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广东省汕头市高中数学第一章解三角形112余弦定理教学设计新人教A版必修5(数学教案)

1.1 教材:高中《数学》必修五(人教版) 余弦定理 余弦定理是普通高中课程标准教科书 A 版必修五第一章第二节的内容。余弦定 理揭示了任意三角形边角之间的客观规律,是解三角形的重要工具。余弦定理是初 教材分析 中学习的勾股定理的拓广,也是前阶段学习的三角函数知识与平面向量知识在三角 形中的交汇应用。它在实际生活中的应用也十分广泛,许多工程问题都要靠它才能 解决。 1.掌握余弦定理及其推导过程。 知识技能 2.会利用余弦定理求解简单的三角形边角问题。 1.通过用向量的方法证明余弦定理,体现向量的工具性,加深对 过程和方 教学目标 法 2.通过启发、诱导学生发现和证明余弦定理的过程,培养学生观 察与分析、归纳与猜想、抽象与概括等逻辑思维能力。 情感,态度 与价值观 教学重点 教学难点 通过三角函数、余弦定理、向量数量积等知识间的联系来体现事 物之间的普遍联系与辩证统一。 向量知识应用的认识。 余弦定理的证明及应用。 用向量知识证明余弦定理时的思路分析与探索。 本节课之前,学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容, 学情分析 对于三角形中的边角关系有了进一步的认识。在此基础上利用向量方法探求余弦定 理,学生已有一定的学习基础和学习兴趣。 教 学 过 程 学生行为 设计意图 温习用正弦 学生集体回 顾 旧知识,并 做 “每日一题” 。 定理解题的 方法。 “每日 一题”为新 1 流 教师活动 程 课 堂 复 习 §老师:我们之前已经学习过正弦定理,那现在来回顾一 下正弦定理的一些式子。 与 引 入 a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C a?b a?c b?c (1) ? ? ? sin A ? sin B sin A ? sin C sin B ? sin C a?b?c ? sin A ? sin B ? sin C (2) a : b : c ? sin A : sin B : sin C §复习之后,教师跟学生讲解今天的“每日一题” : 在△ABC 中,已知 a ? 8, B ? 60?, C ? 75? ,解三角形。 课的引入作 铺垫。 流 教师活动 程 新 课 讲 解 §老师先不解题,与 学生一起分析思路。 分析: 1.两边及夹角确定了,这个三角形就已经确定下来,要解 三角形,先求角还是先求边? 2.由以往的知识,c 边无法求出,但如果可以知道 A 角或 B 角,则可以解题。即从角度入手。 3.? C ? 75?,? A ? B ? 105?,? B ? 105? ? A. §老师:如果我把“每日一题”中的条件和结论换一下, 变成“在△ABC 中,已知 a ? 8, b ? 4 6 , C ? 75? ,解三 角形。 ”那用我们学过的知识,能不能解答。 学生集体思考 从条件的变 换,引导学 生思考旧知 识能否解新 题。 学生行为 设计意图 根据正弦定理, a b 8 4 6 ? ,? ? sin A sin B sin A sin(105? ? A) 2 2 学生与教师 一 起分析 通过旧知识 分析新题, 引导学生发 现旧知识的 限制性,对 迫切寻找新 4. 要 算 sin 105?, cos105?, 再 利用 sin A ? cos A ? 1 解 题,非常麻烦! §既然从角度入手非常麻烦,那我们可以考虑先求出第三 边。 §探究:已知三角形的两边及其夹角求另一边长。 2 1. §老师:知道 a,b 和夹角 C,可以想到什么? (向量 a, b, C ?? a, b ? ) 知识起促进 作用。 B a C b A 2. §老师:要把 a, b, c 联系起来,就要找到他们的关系。 (发现 c ? a ? b ) B a c C b A 3. 边长就是向量的模,要把模跟向量联系起来,就要把 式子两边平方。即: c ? (a ? b) 2 ? a ? b ? 2a ? b ,所以, 2 2 2 学生通过图 形,回答老 师 提出的问题。 | c |2 ?| a ? b |2 ?| a |2 ? | b | ?2 | a | ? | b | cosC ,即 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC 4. 因此,我们可以得到这节课要学的余弦定理。 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B §老师:利用余弦定理,我们就可以从已知的两边和夹角 求出第三边。另外,也可以从已知三边求出角。即可以得 出余弦定理的推论。 不直接说明 余弦定理。 通过图形和 引导性问题 使学生发现 所求和已知 的关系。利 3 cosC ? a2 ? b2 ? c2 b2 ? c2 ? a2 , cos A ? , 2ab 2bc a2 ? c2 ? b2 2ac 用向量把所 学生从图形 中 找关系。 求和已知求 出。引导学 生发现余弦 定理。 cos B ? 学生从一条 公 式自己推出 其 余两 条。 学生动手自 己 写出余弦定 理 的推论。 流 教师活动 程 §学生自主阅读课本例 3 和例 4. 学生自己阅读 学生自己阅 读例题,培 §教师讲解学生阅读后出现的疑问。 养其自主学 习的能力。 课 堂 演 练 §老师讲解。 解:由余弦定理得: §学生做练习 1: 在△ABC 中, a ? 2 3, b ? 2 2, c ? 解三角形。 6? 2, 学生动手解题 学生行为 设计意图 cos A ? ? b 2 ? c 2 ? a 2 (2 2 ) 2 ? ( 6 ? 2 ) 2 ? (2 3 ) 2 ? 2bc 2 ? 2 2 ? ( 6 ? 2) 学生根据例 1  , 2 4 a 2 ? c 2 ? b 2 (2 3 ) 2 ? ( 6 ? 2 ) 2 ? (2 2

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