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2017年湖北省鄂州市中考数学试题(解析版)


2017 年湖北省鄂州市中考数学试卷
一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1. (3 分)下列实数是无理数的是( A. B. C.0 D.﹣1.010101 )

2. (3 分)鄂州市凤凰大桥,坐落于鄂州鄂城区洋澜湖上,是洋澜湖上在建的第 5 座桥,大桥长 1100m,宽 27m,鄂州有关部门公布了该桥新的设计方案,并计 划投资人民币 2.3 亿元,2015 年开工,预计 2017 年完工.请将 2.3 亿元用科学 记数法表示为( ) C.23×107 D.2.3×109 )

A.2.3×108 B.0.23×109

3. (3 分)下列运算正确的是( A.5x﹣3x=2

B. (x﹣1)2=x2﹣1 C. (﹣2x2)3=﹣6x6 D.x6÷x2=x4

4. (3 分)如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图,小正方形 中的数字表示该位置上小正方体的个数,则该几何体的左视图是( )

A.

B.

C.

D. ,下列说法正确的是( )

5. (3 分)对于不等式组 A.此不等式组的正整数解为 1,2,3 B.此不等式组的解集为﹣1<x≤ C.此不等式组有 5 个整数解 D.此不等式组无解

6. (3 分) 如图, AB∥CD, E 为 CD 上一点, 射线 EF 经过点 A, EC=EA. 若∠CAE=30°, 则∠BAF=( )
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A.30° B.40° C.50° D.60° 7. (3 分)已知二次函数 y=(x+m)2﹣n 的图象如图所示,则一次函数 y=mx+n 与反比例函数 y= 的图象可能是( )

A.

B.

C.

D.

8. (3 分)小东家与学校之间是一条笔直的公路,早饭后,小东步行前往学校, 图中发现忘带画板,停下给妈妈打电话,妈妈接到电话后,带上画板马上赶往学 校,同时小东沿原路返回,两人相遇后,小东立即赶往学校,妈妈沿原路返回 16min 到家,再过 5min 小东到达学校,小东始终以 100m/min 的速度步行,小 东和妈妈的距离 y(单位:m)与小东打完电话后的步行时间 t(单位:min)之 间的函数关系如图所示,下列四种说法: ①打电话时,小东和妈妈的距离为 1400 米; ②小东和妈妈相遇后,妈妈回家的速度为 50m/min; ③小东打完电话后,经过 27min 到达学校; ④小东家离学校的距离为 2900m. 其中正确的个数是( )

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A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 9. (3 分)如图抛物线 y=ax2+bx+c 的图象交 x 轴于 A(﹣2,0)和点 B,交 y 轴 负半轴于点 C,且 OB=OC,下列结论: ①2b﹣c=2;②a= ;③ac=b﹣1;④ 其中正确的个数有( ) >0

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 10. (3 分) 如图四边形 ABCD 中, AD∥BC,∠BCD=90°,AB=BC+AD, ∠DAC=45°, E 为 CD 上一点,且∠BAE=45°.若 CD=4,则△ABE 的面积为( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题(每小题 3 分,共 18 分) 11. (3 分)分解因式:ab2﹣9a= 12. (3 分)若 y= + . .

﹣6,则 xy=
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13. (3 分)一个样本为 1,3,2,2,a,b,c,已知这个样本的众数为 3,平均 数为 2,则这组数据的中位数为 . .

14. (3 分)已知圆锥的高为 6,底面圆的直径为 8,则圆锥的侧面积为

15. (3 分)如图,AC⊥x 轴于点 A,点 B 在 y 轴的正半轴上,∠ABC=60°,AB=4, BC=2 ,点 D 为 AC 与反比例函数 y= 的图象的交点.若直线 BD 将△ABC 的面 .

积分成 1:2 的两部分,则 k 的值为

16. (3 分)已知正方形 ABCD 中 A(1,1) 、B(1,2) 、C(2,2) 、D(2,1) , 有一抛物线 y=(x+1)2 向下平移 m 个单位(m>0)与正方形 ABCD 的边(包括 四个顶点)有交点,则 m 的取值范围是 .

三、解答题(17-20 题每题 8 分,21-22 题每题 9 分,23 题 10 分,24 题 12 分, 共 72 分) 17. (8 分)先化简,再求值: (x﹣1+ 的整数解中选取. 18. (8 分)如图,将矩形 ABCD 沿对角线 AC 翻折,点 B 落在点 F 处,FC 交 AD 于 E. (1)求证:△AFE≌△CDF; (2)若 AB=4,BC=8,求图中阴影部分的面积. )÷ ,其中 x 的值从不等式组

19. (8 分)某兴趣小组为了了解本校学生参加课外体育锻炼情况,随机抽取本
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校 40 名学生进行问卷调查,统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图:

根据以上信息解答下列问题: (1) 课外体育锻炼情况统计图中, “经常参加”所对应的圆心角的度数为 ;

