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2.2.2向量减法运算及其几何意义(高中数学人教A版必修四)


§2.2.2向量减法运算及其几何意义

一.复习回顾
(1)向量加法的三角形法则

A
a a a a a a a a a a b b b b b

B

a+b

b

b

b

b O

注:各向量“首尾相连”,和向量由第一个向 量的起点指向最后一个向量的终点.

(2)向量加法的平行四边形法则
a a a a a a a a a a

D
a+b

b a

C

b

b

b

b

A

B
b

注:起点相同.共线向量不适用 加与减是对立统一的两个方面,既然向量 可以相加,那自然也可以相减.那么,两个向 量如何进行减法运算?

探 究
我们知道,减去一个数等于加上这个数的相反 数,如:5-1=5+(-1) 向量的减法是否也有类似的法则:

减去一个向量等于加上这个向量的相反向量?

? ? 设向量 a ,我们把与 a 长度相同,方向相反 1.相反向量: ? ? 记作:? a 的向量叫做 a 的相反向量。 ?

二.新课学习
a ? ?a

? ? 规定: 0 的相反向量仍是 0 。

? ? (1) ?(?a) ? a ? ? ? ? ? ? (2) a ? (?a) ? 0 (?a) ? a ? 0 ? ? (3)设 a , b 互为相反向量,那么 ? ? ? ? ? ? ? a ? ?b, b ? ?a, a ? b ? 0

2.向量的减法:
定义:求两个向量差的运算叫向量的减法。 ? ? ? ? 表示: a ? b ? a ? (?b),

即:减去一个向量相当于加上这个向量的相反 向量。 把 a ? b 也叫做 也是一个向量。

a与 b

的差。 a 与

b 的差

? ? 你能利用我们学过的向量的加法法则作出 a ? (?b) 吗?


??? ? ???? ? ? AB ? b, AC ? a ? ? ??? ? ? ? AE ? a???? ?b) ? a ? b ?( ? ? 又 b ? BC ? a ??? ? ? ? 所以 BC ? a ? b

B

? b

? ? a ?b ?
a A ? ?b

? ? a ?b
D

C E

不借助向量的加法法则你能直接作出

? ? a ? b 吗?

一般地

? a

? b
B

? b

O

? a
? ? a ?b

3.向量减法的几何意义: ? ? ?

? a ? b 可以表示为从向量 b的终点指向向量 a 的终点的向量
? ? a 的终点指向 b 终点作向量,所得向量是什么呢?
? ? b?a

( 三 A 角 形 法 则 )

注意:(1)起点必须相同。(2)指向被减向量的终点。 思考?若从

? ? ? ? 思考:若向量a、 共线,则应怎样作出 a ? b 呢? b ? ? a a
b
(1)
O A B B

b
(2)

?? ? ? ? ? 若a,方向相反,a ? b |?| a | ? | b | b | ?? ? ? ? ? ? ? 若a,方向相同,a ? b |?| a | ? | b (或 | b | ? | a |) b | | ?? ? ? ? ? 若a b不共线,则 | a ? b |?| a | ? | b | ,

? ? a ?b

? ? a ?b

O

A

?? ? ? ? ? ? ? 任意向量a, b,有|| a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | ?? ? ? ? ? ? ? 任意向量a, b,有|| a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b |

?? 任意向量a, b, ? ? ? ? ? ? 有|| a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b |

典例精析

例1.已知向量 a, b, c, d , 求作向量B a ? b, c ? d .
A D

C

b a
作法 :

d

c a

b
O?

d

c

1.在平面上任取点O , 作OA ? a , OB ? b, OC ? c , OD ? d . 2.作 BA, DC , 则BA ? a ? b, DC ? c ? d为所求.

典例精析
例2:如图,平行四边形ABCD,AB=a,AD=b, 用a、b表示向量AC、DB。
D b a B

C
解:由向量加法的平行四边形法则, ??? ? ? ? 得

A

AC ? a ? b;

由向量的减法可得,

??? ??? ???? ? ? ? ? DB ? AB ? AD ? a ? b.

典例精析 例3:选择题
??? ??? ???? ? ? (1) ? BC ? AD ? ?D? AB ???? ??? ? ??? ? ( A) AD ( B)CD (C ) DB ???? ( D) DC

??? ???? ??? ? ? (2) ? AC ? DB ? ?C? AB ???? ???? ??? ? ( A) AD ( B) AC (C )CD

???? ( D) DC

课堂练习
1.如图,已知 , b, 求作a ? b. a
(1) (2)

a
b

a a
b
(4)

b

(3)

a
b

课堂练习

2.(1)化简 AB ? AC ? BD ? CD
解 : 原式 ? CB ? BD ? CD ? CD ? CD ? 0

(2)化简OA ? OC ? BO ? CO
解 : 原式 ? (OA ? BO) ? (OC ? CO ) ? (OA ? OB) ? 0 ? BA

??? ? ???? ? ? o 练习、如图,已知向量 AB ? a , AD ? b,?DAB ? 120 , ? ? ? ? ? ? 且 | a |?| b |? 3,求 | a ? b | 和 | a ? b |
C
O

D

? 120o b
A

`

? a

B

解:以AB 、AD 为邻边作平行四边形 ABCD , 由于 | AD |?| AB |? 3,故此四边形为菱形 由向量的加减法知 ? ? ? ? AC ? a ? b, ? a ? b DB ? ? ? ? 故 | AC |?| a ? b | ,DB |?| a ? b | |
因为?DAB ? 120 O ,所以?DAC ? 60 O 所以?ADC 是正三角形,则 | AC |? 3
C
O

D

? b

120o A

`

? a

B

由于菱形对角线互相垂直平分,所以?AOD是直角三角形, ???? ???? 3 3 3 o | OD |?| AD | sin 60 ? 3 ? ? 2 ? ? 2 ? ? return 所以 | a ? b |? 3,a ? b |? 3 3 |


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