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高考数学第一轮复习:立体几何中的向量方法(Ⅰ)----证明平行与垂直

8.7 立体几何中的向量方法(Ⅰ)----证明平行与垂直 一、选择题 1.若直线 l1,l2 的方向向量分别为 a=(2,4,-4),b=(-6,9,6),则( A.l1∥l2 C.l1 与 l2 相交但不垂直 答案 B 2.直线 l1,l2 相互垂直,则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是( A.s1=(1,1,2),s2=(2,-1,0) B.s1=(0,1,-1),s2=(2,0,0) C.s1=(1,1,1),s2=(2,2,-2) D.s1=(1,-1,1),s2=(-2,2,-2) 解析 两直线垂直,其方向向量垂直,只有选项 B 中的两个向量垂直. 答案 B 3 5? 15? ? ? 3.已知 a=?1,- , ?,b=?-3,λ ,- ?满足 a∥b,则 λ 等于( 2 2? 2? ? ? 2 A. 3 - 3 2 B. 9 2 C.- 9 2 D.- 2 3 ). ) B.l1⊥l2 D.以上均不正确 ). 5 2 1 9 解析 由 = = ,可知 λ = . -3 λ 15 2 - 2 答案 B 4.若直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,能使 l∥α 的是 ( A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0) B.a=(1,3,5),n=(1,0,1) C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1) 解析 若 l∥α ,则 a·n=0. 而 A 中 a·n=-2, B 中 a·n=1+5=6, C 中 a·n=-1,只有 D 选项中 a·n=-3+3=0. 答案 D 5.若平面 α ,β 平行,则下面可以是这两个平面的法向量的是( ) ). A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1) B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1) C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1) D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2) 解析 两个平面平行时其法向量也平行,检验知正确选项为 D. 答案 D 6.已知 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ ),若 a,b,c 三向量 共面,则实数 λ 等于( 62 A. 7 B. 63 7 ). C. 60 7 D. 65 7 解析 由题意得 c=ta+μ b =(2t-μ ,-t+4μ ,3t-2μ ), ?7=2t-μ ∴?5=-t+4μ ?λ =3t-2μ 答案 D , ?t= 7 ? 17 ∴?μ = 7 ?λ =65 ? 7 33 . 7.已知平面 α 内有一个点 A(2,-1,2),α 的一个法向量为 n=(3,1,2),则 下列点 P 中,在平面 α 内的是( A.(1,-1,1) 3? ? C.?1,-3, ? 2? ? ) 3? ? B.?1,3, ? 2? ? 3? ? D.?-1,3,- ? 2? ? 解析 对于选项 A, PA =(1,0,1),则 PA ·n=(1,0,1)·(3,1,2)=5≠0,故排 1? 1? ? ? 除 A;对于选项 B, PA =?1,-4, ?,则 PA ·n=?1,-4, ?·(3,1,2)=0, 2? 2? ? ? 验证可知 C、D 均不满足 PA ·n=0. 答案 B 二、填空题 8.两不重合直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),则 l1 与 l2 的位置关系是_______. 解析 ∵v2=-2v1,∴v1∥v2. 答案 平行 9.平面 α 的一个法向量 n=(0,1,-1),如果直线 l⊥平面 α ,则直线 l 的单 位方向向量是 s=________. 解析 直线 l 的方向向量平行于平面 α 的法向量,故直线 l 的单位方向向量是 ? 2 2? s=±?0, ,- ?. 2 2? ? ? 2 2? 答案 ±?0, ,- ? 2 2? ? → =0 的_______. → → ? ?AP·AB=0 由? → → ? ?AP·AC=0 → → → → → → → → 10.已知点 A,B,C∈平面 α ,点 P?α ,则AP·AB=0,且AP·AC=0 是AP·BC 解析 ,得AP·(AB-AC)=0, → → → → 即AP·CB=0,亦即AP·BC=0, → → 反之,若AP·BC=0, → → → → → → → 则AP·(AC-AB)=0?AP·AB=AP·AC,未必等于 0. 答案 充分不必要条件 → → 11.已知AB=(2,2,1),AC=(4,5,3),则平面 ABC 的单位法向量是________. 解析 设平面 ABC 的法向量 n=(x,y,z). → ? ?AB·n=0, 则? → ? ?AC·n=0, ?2x+2y+z=0, 即? ?4x+5y+3z=0. ?x=1 , 令 z=1,得? 2 ?y=-1, ?1 ? ∴n=? ,-1,1?, ?2 ? 2 2? n ?1 =±? ,- , ?. 3 3? |n| ?3 ∴平面 ABC 的单位法向量为± 2 2? ?1 答案 ±? ,- , ? 3 3 3? ? 12.已知→ AB=(1,5,-2),→ BC=(3,1,z),若→ AB⊥→ BC,→ BP=(x-1,y,-3),且 BP⊥平面 ABC,则实数 x,y,z 分别为________. 解析 由题知:→ BP⊥→ AB,→ BP⊥→ BC. ? 所以?→ BP·→ AB=0, ?→ BP·→ BC=0, → AB·→ BC=0, 解得 x= 答案 40 15 ,- ,4 7 7 ?1×3+5×1+ - 即?x-1+5y+ - ? - +y-3z=0. =0, - =0, 40 15 ,y=- ,z=4. 7 7 三、解答题 13.已知:a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求: a,b,c. 解析 因为 a∥b,

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