“ 经常参加课外体育锻炼的学生最喜欢的一种项目 ” 中,喜欢足球的人数有 人,补全条形统计图. (2) 该校共有 1200 名学生, 请估计全校学生中经常参加课外体育锻炼并喜欢的 项目是乒乓球的人数有多少人? (3)若在“乒乓球”、“篮球”、“足球”、“羽毛球”项目中任选两个项目成立兴趣小 组,请用列表法或画树状图的方法求恰好选中“乒乓球”、“篮球”这两个项目的概 率. 20. (8 分)关于 x 的方程 x2﹣(2k﹣1)x+k2﹣2k+3=0 有两个不相等的实数根. (1)求实数 k 的取值范围; (2) 设方程的两个实数根分别为 x1、 x2, 存不存在这样的实数 k, 使得|x1|﹣|x2|= ?若存在,求出这样的 k 值;若不存在,说明理由. 21. (9 分)小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度,他从食堂楼底 M 处出发,向前走 3 米到达 A 处,测得树顶端 E 的仰角为 30°,他又继续走下台 阶到达 C 处,测得树的顶端 E 的仰角是 60°,再继续向前走到大树底 D 处,测得 食堂楼顶 N 的仰角为 45°.已知 A 点离地面的高度 AB=2 米,∠BCA=30°,且 B、 C、D 三点在同一直线上. (1)求树 DE 的高度; (2)求食堂 MN 的高度.

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22. (9 分)如图,已知 BF 是⊙O 的直径,A 为⊙O 上(异于 B、F)一点,⊙O 的切线 MA 与 FB 的延长线交于点 M;P 为 AM 上一点,PB 的延长线交⊙O 于点 C,D 为 BC 上一点且 PA=PD,AD 的延长线交⊙O 于点 E. (1)求证: = ;

(2)若 ED、EA 的长是一元二次方程 x2﹣5x+5=0 的两根,求 BE 的长; (3)若 MA=6 ,sin∠AMF= ,求 AB 的长.

23. (10 分)鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是 50 元/个,根据市场调 研发现售价是 80 元/个时,每周可卖出 160 个,若销售单价每个降低 2 元,则每 周可多卖出 20 个.设销售价格每个降低 x 元(x 为偶数) ,每周销售为 y 个. (1)直接写出销售量 y 个与降价 x 元之间的函数关系式; (2)设商户每周获得的利润为 W 元,当销售单价定为多少元时,每周销售利润 最大,最大利润是多少元? (3) 若商户计划下周利润不低于 5200 元的情况下, 他至少要准备多少元进货成 本? 24. (12 分)已知,抛物线 y=ax2+bx+3(a<0)与 x 轴交于 A(3,0) 、B 两点,
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与 y 轴交于点 C,抛物线的对称轴是直线 x=1,D 为抛物线的顶点,点 E 在 y 轴 C 点的上方,且 CE= . (1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标; (2)求证:直线 DE 是△ACD 外接圆的切线; (3)在直线 AC 上方的抛物线上找一点 P,使 S△ACP= S△ACD,求点 P 的坐标; (4)在坐标轴上找一点 M,使以点 B、C、M 为顶点的三角形与△ACD 相似,直 接写出点 M 的坐标.

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2017 年湖北省鄂州市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1. (3 分) (2017?鄂州)下列实数是无理数的是( A. B. C.0 D.﹣1.010101 )

【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项. 【解答】解: ,0,﹣1.0101 是有理数, 是无理数, 故选:B. 【点评】此题主要考查了无理数的定义,注意带根号的要开不尽方才是无理数, 无限不循环小数为无理数.如 π, 个 0)等形式. ,0.8080080008…(每两个 8 之间依次多 1

2. (3 分) (2017?鄂州)鄂州市凤凰大桥,坐落于鄂州鄂城区洋澜湖上,是洋澜 湖上在建的第 5 座桥,大桥长 1100m,宽 27m,鄂州有关部门公布了该桥新的 设计方案,并计划投资人民币 2.3 亿元,2015 年开工,预计 2017 年完工.请将 2.3 亿元用科学记数法表示为( A.2.3×108 B.0.23×109 )

C.23×107 D.2.3×109

【分析】 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式, 其中 1≤|a|<10, n 为整数. 确 定 n 的值时,要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点 移动的位数相同.当原数绝对值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数. 【解答】解:将 2.3 亿用科学记数法表示为:2.3×108. 故选 A. 【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的 形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.

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3. (3 分) (2017?鄂州)下列运算正确的是( A.5x﹣3x=2



B. (x﹣1)2=x2﹣1 C. (﹣2x2)3=﹣6x6 D.x6÷x2=x4

【分析】各项计算得到结果,即可作出判断. 【解答】解:A、原式=2x,不符合题意; B、原式=x2﹣2x+1,不符合题意; C、原式=﹣8x6,不符合题意; D、原式=x4,符合题意, 故选 D 【点评】此题考查了整式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

4. (3 分) (2017?鄂州)如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视 图,小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数,则该几何体的左视图是 ( )

A.

B.

C.

D.

【分析】根据俯视图中每列正方形的个数,再画出从正面,左面看得到的图形即 可. 【解答】解:该几何体的左视图是:

. 故选:D. 【点评】此题主要考查了画几何体的三视图;用到的知识点为:主视图,左视图 分别是从物体的正面, 左面看得到的图形;看到的正方体的个数为该方向最多的 正方体的个数.

