高三数学专题复习-三角函数(2)解斜三角形(正余弦定理应用)

三角函数专题二 第 1 页 三角函数（2）解斜三角形（正余弦定理应用） 1.正弦定理： a b c = = =2R.（关键点“比”,用法：边角转化） sin A sin B sin C 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角） 2.余弦定理： a2=b2+c2－2bccosA； cosB= c2 ? a2 ? b2 ； 2ca 在余弦定理中，令 C=90° ，这时 cosC=0，所以 c2=a2+b2. 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 可能出现一解、 两解或无解的情况， 这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来理解”. 题型一、判断三角形的形状： 1.在△ABC 中， 若 2cosBsinA=sinC， 则△ABC 的形状一定是 （ 案：C A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 ） D.等边三角形 ） 答 2.下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是（ A.sinA+cosA= 1 5 BC ＞0 B. AB · C.tanA+tanB+tanC＞0 解析：由 sinA+cosA= 1 5 D.b=3，c=3 3 ，B=30° 得 2sinAcosA=－ 答案：C 24 ＜0，∴A 为钝角. 25 BC ＞0，得 BA · BC ＜0，∴cos〈 BA ， BC 〉＜0.∴B 为钝角. 由 AB · 由 tanA+tanB+tanC＞0，得 tan（A+B）· （1－tanAtanB）+tanC＞0. B、C 都为锐角. 1 ∴tanAtanBtanC＞0，A、 三角函数专题二 3 b c π 2π = ，得 sinC= ，∴C= 或 . 2 sin B sin C 3 3 sin B ? sin C 3.在△ABC 中，sinA= ，判断这个三角形的形状. cos B ? cos C 第 2 页 由 解：△ABC 是直角三角形. 题型二、解斜三角形（求角度和长度） 4.已知（a+b+c） （b+c－a）=3bc，则∠A=_______. 解析：由已知得（b+c）2－a2=3bc，∴b2+c2－a2=bc.∴ π 3 b2 ? c2 ? a2 1 π = .∴∠A= . 2bc 2 3 答案： 5.在△ABC 中，“A＞30°”是“sinA＞ ”的 A.充分而不必要条件 也不必要条件 解析：在△ ABC 中， A ＞ 30° ? 0 ＜ sinA ＜ 1 ＞30° 答案：B 6.在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，若三角形的面积 S= （a2+b2－c2） ， 则∠C 的度数是_______. 解析：由 S= （a2+b2－c2）得 absinC= · 2abcosC.∴tanC=1.∴C= . 1 4 1 2 1 4 π 4 1 4 1 2 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D. 既 不 充 分 sin A＞ ； sin A＞ 1 2 1 ＜ A＜ 150° ? 30° ?A 2 答案：45° 7.△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，如果 a2=b（b+c） ，求证：A=2B. 证明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入 a2=b（b+c）中，得 sin2A=sinB （sinB+sinC） ? sin2A－sin2B=sinBsinC ? =sinBsin（A+B） ? 1 ? cos 2 A 1 ? cos 2B － 2 2 1 （cos2B－cos2A）=sinBsin（A+B） 2 ， ? sin（A+B）sin（A－B）=sinBsin（A+B） 因为 A、B、C 为三角形的三内角，所以 sin（A+B）≠0.所以 sin（A－B）=sinB.所以只能 2 三角函数专题二 第 3 页 有 A－B=B，即 A=2B. 该题若用余弦定理如何解决? 解：利用余弦定理，由 a2=b（b+c） ，得 cosA= cos2B=2cos2B－1=2（ b 2 ? c 2 ? a 2 （b 2 ? c 2） ? b（b ? c） c ? b = = ， 2bc 2bc 2b 2 2 a2 ? c2 ? b2 （b ? c） c c?b ）2－1= －1= . 2 2ac 2b 2b（b ? c）c 所以 cosA=cos2B.因为 A、B 是△ABC 的内角，所以 A=2B. 评述：高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于 三角转换.这是命题者的初衷. 8.△ABC 中，a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边，如果 a、b、c 成等差数列，∠B=30° ， △ABC 的面积为 ，那么 b 等于（ A. 1? 3 2 3 2 ） C. 2? 3 2 B.1+ 3 D.2+ 3 答案：B 9.已知锐角△ABC 中，sin（A+B）= ，sin（A－B）= . （1）求证：tanA=2tanB； 3 5 3 5 1 5 （2）设 AB=3，求 AB 边上的高. 1 5 （1）证明：∵sin（A+B）= ，sin（A－B）= ， 3 ? sin A cos B ? cos A sin B ? ? ? 5 ∴? 1 ?sin A cos B ? cos A sin B ? ? 5 ? 2 ? sin Ac o B s ? ? tan A ? 5 ?? ? =2. 1 tan B ?c o s As i n B? ? 5 ? ∴tanA=2tanB. 3 4 （2）解： ＜A+B＜π，∴sin（A+B）= . 即 tanB= π 2 3 5 ∴tan（A+B）