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1[1].2.1排列(2)


1.2.1

排列(2)

复习巩固
从n个不同元素中,任取m( m ? n )个元素(m个元素不可重复 取)按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个排列.

1、排列的定义:

2.排列数的定义:
从n个不同元素中,任取m( m ? n )个元素的所有排列的个数 m 叫做从n个元素中取出m个元素的排列数 An

3.有关公式:

?1?.阶乘:n! 1? 2 ? 3 ? ? ? ? ?(n ? 1)? n ?
(2)排列数公式:
m n

n! A ? n ?(n ? 1)? ? ?(n ? m ? 1) ? (m、n? N*, ? n) m (n ? m)!

A ? n!
n n

例1、某年全国足球甲级A组联赛共有14个队参加, 每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次, 共进行多少场比赛?
解:14个队中任意两队进行1次主场比赛与1次 客场比赛,对应于从14个元素中任取2个元素的 一个排列,因此,比赛的总场次是
2 A14 ? 14 ?13 ? 182

例 2(1)从5本不同的书中选3本送给3名同学,每人各1 本,共有多少种不同的送法?

“从5个不同元素中选出3并按顺序排列”

A = 5×4×3= 60
5

3

(2)从5种不同的书中买3本送给3名同学,每人各1本, 共有多少种不同的送法?

5×5×5= 125
被选元素可重复选取,不是排列问题!

【例3】用0到9这10个数字可以组成多少个没有 重复数字的三位数?

特殊位置“百位”,特殊元素“0”

法1: 法2:

A ?A
1 9
3 9

2

9

? 9 ? 9 ? 8 ? 648
2

百 位

十 位

个 位

A ?2A

9

? 648
百位 十位 个位 百位 十位 个位

百位 十位 个位

0
A
3 9

0
A
2 9

A

2

9

【例3】用0到9这10个数字可以组成多少个没有 重复数字的三位数?

特殊位置“百位”,特殊元素“0”

法3:A10 ? A9 ? 10 ? 9 ? 8 ? 9 ? 8 ? 648
3 2

对于有限制条件的排列问题,必须遵循“特殊元 素优先考虑,特殊位置优先安排”,并注意“合理分 类,准确分步”,做到“不重不漏,步骤完整” ,适 当考虑“正难则反” 。

有约束条件的排列问题
变式:由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位 数,其中小于50000的偶数共有多少个? 万位 千位 百位 十位 个位

A A 解法一:(正向思考法)个位上的数字排列数
3 3

1 A3

1 2

1 有A2种(从2、 4中选);万位上的数字排列数有 1 A3种(5不能选),十位、百位、千位上的排列数 3 1 1 3 有A3 种,故符合题意的偶数有A2 A3 A3 个。

有约束条件的排列问题
变式:由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位 数,其中小于50000的偶数共有多少个? 万位 千位 百位 十位 个位

解法二:(逆向思维法)由1、、 4、组成无重复 2 3、 5
5 1 4 数字的5位数有A5 个,减去其中奇数的个数A3 A4 个,再 1 3 减去偶数中大于50000的数A2 A3 个,符合题意的偶数 5 1 4 1 3 共有:A5 ? A3 A4 ? A2 A3 ? 36个

例6 ⑴7位同学站成一排,共有多少种不同的排法? A77=5040. 解:问题可以看作:7个元素的全排列 ⑵ 7位同学站成一排,其中甲站在中间的位置, 共有多少种不同的排法? 解:问题可以看作:余下的6个元素的全排列 A66=720. ⑶ 7位同学站成一排,其中甲不站在首位,共有多 少种不同的排法? 解一:甲站其余六个位置之一有A61种, 其余6人全排列有A66 种, 共有A61 A66 =4320.
解二:从其他6人中先选出一人站首位,有 A61

剩下6人(含甲)全排列,有A66 ,共有A61 A66 =4320.
解三:7人全排列有 A77 ,甲在首位的有 A66 所以共有 A77- A66=7 A66- A66=4320.