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5. (3 分) (2017?鄂州) 对于不等式组 A.此不等式组的正整数解为 1,2,3 B.此不等式组的解集为﹣1<x≤ C.此不等式组有 5 个整数解 D.此不等式组无解

, 下列说法正确的是 (



【分析】确定不等式组的解集,再写出不等式组的整数解,然后对各选项进行判 断. 【解答】解: 解①得 x≤ , 解②得 x>﹣1, 所以不等式组的解集为﹣1<x≤ , 所以不等式组的整数解为 1,2,3 故选 A. 【点评】 本题考查了一元一次不等式组的整数解: 利用数轴确定不等式组的解 (整 数解) .解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集,然后再根 据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件, 再根据得到的条件进而求得 不等式组的整数解. ,

6. (3 分) (2017?鄂州) 如图, AB∥CD, E 为 CD 上一点, 射线 EF 经过点 A, EC=EA. 若 ∠CAE=30°,则∠BAF=( )

A.30° B.40° C.50° D.60° 【分析】先根据 EC=EA.∠CAE=30°得出∠C=30°,再由三角形外角的性质得出∠ AED 的度数,利用平行线的性质即可得出结论.
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【解答】解:∵EC=EA.∠CAE=30°, ∴∠C=30°, ∴∠AED=30°+30°=60°. ∵AB∥CD, ∴∠BAF=∠AED=60°. 故选 D. 【点评】本题考查的是平行线的性质,熟知两直线平行,同位角相等是解答此题 的关键.

7. (3 分) (2017?鄂州)已知二次函数 y=(x+m)2﹣n 的图象如图所示,则一次 函数 y=mx+n 与反比例函数 y= 的图象可能是( )

A.

B.

C.

D.

【分析】观察二次函数图象可得出 m>0、n<0,再根据一次函数图象与系数的 关系结合反比例函数的图象即可得出结论. 【解答】解:观察二次函数图象可知:m>0,n<0, ∴一次函数 y=mx+n 的图象经过第一、三、四象限,反比例函数 y= 第二、四象限. 故选 C. 【点评】 本题考查了二次函数图象与系数的关系、一次函数图象与系数的关系以 及反比例函数的图象,观察二次函数图象找出 m>0、n<0 是解题的关键.
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的图象在

8. (3 分) (2017?鄂州)小东家与学校之间是一条笔直的公路,早饭后,小东步 行前往学校,图中发现忘带画板,停下给妈妈打电话,妈妈接到电话后,带上画 板马上赶往学校,同时小东沿原路返回,两人相遇后,小东立即赶往学校,妈妈 沿原路返回 16min 到家,再过 5min 小东到达学校,小东始终以 100m/min 的速 度步行, 小东和妈妈的距离 y (单位: m) 与小东打完电话后的步行时间 t (单位: min)之间的函数关系如图所示,下列四种说法: ①打电话时,小东和妈妈的距离为 1400 米; ②小东和妈妈相遇后,妈妈回家的速度为 50m/min; ③小东打完电话后,经过 27min 到达学校; ④小东家离学校的距离为 2900m. 其中正确的个数是( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【分析】 ①由当 t=0 时 y=1400, 可得出打电话时, 小东和妈妈的距离为 1400 米, 结论①正确;②利用速度=路程÷时间结合小东的速度,可求出小东和妈妈相遇 后,妈妈回家的速度为 50m/min,结论②正确;③由 t 的最大值为 27,可得出小 东打完电话后,经过 27min 到达学校,结论③正确;④根据路程=2400+小东步行 的速度×(27﹣22) ,即可得出小东家离学校的距离为 2900m,结论④正确.综 上即可得出结论. 【解答】解:①当 t=0 时,y=1400, ∴打电话时,小东和妈妈的距离为 1400 米,结论①正确; ②2400÷(22﹣6)﹣100=50(m/min) , ∴小东和妈妈相遇后,妈妈回家的速度为 50m/min,结论②正确; ③∵t 的最大值为 27, ∴小东打完电话后,经过 27min 到达学校,结论③正确;
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④2400+(27﹣22)×100=2900(m) , ∴小东家离学校的距离为 2900m,结论④正确. 综上所述,正确的结论有:①②③④. 故选 D. 【点评】本题考查了一次函数的应用,观察图形,逐一分析四条结论的正误是解 题的关键.

