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北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的概念-课件(1)


观察下列演示过程,注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

学习目 标:

观察下列演示过程,注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

学习目 标:

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矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

学习目 标:

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矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

学习目 标:

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矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

学习目 标:

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学习目 标:

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学习目 标:

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学习目 标:

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学习目 标:

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矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

学习目 标:

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学习目 标:

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矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

学习目 标:

观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

学习目 标:

当分割点无限增多时,小矩形的面积和=曲边梯形的面积

求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法
n个小区间: ? a, x1 ?,? x1, x2 ?,
= b-a n

(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成

? xi-1, xi ?,

, ? xn-1, b?,

每个小区间宽度△x (2)取近似求和:任取xi?[xi-1, xi],第i个小曲边梯形的面积用高 y 为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积 y = f (x ) f(x )Dx近似之。
i

取n个小矩形面积的和作为曲边梯

形面积S的近似值:S ? ? f (xi )Dx
i =1

n

(3)取极限:,所求曲边梯形的 面积S为 S = lim ? f (xi )Dx
n?? i =1 n

O

a

xi xi xi+1 Dx

b

x

(一)、定积分的定义
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:
分割---近似代替----求和------取极限得到解决. n n b-a 小矩形面积和S=? f (xi )Dx = ? f (xi ) ? n i =1 i =1

如果当n?∞时,S 的无限接近某个常数, 这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分,记作

?a

b

b-a 即? ff (( x dx= = lim ?xfi。 (xi ) lim f (x)dx,即 x )) dx f (x i)?D ? ? a a ? ?n 0?? n i =1 i =1
bb
n
n

定积分的概念 一般地,设函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续,用分点 a = x0 ? x1 ? x2 ? ? xi -1 ? xi ? ? xn = b 将区间 [a, b] 等分成 n 个小区间,每个小区间长度为 Dx b-a ( Dx = ) ,在每个小区间 ? xi -1 , xi ? 上取一点 n xi ?i = 1,2, , n? ,作和式:
b-a Sn = ? f (xi )Dx = ? f (xi ) n i =1 i =1 如果 Dx 无限接近于 0(亦即 n ??? ) 时, 上述和式 Sn 无限趋近于常数 S ,那么称该常数 S 为函数 f ( x) 在区
n n

间 [a, b] 上的定积分。记为: S =

?

b

a

f ( x)dx

定积分的定义:

即?

b

a

b-a f ( x)dx = lim ? ? f (xi ) n?? n i =1
n

定积分的相关名称: ? ———叫做积分号, y f(x) ——叫做被积函数, f(x)dx —叫做被积表达式, x ———叫做积分变量, a ———叫做积分下限, O b ———叫做积分上限, [a, b] —叫做积分区间。

y = f ( x)

a

b

x

积分上限

?a f ( x )dx = I =
积分下限

b

lim ? f (xi )Dxi
n ?? i =1

n

被 积 函 数

被 积 表 达 式

积 分 变 量

说明:
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关,即

?a f(x)dx = ?a f (t)dt =?a
(3)

b

b

b

f(u)du。

(2)定义中区间的分法和 xi 的取法是任意的.

?a f(x)dx = - ?b f (x)dx
b

a

(二)、定积分的几何意义:
当 f(x)?0 时,积分 ? f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 a x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y
b

y=f (x)

?a f (x)dx = ?a f (x)dx? ?c
O
a
b a

b

c

b

f (x)dx。

b x

特别地,当 a=b 时,有? f (x)dx=0。

定积分的几何意义: 当f(x)?0时,由y=f (x)、x=a、x=b 与 x 轴所围成的曲
边梯形位于 x 轴的下方,
积分 ? f (x)dx 在几何上表示
a b

y

y=-f (x)
S = ? [- f ( x)]dx
a b

上述曲边梯形面积的负值。
S = ? [- f ( x)]dx
a b

=-? ? f ( x)dx . ,
a

b

O a
b

= ?S f (x)dx? ? ?a f (x)dx =a c f (x)dx。

b

c

b x
b

f (x

= ?S f (x)dx? ? ?a f (x)dx =a c

b

c

y=f (x)

探究:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的 y = f ( x ) y 面积?

S = S1 - S2 = ? f ( x)dx - ? g ( x)dx
a a

b

b

( x) S1 = y )dx ? = fg(
O

b

S2 = ? g ( x)dx
a

a

b

a a

b x

性质1.

(三)、定积分的基本性质

?

b

a

kf ( x )dx = k ? f ( x )dx
a

b

性质2.

?

b

a

[ f ( x ) ? g( x )]dx = ? f ( x )dx ? ? g( x )dx
a a

b

b

三:

定积分的基本性质 定积分关于积分区间具有可加性
b a

性质3.

?

f ( x )dx = ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
a c

c

b

y

思考:从定积分的几何 意义解释性质⑶ f x) = f。 (。 x)dx? ? f)( x)dx (x ? fx () x )dx dx = ?= ? f (f x) dx ?(? f( ?)dx ?dx ?dx ? f?(x
b
b

y = f (x )
b b

c

c

b

c

b

a

a

a

a

a

c c

a

c

f (x)dx。

O

a
c2 c1

c
b c2

b

x

?

b

a

f ( x )dx = ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
a

c1

解:1 分割:在区间 ? 0 ,1? 上等间隔地插入 n - 1 个点,

例 1:利用定积分的定义,计算 ? x dx 的值。
3 0

1

将 区 间 ? 0 ,1? 等 分 成 n 个 小 区 间 , 记 第 i 个 区 间 为
i i -1 1 ? i -1 i ? = 。 , ? (i = 1, 2 , , n) ,其长度为 Dx = ? n n n ? n n? 2 近似代替,求和 n 1 i i 3 取 ? i = (i = 1, 2,...n) 则 ? x dx ? Sn = ? f ( ) ? Dx 0 n n i =1 n i 3 1 1 n 3 1 1 2 1 1 2 2 = ? ( ) ? = 4 ? i = 4 ? n (n ? 1) = (1 ? ) n n i =1 n 4 4 n i =1 n

3 取极限

1 1 2 1 S n = lim (1 ? ) = ?0 x dx = lim n ?? n ?? 4 n 4
1 3

练习:利用定积分计算: 例2:计算定积分

?

2

0

x dx

3

?

1

0

(2x - x ) dx

2

练习:用定积分表示抛物线 y=x2-2x+3 与直线 y=x+3所围 成的图形面积

? ? x + 3? dx - ? ? x
3 3 0 0

2

- x + 3 ? dx = ? ? -x + 3x ? dx
3 2 0

(四)、小结
1.定积分的实质:特殊和式的逼近值. 2.定积分的思想和方法:
分割 化整为零
求近似以直(不变)代曲(变)

求和 取逼近

积零为整 精确值——定积分
取逼近

3.定积分的几何意义及简单应用

(五).布置作业:课本P81页习题4-1A组 4、5 B组2 五、教学后记:


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