例6 (4)7位同学站成一排.甲、乙只能站在两端的 排法共有多少种? 解:根据分步计数原理:第一步 甲,乙站在两端有 A22种. 第二步 余下的5名同学进行全排列有 A55种 ① 甲 则共有A22 A55 =240种排列方法 ② ⑤ ③ ④ ⑥ d e a b c ⑦ 乙

A22
① 乙 ② c ③ a ④ e ⑤ b ⑥ d ⑦



例6 (5)7位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和 排尾的排法共有多少种? 解:第一步 从(除去甲、乙)其余的5位同学中选 A52种方法 2位同学站在排头和排尾有 第二步 从余下的5位同学中选5位进行排列(全排列)有 A55种方法 所以一共有A52 A55 =2400种排列方法.

例6 (6)若甲不在排头,乙不在排尾,有多少种不同的排法? 解法一(直接法): 以甲作为分类标准,分为两类: 第一类:先安排甲在中间,
1 5 1 5 5 5

再安排乙,有

A ? A ? A ? 3000
第二类:先安排甲在排尾,
6 6

再安排其他人,有

A ? 720
共有:3720种方法

例6 (6)若甲不在排头,乙不在排尾,有多少种不同的排法?
解法二(间接法):所有排法中除去不符合的.
7 所有排法: A7

甲在排头: A

6 6

乙在排尾: A

6 6

甲在排头、乙在排尾:

A

5 5

7 6 5 共有: A7 ? 2 A6 ? A5 ? 3720种方法

(7)7位同学站成两排(前3后4),共有多少种不同的排法? 解:根据分步计数原理:7×6×5×4×3×2×1=7!=5040.

有限制条件的排列问题 2 相邻问题

捆绑法

例6 (8)甲、乙两同学相邻的排法共有多少种? 解:甲、乙合在一起有A22种排法, 与另五个同学全排列有A66种排法,共有N= A22 · 66=720 A 3 不相邻问题 (9)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种?
7 6 2 (9)解法一:间接法 A7 ? A6 ? A2 ? 3600

解法二:先将其余五个同学排好有:

5 A5 种方法,

此时他们留下六个“空位”,
2 6

插空法

再将甲、乙同学分别插入这六个“空位” A 种方法, 有: 所以一共有 5 2 种方法.

A5 A6 ? 3600

(10)甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种? A44· 53=1440 A (11)甲、乙、丙按指定顺序排列。 其余四人在7个位置中选4个,有: A74方法, 甲、乙和丙三个同学在其余3个位置中,只有一种方法 共有N= A74· 1=840种站法.

练习2 某人射击8枪,命中4枪,4枪命种恰好3枪 连在一起的不同种数有多少? 解:连续命中的3枪和命中的另一枪被未命中的4 枪所隔开 ,如图?表示没有命中, _?_?_?_?_
命中的三枪看作一个元素和另外命中的一枪共两 个元素插到五个空档中有A52=5· 4=20种排法

练习3 一排8个座位,3人去坐,每人两边至少有 一个空座的坐法有多少种 A63 ?
练习4 一排长椅上共有10个座位,现有4人就座, 恰有五个连续空位的坐法种数为 。(用数 480 字作答)

练习5 同室4名学生各写一张贺卡,放在一起,然 后各人从中各拿一张,但均不能拿自己写的那张,共 有多少种拿法? 解:第一步 第二步

第一个同学从中拿一张贺 卡,满足要求的拿法有3种
考虑被第一个同学拿走贺 卡的那个同学也有3种拿法,

第三步、第四步各有一种拿法, 由乘法原理共有3· 1· 3· 1=9

练习6 三名女生和五名男生排成一排, ⑴如果女生全排在一起,有 A 6 A 3 =4320 6 3 多少种不同排法? ⑵如果女生全分开,有多少 种不同排法? ⑶如果两端都不能排女生, 有多少种不同排法?