9. (3 分) (2017?鄂州)如图抛物线 y=ax2+bx+c 的图象交 x 轴于 A(﹣2,0)和 点 B,交 y 轴负半轴于点 C,且 OB=OC,下列结论: ①2b﹣c=2;②a= ;③ac=b﹣1;④ 其中正确的个数有( ) >0

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【分析】 根据抛物线的开口方向,对称轴公式以及二次函数图象上点的坐标特征 来判断 a、b、c 的符号以及它们之间的数量关系,即可得出结论. 【解答】解:据图象可知 a>0,c<0,b>0, ∴ <0,故④错误;

∵OB=OC, ∴OB=﹣c, ∴点 B 坐标为(﹣c,0) , ∴ac2﹣bc+c=0, ∴ac﹣b+1=0, ∴ac=b﹣1,故③正确; ∵A(﹣2,0) ,B(﹣c,0) ,抛物线线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 A(﹣2,0)和 B
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(﹣c,0)两点, ∴2c= , ∴2= , ∴a= ,故②正确; ∵ac﹣b+1=0, ∴b=ac+1,a= , ∴b= c+1 ∴2b﹣c=2,故①正确; 故选:C. 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数 y=ax2+bx+c(a ≠0) ,二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小:当 a>0 时,抛物线向上开 口;当 a<0 时,抛物线向下开口;一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称 轴的位置: 当 a 与 b 同号时 (即 ab>0) , 对称轴在 y 轴左; 当 a 与 b 异号时 (即 ab<0) , 对称轴在 y 轴右. (简称: 左同右异) ; 常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点: 抛物线与 y 轴交于 (0, c) ; 抛物线与 x 轴交点个数由△决定: △=b2﹣4ac>0 时, 抛物线与 x 轴有 2 个交点;△=b2﹣4ac=0 时,抛物线与 x 轴有 1 个交点;△=b2 ﹣4ac<0 时,抛物线与 x 轴没有交点.

10. (3 分) (2017?鄂州) 如图四边形 ABCD 中, AD∥BC, ∠BCD=90°, AB=BC+AD, ∠DAC=45°, E 为 CD 上一点, 且∠BAE=45°. 若 CD=4, 则△ABE 的面积为 ( )

A.

B.

C.

D.

【分析】如图取 CD 的中点 F,连接 BF 延长 BF 交 AD 的延长线于 G,作 FH⊥AB 于 H,EK⊥AB 于 K.作 BT⊥AD 于 T.由△BCF≌△GDF,推出 BC=DG,BF=FG,
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由△FBC≌△FBH,△FAH≌△FAD,推出 BC=BH,AD=AH,由题意 AD=DC=4,设 BC=TD=BH=x,在 Rt△ABT 中,∵AB2=BT2+AT2,可得(x+4)2=42+(4﹣x)2,推 出 x=1, 推出 BC=BH=TD=1, AB=5, 设 AK=EK=y, DE=z, 根据 AE2=AK2+EK2=AD2+DE2, BE2=BK2+KE2=BC2+EC2,可得 42+z2=2y2①, (5﹣y)2+y2=12+(4﹣z)2②,由此求 出 y 即可解决问题. 【解答】解:如图取 CD 的中点 F,连接 BF 延长 BF 交 AD 的延长线于 G,作 FH ⊥AB 于 H,EK⊥AB 于 K.作 BT⊥AD 于 T.

∵BC∥AG, ∴∠BCF=∠FDG, ∵∠BFC=∠DFG,FC=DF, ∴△BCF≌△GDF, ∴BC=DG,BF=FG, ∵AB=BC+AD,AG=AD+DG=AD+BC, ∴AB=AG,∵BF=FG, ∴BF⊥AF,∠ABF=∠G=∠CBF, ∵FH⊥BA,FC⊥BC, ∴FH=FC,易证△FBC≌△FBH,△FAH≌△FAD, ∴BC=BH,AD=AH, 由题意 AD=DC=4,设 BC=TD=BH=x, 在 Rt△ABT 中,∵AB2=BT2+AT2, ∴(x+4)2=42+(4﹣x)2, ∴x=1, ∴BC=BH=TD=1,AB=5, 设 AK=EK=y,DE=z, ∵AE2=AK2+EK2=AD2+DE2,BE2=BK2+KE2=BC2+EC2,
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∴42+z2=2y2①, (5﹣y)2+y2=12+(4﹣z)2② 由①②可得 y= ∴S△ABE= ×5× 故选 D. 【点评】本题考查直角梯形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质 定理、勾股定理、二元二次方程组等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线, 学会利用参数,构建方程解决问题,属于中考压轴题. (负根已经舍弃) , = ,

二、填空题(每小题 3 分,共 18 分) 11. (3 分) (2017?鄂州)分解因式:ab2﹣9a= a(b+3) (b﹣3) .

【分析】根据提公因式,平方差公式,可得答案. 【解答】解:原式=a(b2﹣9) =a(b+3) (b﹣3) , 故答案为:a(b+3) (b﹣3) . 【点评】本题考查了因式分解,一提,二套,三检查,分解要彻底.

12. (3 分) (2017?鄂州)若 y=

+

﹣6,则 xy=

﹣3



【分析】根据分式有意义的条件即可求出 x 与 y 的值. 【解答】解:由题意可知: ,

解得:x= , ∴y=0+0﹣6=﹣6, ∴xy=﹣3, 故答案为:﹣3 【点评】 本题考查二次根式有意义的条件,解题的关键是正确理解二次根式有意 义的条件,本题属于基础题型.
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13. (3 分) (2017?鄂州)一个样本为 1,3,2,2,a,b,c,已知这个样本的众 数为 3,平均数为 2,则这组数据的中位数为 2 .

