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高三数学专题复习-三角函数(2)解斜三角形(正余弦定理应用)

三角函数专题二 第 1 页 三角函数(2)解斜三角形(正余弦定理应用) 1.正弦定理: a b c = = =2R.(关键点“比”,用法:边角转化) sin A sin B sin C 利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题. (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角.(从而进一步求出其他的边和角) 2.余弦定理: a2=b2+c2-2bccosA; cosB= c2 ? a2 ? b2 ; 2ca 在余弦定理中,令 C=90° ,这时 cosC=0,所以 c2=a2+b2. 利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角. 可能出现一解、 两解或无解的情况, 这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来理解”. 题型一、判断三角形的形状: 1.在△ABC 中, 若 2cosBsinA=sinC, 则△ABC 的形状一定是 ( 案:C A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 ) D.等边三角形 ) 答 2.下列条件中,△ABC 是锐角三角形的是( A.sinA+cosA= 1 5 BC >0 B. AB · C.tanA+tanB+tanC>0 解析:由 sinA+cosA= 1 5 D.b=3,c=3 3 ,B=30° 得 2sinAcosA=- 答案:C 24 <0,∴A 为钝角. 25 BC >0,得 BA · BC <0,∴cos〈 BA , BC 〉<0.∴B 为钝角. 由 AB · 由 tanA+tanB+tanC>0,得 tan(A+B)· (1-tanAtanB)+tanC>0. B、C 都为锐角. 1 ∴tanAtanBtanC>0,A、 三角函数专题二 3 b c π 2π = ,得 sinC= ,∴C= 或 . 2 sin B sin C 3 3 sin B ? sin C 3.在△ABC 中,sinA= ,判断这个三角形的形状. cos B ? cos C 第 2 页 由 解:△ABC 是直角三角形. 题型二、解斜三角形(求角度和长度) 4.已知(a+b+c) (b+c-a)=3bc,则∠A=_______. 解析:由已知得(b+c)2-a2=3bc,∴b2+c2-a2=bc.∴ π 3 b2 ? c2 ? a2 1 π = .∴∠A= . 2bc 2 3 答案: 5.在△ABC 中,“A>30°”是“sinA> ”的 A.充分而不必要条件 也不必要条件 解析:在△ ABC 中, A > 30° ? 0 < sinA < 1 >30° 答案:B 6.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,若三角形的面积 S= (a2+b2-c2) , 则∠C 的度数是_______. 解析:由 S= (a2+b2-c2)得 absinC= · 2abcosC.∴tanC=1.∴C= . 1 4 1 2 1 4 π 4 1 4 1 2 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D. 既 不 充 分 sin A> ; sin A> 1 2 1 < A< 150° ? 30° ?A 2 答案:45° 7.△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,如果 a2=b(b+c) ,求证:A=2B. 证明:用正弦定理,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入 a2=b(b+c)中,得 sin2A=sinB (sinB+sinC) ? sin2A-sin2B=sinBsinC ? =sinBsin(A+B) ? 1 ? cos 2 A 1 ? cos 2B - 2 2 1 (cos2B-cos2A)=sinBsin(A+B) 2 , ? sin(A+B)sin(A-B)=sinBsin(A+B) 因为 A、B、C 为三角形的三内角,所以 sin(A+B)≠0.所以 sin(A-B)=sinB.所以只能 2 三角函数专题二 第 3 页 有 A-B=B,即 A=2B. 该题若用余弦定理如何解决? 解:利用余弦定理,由 a2=b(b+c) ,得 cosA= cos2B=2cos2B-1=2( b 2 ? c 2 ? a 2 (b 2 ? c 2) ? b(b ? c) c ? b = = , 2bc 2bc 2b 2 2 a2 ? c2 ? b2 (b ? c) c c?b )2-1= -1= . 2 2ac 2b 2b(b ? c)c 所以 cosA=cos2B.因为 A、B 是△ABC 的内角,所以 A=2B. 评述:高考题中,涉及到三角形的题目,重点考查正弦、余弦定理,考查的侧重点还在于 三角转换.这是命题者的初衷. 8.△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,如果 a、b、c 成等差数列,∠B=30° , △ABC 的面积为 ,那么 b 等于( A. 1? 3 2 3 2 ) C. 2? 3 2 B.1+ 3 D.2+ 3 答案:B 9.已知锐角△ABC 中,sin(A+B)= ,sin(A-B)= . (1)求证:tanA=2tanB; 3 5 3 5 1 5 (2)设 AB=3,求 AB 边上的高. 1 5 (1)证明:∵sin(A+B)= ,sin(A-B)= , 3 ? sin A cos B ? cos A sin B ? ? ? 5 ∴? 1 ?sin A cos B ? cos A sin B ? ? 5 ? 2 ? sin Ac o B s ? ? tan A ? 5 ?? ? =2. 1 tan B ?c o s As i n B? ? 5 ? ∴tanA=2tanB. 3 4 (2)解: <A+B<π,∴sin(A+B)= . 即 tanB= π 2 3 5 ∴tan(A+B)

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