A55A63=14400
A52A66=14400

⑷如果两端不能都排女生, 有多少种不同排法? A52A66+2A31A51A66=36000 或A88- A32 A66=36000

小结: 1.对有约束条件的排列问题,应注意如下类型: ⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置; ⑵某些元素要求连排(即必须相邻); ⑶某些元素要求分离(即不能相邻); 2.基本的解题方法:

⑴ 有特殊元素或特殊位置的排列问题,通常是先 排特殊元素或特殊位置,称为优先处理特殊元素(位置 )法“优限法”; ⑵ 某些元素要求必须相邻时,可以先将这些元素看 作一个元素,与其他元素排列后,再考虑相邻元素的内 部排列,这种方法称为“捆绑法”; ⑶某些元素不相邻排列时,可以先排其他元素,再 将这些不相邻元素插入空挡,这种方法称为“插空法”

练习7 有8运动员在比赛后排成一排照像留念, ⑴若甲乙两人之间必须间隔一人,有多少种不同排法? ⑵若甲乙两人之间至少间隔两人,有多少种不同排法?

例7 某天课表共六节课,要排政治、语文、数学、 物理、化学、体育共六门课程,如果第一节不排体育, 对特殊元素:数学和体育进行分类解决. 最后一节不排数学,共有多少种不同的排课方法? 2 第一类 数学、体育均不排在第一节和第六节,有 A4 种, 4 2 4 共有 A4 ? A4 种; 其他有 A4 种, 第二类 数学排在第一节、体育排在第六节有 一 种,

其他有 A 种,
其他有

4 4

共有

A 种;

第三类 数学排在第一节、体育不在第六节有 A

4 4

A
4 4

1 第四类 数学不排在第一节、体育排在第六节有 种, 4

4 4 种,

1 4 A4 ? A4 种; 共有

1 种, 4

A

A 种, 其他有 2 1 4 4 A4 ? 2 A4 ? 1 A4 ? 21A4 ? 504 种 所以符合条件的排法共有

?

1 4 共有 A4 ? A4 种;

?

解法二:对特殊位置:第一节和第六节进行分类解决. 例7 某天课表共六节课,要排政治、语文、数学、 物理、化学、体育共六门课程,如果第一节不排体育, 最后一节不排数学,共有多少种不同的排课方法? 2 第一类 第一节和第六节均不排数学、体育,有 A4 种 4 2 4 共有 A4 ? A4 种; 其他有 A4 种, 第二类 第一节排数学、第六节排体育有 一 种,

其他有 A 种,

第四类 第一节不排数学、第六节排体育有 A1 种,
2 1 4 4 A4 ? 2 A4 ? 1? A4 ? 21A4 ? 504 种 所以符合条件的排法共有?

1 第三类 第一节排数学、第六节不排体育有 4 种, 4 1 4 其他有 4 种, 共有 A4 ? A4 种;

4 4

共有

A 种;

4 4

A

A
4 4

其他有 A 种,

1 4 共有 A4 ? A4 种;

4

例7 某天课表共六节课,要排政治、语文、数学、 物理、化学、体育共六门课程,如果第一节不排体育, 最后一节不排数学,共有多少种不同的排课方法? 解法3:本题也可采用间接排除法解决 不考虑任何限制条件共有 A 不符合题目要求的排法有: (1)数学排在第六节有 A5 种;
5
6 种排法, 6

(2)体育排在第一节有 A

5 种; 5

考虑到这两种情况均包含了数学排在第六节和体育 排在第一节的情况 A4 种
4
6 所以符合条件的排法共有A6

? 2 A ? A ? 504 种。
5 5 4 4

例8 某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学 参赛,其中一班有3位,二班有2位,其它班有5位,若 采用抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班有3位同 学恰好被排在一起(指演讲序号相连),而二班的2位 同学没有被排在一起的概率为多少? 解:符合要求的基本事件(排法)共有: 第一步:将一班的3位同学“捆绑”成一个大元素; 第二步:这个大元素与其它班5位同学共6个元素的全排列 第三步:这个大元素与其它班的5位同学共6个元素的全排 列排好后产生的7个空挡中排列二班的2位同学;
第四步:“释放”一班的3位同学“捆绑”成的大元素,
10 所以共有 A ? A ? A 个; 而基本事件总数为 A10 个;
6 3 A6 ? A72 ? A3 1 ? 所以符合条件的概率为 P ? 10 A10 20