【分析】因为众数为 3,表示 3 的个数最多,因为 2 出现的次数为二,所以 3 的 个数最少为三个,则可设 a,b,c 中有两个数值为 3.另一个未知数利用平均数 定义求得,从而根据中位数的定义求解. 【解答】解:因为众数为 3,可设 a=3,b=3,c 未知, 平均数= (1+3+2+2+3+3+c)=2, 解得 c=0, 将这组数据按从小到大的顺序排列:0、1、2、2、3、3、3, 位于最中间的一个数是 2,所以中位数是 2, 故答案为:2. 【点评】本题为统计题,考查平均数、众数与中位数的意义,中位数是将一组数 据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均 数) ,叫做这组数据的中位数,如果中位数的概念掌握得不好,不把数据按要求 重新排列,就会出错.

14. (3 分) (2017?鄂州)已知圆锥的高为 6,底面圆的直径为 8,则圆锥的侧面 积为 8 π .

【分析】 根据题意可以去的圆锥的母线长,然后根据圆锥的侧面展开图是一个扇 形,由扇形的面积公式 S= lr 即可解答本题. 【解答】解:圆锥的主视图如右图所示, 直径 BC=8,AD=6, ∴AC= ∴圆锥的侧面积是: 故答案为:8 π. =2 =8 , π,

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【点评】本题考查圆锥的计算,解答本题的关键是明确题意,知道圆锥的侧面展 开图是扇形和扇形的面积计算公式.

15. (3 分) (2017?鄂州) 如图, AC⊥x 轴于点 A, 点 B 在 y 轴的正半轴上, ∠ABC=60°, AB=4, BC=2 , 点 D 为 AC 与反比例函数 y= 的图象的交点. 若直线 BD 将△ABC ﹣4 或﹣8 .

的面积分成 1:2 的两部分,则 k 的值为

【分析】过 C 作 CE⊥AB 于 E,根据∠ABC=60°,AB=4,BC=2

,可求得△ABC

的面积,再根据点 D 将线段 AC 分成 1:2 的两部分,分两种情况进行讨论,根 据反比例函数系数 k 的几何意义即可得到 k 的值. 【解答】解:如图所示,过 C 作 CE⊥AB 于 E, ∵∠ABC=60°,BC=2 ∴Rt△CBE 中,CE=3, 又∵AC=4, ∴△ABC 的面积= AB×CE= ×4×3=6, 连接 BD,OD, ∵直线 BD 将△ABC 的面积分成 1:2 的两部分, ∴点 D 将线段 AC 分成 1:2 的两部分, 当 AD:CD=1:2 时,△ABD 的面积= ×△ABC 的面积=2, ∵AC∥OB, ∴△DOA 的面积=△ABD 的面积=2,
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∴ |k|=2,即 k=±4, 又∵k<0, ∴k=﹣4; 当 AD:CD=2:1 时,△ABD 的面积= ×△ABC 的面积=4, ∵AC∥OB, ∴△DOA 的面积=△ABD 的面积=4, ∴ |k|=4,即 k=±8, 又∵k<0, ∴k=﹣8, 故答案为:﹣4 或﹣8.

【点评】 本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题,以及反比例函数系数 k 的几何意义的运用.过反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线,这一点 和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|,且保持不变.解题时注意 分类思想的运用.

16. (3 分) (2017?鄂州)已知正方形 ABCD 中 A(1,1) 、B(1,2) 、C(2,2) 、 D(2,1) ,有一抛物线 y=(x+1)2 向下平移 m 个单位(m>0)与正方形 ABCD 的边(包括四个顶点)有交点,则 m 的取值范围是 2≤m≤8 .

【分析】根据向下平移横坐标不变,分别代入 B 的横坐标和 D 的横坐标求得对 应的函数值,即可求得 m 的取值范围. 【解答】解:设平移后的解析式为 y=y=(x+1)2﹣m, 将 B 点坐标代入,得
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4﹣m=2,解得 m=2, 将 D 点坐标代入,得 9﹣m=1,解得 m=8, y=(x+1)2 向下平移 m 个单位(m>0)与正方形 ABCD 的边(包括四个顶点) 有交点,则 m 的取值范围是 2≤m≤8, 故答案为:2≤m≤8. 【点评】 本题考查了二次函数图象与几何变换,利用了矩形性质和二次函数图象 上点的坐标特征,平移的性质的应用,把 B,D 的坐标代入是解题关键.

三、解答题(17-20 题每题 8 分,21-22 题每题 9 分,23 题 10 分,24 题 12 分, 共 72 分) 17. (8 分) (2017?鄂州)先化简,再求值: (x﹣1+ 从不等式组 的整数解中选取. )÷ ,其中 x 的值

【分析】 先根据分式的混合运算顺序和法则化简原式, 再求出不等式组的整数解, 由分式有意义得出符合条件的 x 的值,代入求解可得. 【解答】解:原式=( = = = , 得:﹣1≤x< , ? ? + )÷

解不等式组

∴不等式组的整数解有﹣1、0、1、2, ∵分式有意义时 x≠±1、0, ∴x=2, 则原式=0. 【点评】 本题主要考查分式的化简求值及解一元一次不等式组的能力,熟练掌握 分式的混合运算顺序和法则及解不等式组的能力、 分式有意义的条件是解题的关 键.
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18. (8 分) (2017?鄂州)如图,将矩形 ABCD 沿对角线 AC 翻折,点 B 落在点 F 处,FC 交 AD 于 E. (1)求证:△AFE≌△CDF; (2)若 AB=4,BC=8,求图中阴影部分的面积.

