0得x > 2或x < 0

2m + 6 2×3 = 0

, 故 f ( x ) 的单调递增区间是(-∞,0)(2,+∞)

由 f ′( x) < 0得0 < x < 2 故 f ( x ) 的单调递减区间是 (0, 2) (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ′( x ) = 3 x ( x ? 2). 令 f ′( x) = 0得x = 0或x = 2. 当 x 变化时, f ′( x ), f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f ′( x) f ( x)

(-∞,0) +

0 0 极大值

(0,2) -

2 0 极小值

(2,+∞) +

由此可得: 当 0 < a < 1 时, f ( x ) 在 ( a ? 1, a + 1) 内有极大值 f (0) = ?2 ,无极小值; 当 a = 1时, f ( x)在( a ? 1, a + 1) 内无极值; 当 1 < a < 3 时, f ( x ) 在 ( a ? 1, a + 1) 内有极小值 f (2) = ?6 ,无极大值; 当 a ≥ 3 时, f ( x ) 在 ( a ? 1, a + 1) 内无极值。 综上得:当 0 < a < 1 时, f ( x ) 有极大值-2,无极小值; 当 1 < a < 3 , f ( x ) 有极小值-6,无极大值;

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当 a = 1当a ≥ 3 时, f ( x ) 无极值。

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