6 6

2 7

3 3

例9 在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重 复数字的四位数中,不能被5整除的数共有 个. 解:本题在解答时只须考虑个位和千位这两个特殊 位置的限制; 个位为1、2、3、4中的某一个有4种方法; 千位在余下的4个非0数中选择也有4 种方法,
2 A4 种. 十位和百位方法数为
2 故方法总数为 4 ? 4 ? A4 ? 192 种

例10 用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数 字的八位数,要求1和2相邻,3与4相邻,5与6相邻,而 7与8不相邻,这样的八位数共有 个.(用数字作答) 解: 第一步: 将1和2“捆绑”成一个大元素,3和4“捆绑”成 一 个大元素,5和6“捆绑”成一个大元素; 第二步: 排列这三个大元素; 第三步: 在这三个大元素排好后产生的4个空挡中的任 何2个排列7和8,
第四步: “释放”每个大元素(即大元素内的每个小元素 在“捆绑”成的大元素内部排列);

所以共有 A ? A ? 2 ? 2 ? 2 ? 576 个数
3 3 2 4

排列的特征: 一个是“取出元素”;
二是“按照一定顺序排列”; “一定顺序”就是与位置有关; 这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。 根据排列的定义,两个排列相同,且仅当两个排列 的元素完全相同,而且元素的排列顺序也相同. 了解排列数的意义,掌握排列数公式及推导方法, 从中体会“化归”的数学思想,并能运用排列数公式进 行计算。

有约束条件的排列问题
例4:有4个男生和3个女生排成一排,按下列要求各 有多少种不同排法:

(1)男甲排在正中间;
(2)男甲不在排头,女乙不在排尾;

(3)三个女生排在一起; 对于相邻问题,常用“捆绑法” (5)全体站成一排,甲、乙、丙三人自左向右顺序 不变; (6)若甲必须在乙的右边(可以相邻,也可以不相 邻),有多少种站法?

(4)三个女生两两都不相邻;对于不相邻问题,常用 “插空法

方法总结
1.对有约束条件的排列问题,应注意如下类型: ⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置;⑵某些元素要求连 排(即必须相邻);⑶某些元素要求分离(即不能相邻); 2.基本的解题方法: (1)有特殊元素或特殊位置的排列问题,通常是先排特殊元 素或特殊位置,称为优先处理特殊元素(位置)法(优先法); 特殊元素,特殊位置优先安排策略 (2)某些元素要求必须相邻时,可以先将这些元素看作一个元 素,与其他元素排列后,再考虑相邻元素的内部排列,这种方法 称为“捆绑法”;相邻问题捆绑处理的策略 (3)某些元素不相邻排列时,可以先排其他元素,再将这些 不相邻元素插入空挡,这种方法称为“插空法”;不相邻问题 插空处理的策略

课堂练习
3 2 1.计算:(1) 5 A5 ? 4 A4 ? 348
3 2 5 A5 ? 4 A4 ? 5 ? 5 ? 4 ? 3 ? 4 ? 4 ? 3 ? 348
1 2 3 4 A4 ? A4 ? A4 ? A4 ? 4 ? 4 ? 3 ? 4 ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 64

1 2 3 4 (2) A4 ? A4 ? A4 ? A4 ? 64

2.从4种蔬菜品种中选出3种,分别种植在不同土质的3块土地 上进行试验,有 24 种不同的种植方法?
3 A4 ? 4 ? 3 ? 2 ? 24

3.从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛, 并排定他们的出场顺序,有 60 种不同的方法?
3 A5 ? 5 ? 4 ? 3 ? 60

4.信号兵用3种不同颜色的旗子各一面,每次打出3面,最多能 打出不同的信号有( C ) A.  1种 B.3 种 C.6种 D.27种
3 A3 ? 3 ? 2 ?1 ? 6


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