【分析】 (1)根据矩形的性质得到 AB=CD,∠B=∠D=90°,根据折叠的性质得到 ∠E=∠B,AB=AE,根据全等三角形的判定定理即可得到结论; (2)根据全等三角形的性质得到 AF=CF,EF=DF,根据勾股定理得到 DF=3,根 据三角形的面积公式即可得到结论. 【解答】解: (1)∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AB=CD,∠B=∠D=90°, ∵将矩形 ABCD 沿对角线 AC 翻折,点 B 落在点 E 处, ∴∠E=∠B,AB=AE, ∴AE=CD,∠E=∠D, 在△AEF 与△CDF 中, ∴△AEF≌△CDF; (2)∵AB=4,BC=8, ∴CE=AD=8,AE=CD=AB=4, ∵△AEF≌△CDF, ∴AF=CF,EF=DF, ∴DF2+CD2=CF2, 即 DF2+42=(8﹣DF)2, ∴DF=3, ∴EF=3,
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∴图中阴影部分的面积=S△ACE﹣S△AEF= ×4×8﹣ ×4×3=10. 【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠的性质,全等三角形的判定和性质,矩形的 性质,勾股定理,三角形面积的计算,熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

19. (8 分) (2017?鄂州) 某兴趣小组为了了解本校学生参加课外体育锻炼情况, 随机抽取本校 40 名学生进行问卷调查,统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的 统计图:

根据以上信息解答下列问题: (1) 课外体育锻炼情况统计图中, “经常参加”所对应的圆心角的度数为 144° ; 1

“ 经常参加课外体育锻炼的学生最喜欢的一种项目 ” 中,喜欢足球的人数有 人,补全条形统计图.

(2) 该校共有 1200 名学生, 请估计全校学生中经常参加课外体育锻炼并喜欢的 项目是乒乓球的人数有多少人? (3)若在“乒乓球”、“篮球”、“足球”、“羽毛球”项目中任选两个项目成立兴趣小 组,请用列表法或画树状图的方法求恰好选中“乒乓球”、“篮球”这两个项目的概 率. 【分析】 (1)用“经常参加”所占的百分比乘以 360°计算得到“经常参加”所对应的 圆心角的度数;先求出“经常参加”的人数,然后减去其它各组人数得出喜欢足球 的人数;进而补全条形图; (2)用总人数乘以喜欢篮球的学生所占的百分比计算即可得解; (3) 先利用树状图展示所有 12 种等可能的结果数, 找出选中的两个项目恰好是 “乒乓球”、“篮球”所占结果数,然后根据概率公式求解.
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【解答】解: (1)360°×(1﹣15%﹣45%)=360°×40%=144°; “经常参加”的人数为:40×40%=16 人, 喜欢足的学生人数为:16﹣6﹣4﹣3﹣2=1 人; 补全统计图如图所示: 故答案为:144°,1;

(2) 全校学生中经常参加课外体育锻炼并喜欢的项目是乒乓球的人数约为: 1200 × =180 人;

(3)设 A 代表“乒乓球”、B 代表“篮球”、C 代表“足球”、D 代表“羽毛球”,画树 状图如下:

共有 12 种等可能的结果数,其中选中的两个项目恰好是“乒乓球”、“篮球”的情 况占 2 种, 所以选中“乒乓球”、“篮球”这两个项目的概率是 = .

【点评】 本题考查了列表法与树状图法:通过列表法或树状图法展示所有可能的 结果求出 n,再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m,然后利用概率公式求事 件 A 或 B 的概率.也考查了样本估计总体、扇形统计图和条形统计图.

20. (8 分) (2017?鄂州)关于 x 的方程 x2﹣(2k﹣1)x+k2﹣2k+3=0 有两个不相
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等的实数根. (1)求实数 k 的取值范围; (2) 设方程的两个实数根分别为 x1、 x2, 存不存在这样的实数 k, 使得|x1|﹣|x2|= ?若存在,求出这样的 k 值;若不存在,说明理由. 【分析】 (1)由方程有两个不相等的实数根知△>0,列出关于 k 的不等式求解 可得; (2)由韦达定理知 x1+x2=2k﹣1,x1x2=k2﹣2k+3=(k﹣1)2+2>0,将原式两边平 方后把 x1+x2、x1x2 代入得到关于 k 的方程,求解可得. 【解答】解: (1)∵方程有两个不相等的实数根, ∴△=[﹣(2k﹣1)]2﹣4(k2﹣2k+3)=4k﹣11>0, 解得:k> ;

(2)存在, ∵x1+x2=2k﹣1,x1x2=k2﹣2k+3=(k﹣1)2+2>0, ∴将|x1|﹣|x2|= 两边平方可得 x12﹣2x1x2+x22=5,即(x1+x2)2﹣4x1x2=5,

代入得: (2k﹣1)2﹣4(k2﹣2k+3)=5, 解得:4k﹣11=5, 解得:k=4. 【点评】 本题主要考查根与系数的关系及根的判别式,熟练掌握判别式的值与方 程的根之间的关系及韦达定理是解题的关键.

21. (9 分) (2017?鄂州)小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度, 他从食堂楼底 M 处出发,向前走 3 米到达 A 处,测得树顶端 E 的仰角为 30°,他 又继续走下台阶到达 C 处,测得树的顶端 E 的仰角是 60°,再继续向前走到大树 底 D 处, 测得食堂楼顶 N 的仰角为 45°. 已知 A 点离地面的高度 AB=2 米, ∠BCA=30°, 且 B、C、D 三点在同一直线上. (1)求树 DE 的高度; (2)求食堂 MN 的高度.

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【分析】 (1) 设 DE=x, 可得 EF=DE﹣DF=x﹣2, 从而得 AF= 再求出 CD= 解之可得; (2) 延长 NM 交 DB 延长线于点 P,知 AM=BP=3,由(1)得 CD= ,根据 NP=PD 且 AB=MP 可得答案. 【解答】解: (1)如图,设 DE=x, ∵AB=DF=2, ∴EF=DE﹣DF=x﹣2, ∵∠EAF=30°, ∴AF= = = (x﹣2) , = x、 BC= =2

= (x﹣2) ,

, 根据 AF=BD 可得关于 x 的方程,

x=2

、 BC=2

又∵CD=

=

=

x,BC=

=

=2



∴BD=BC+CD=2 由 AF=BD 可得 解得:x=6,

+

x + x,

(x﹣2)=2

∴树 DE 的高度为 6 米;

(2)延长 NM 交 DB 延长线于点 P,则 AM=BP=3,

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由(1)知 CD=

x=

×6=2 +2

,BC=2 ,



∴PD=BP+BC+CD=3+2

=3+4

∵∠NDP=45°,且 MP=AB=2, ∴NP=PD=3+4 , ﹣2=1+4 米. ,

∴NM=NP﹣MP=3+4

∴食堂 MN 的高度为 1+4

【点评】 本题考查了解直角三角形的应用,解题的关键是正确的构造直角三角形 并选择正确的边角关系解直角三角形.

22. (9 分) (2017?鄂州)如图,已知 BF 是⊙O 的直径,A 为⊙O 上(异于 B、F) 一点,⊙O 的切线 MA 与 FB 的延长线交于点 M;P 为 AM 上一点,PB 的延长线 交⊙O 于点 C,D 为 BC 上一点且 PA=PD,AD 的延长线交⊙O 于点 E. (1)求证: = ;

(2)若 ED、EA 的长是一元二次方程 x2﹣5x+5=0 的两根,求 BE 的长; (3)若 MA=6 ,sin∠AMF= ,求 AB 的长.

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【分析】 (1)连接 OA、OE 交 BC 于 T.想办法证明 OE⊥BC 即可; (2)由 ED、EA 的长是一元二次方程 x2﹣5x+5=0 的两根,可得 ED?EA=5,由△ BED∽△AEB,可得 = ,推出 BE2=DE?EA=5,即可解决问题;

(3)作 AH⊥OM 于 H.求出 AH、BH 即可解决问题; 【解答】 (1)证明:连接 OA、OE 交 BC 于 T. ∵AM 是切线, ∴∠OAM=90°, ∴∠PAD+∠OAE=90°, ∵PA=PD, ∴∠PAD=∠PDA=∠EDT, ∵OA=OE, ∴∠OAE=∠OEA, ∴∠EDT+∠OEA=90°, ∴∠DTE=90°, ∴OE⊥BC, ∴ = .

(2)∵ED、EA 的长是一元二次方程 x2﹣5x+5=0 的两根, ∴ED?EA=5, ∵ = ,

∴∠BAE=∠EBD,∵∠BED=∠AEB, ∴△BED∽△AEB, ∴ = ,

∴BE2=DE?EA=5, ∴BE= .

(3)作 AH⊥OM 于 H. 在 Rt△AMO 中,∵AM=6 ,sin∠M= = ,设 OA=m,OM=3m,

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∴9m2﹣m2=72, ∴m=3, ∴OA=3,OM=9, 易知∠OAH=∠M, ∴tan∠OAD= ∴OH=1,AH=2 ∴AB= = , .BH=2, = =2 .

【点评】本题考查切线的性质、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定和 性质、锐角三角函数等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,灵活运用所学 知识解决问题,属于中考压轴题.

23. (10 分) (2017?鄂州) 鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是 50 元/个, 根据市场调研发现售价是 80 元/个时,每周可卖出 160 个,若销售单价每个降低 2 元,则每周可多卖出 20 个.设销售价格每个降低 x 元(x 为偶数) ,每周销售 为 y 个. (1)直接写出销售量 y 个与降价 x 元之间的函数关系式; (2)设商户每周获得的利润为 W 元,当销售单价定为多少元时,每周销售利润 最大,最大利润是多少元? (3) 若商户计划下周利润不低于 5200 元的情况下, 他至少要准备多少元进货成 本? 【分析】 (1)根据题意,由售价是 80 元/个时,每周可卖出 160 个,若销售单价 每个降低 2 元,则每周可多卖出 20 个,可得销售量 y 个与降价 x 元之间的函数 关系式;
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(2)根据题意结合每周获得的利润 W=销量×每个的利润,进而利用二次函数 增减性求出答案; (3)根据题意,由利润不低于 5200 元列出不等式,进一步得到销售量的取值范 围,从而求出答案. 【解答】解: (1)依题意有:y=10x+160; (2)依题意有: W=(80﹣50﹣x) (10x+160)=﹣10(x﹣7)2+5290, 因为 x 为偶数, 所以当销售单价定为 80﹣6=74 元或 80﹣8=72 时, 每周销售利润最大, 最大利润 是 5280 元; (3)依题意有: ﹣10(x﹣7)2+5290≥5200, 解得 4≤x≤10, 则 200≤y≤260, 200×50=10000(元) . 答:他至少要准备 10000 元进货成本. 【点评】 此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用等知识,正确 利用销量×每个的利润=W 得出函数关系式是解题关键.

24. (12 分) (2017?鄂州)已知,抛物线 y=ax2+bx+3(a<0)与 x 轴交于 A(3, 0) 、B 两点,与 y 轴交于点 C,抛物线的对称轴是直线 x=1,D 为抛物线的顶点, 点 E 在 y 轴 C 点的上方,且 CE= . (1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标; (2)求证:直线 DE 是△ACD 外接圆的切线; (3)在直线 AC 上方的抛物线上找一点 P,使 S△ACP= S△ACD,求点 P 的坐标; (4)在坐标轴上找一点 M,使以点 B、C、M 为顶点的三角形与△ACD 相似,直 接写出点 M 的坐标.

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【分析】 (1)由对称轴求出 B 的坐标,由待定系数法求出抛物线解析式,即可得 出顶点 D 的坐标; (2)由勾股定理和勾股定理的逆定理证出△ACD 为直角三角形,∠ACD=90°.得 出 AD 为△ACD 外接圆的直径,再证明△AED 为直角三角形,∠ADE=90°.得出 AD⊥DE,即可得出结论; (3)求出直线 AC 的解析式,再求出线段 AD 的中点 N 的坐标,过点 N 作 NP∥ AC,交抛物线于点 P,求出直线 NP 的解析式,与抛物线联立,即可得出答案; (4)由相似三角形的性质和直角三角形的性质即可得出答案. 【解答】解: (1)∵抛物线的对称轴是直线 x=1,点 A(3,0) , ∴根据抛物线的对称性知点 B 的坐标为(﹣1,0) ,OA=3, 将 A(3,0) ,B(﹣1,0)代入抛物线解析式中得: 解得: , ,

∴抛物线解析式为 y=﹣x2+2x+3; 当 x=1 时,y=4, ∴顶点 D(1,4) . (2)当=0 时, ∴点 C 的坐标为(0,3) , ∴AC= =3 ,CD= = ,AD= =2 ,

∴AC2+CD2=AD2, ∴△ACD 为直角三角形,∠ACD=90°. ∴AD 为△ACD 外接圆的直径, ∵点 E 在 轴 C 点的上方,且 CE= .
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∴E(0, ) ∴AE= ∴DE2+AD2=AE2, ∴△AED 为直角三角形,∠ADE=90°. ∴AD⊥DE, 又∵AD 为△ACD 外接圆的直径, ∴DE 是△ACD 外接圆的切线; (3)设直线 AC 的解析式为 y=kx+b, 根据题意得: 解得: , = DE= = ,

,∴直线 AC 的解析式为 y=﹣x+3,

∵A(3,0) ,D(1,4) , ∴线段 AD 的中点 N 的坐标为(2,2) , 过点 N 作 NP∥AC,交抛物线于点 P, 设直线 NP 的解析式为 y=﹣x+c, 则﹣2+c=2,解得:c=4, ∴直线 NP 的解析式为 y=﹣x+4, 由 y=﹣x+4,y=﹣x2+2x+3 联立得:﹣x2+2x+3=﹣x+4, 解得:x= ∴y= ∴P( 或 x= ,或 y= , )或( , ) ; ,

(4)分三种情况:①M 恰好为原点,满足△CMB∽△ACD,M(0,0) ; ②M 在 x 轴正半轴上,△MCB∽△ACD,此时 M(9,0) ; ③M 在 y 轴负半轴上,△CBM∽△ACD,此时 M(0,﹣ ) ; 综上所述,点 M 的坐标为(0,0)或(9,0)或(0,﹣ ) .

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【点评】 本题是二次函数综合题目,考查了待定系数法求二次函数和一次函数的 解析式、 勾股定理、 勾股定理的逆定理、 切线的判定、 相似三角形的性质等知识; 本题综合性强,有一定难度.

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