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2019年-第十二章第1节微分方程的基本概念56895-PPT精选文档_图文

第一节

微分方程的基本概念

引例1 一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的切 线斜率为2x,求该曲线的方程. 解 设所求曲线方程为 y = y(x) ,则有如下关系式

dy ? 2 x, dx y x?1? 2.

① ②

2 y ? 2 x d x , 由①得 y? x ?C , (C为任意常数) ? 2 y ? x ?1. 由②得 C = 1 , 因此所求曲线方程为

2

引例2 列车在平直线路上以 20 m s 的速度行驶,制动时 2 获得加速度 a ? ? 0 . 4 m s ,求制动后列车的运动规律. 解 设列车在制动后t秒行驶了s 米,即求s = s (t) . 已知

由前一式两次积分,可得

d 2 s ? ? 0 .4 ?d t 2 ? ds ? s t ?0 ? 0 , d t t ? 0 ? 20.

2 ( 为任意常数 ) s ? ? 0 . 2 t ? C t ? C 1 2 C1 , C2

利用后两式可得 C ? 20 , C ? 0 ,因此所求运动规律为 1 2
2 s? ? 0 . 2 t ? 20 t . 说明 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能 停住, 以及制动后行驶了多少路程. 3

引例1

dy ? 2 x, dx y x?1? 2.

引例2

d 2s ? ? 0.4, d t2

ds s t ?0 ? 0 , d t t ? 0 ? 20.

几个基本概念
1.含未知函数及其导数或微分的方程叫做微分方程,
2 ??xy ? ydx ? 0 . 如y , xdy

2 .只 有 一 个 自 变 量 方的 程微 称分 为常微 . 分
3.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶. 2 2

? ? ? x ( y )? x y ? y ? 0 二阶 4 ? ? ? ? y? ( y )? xy ? 0 三阶

4

引例1

dy dx

? 2x,

y x?1? 2.
2

引例2

d 2s d t2

? ?0.4,
ds d t t ?0

s t ?0 ? 0 ,
2

? 20 .

y? x ?C . y ? x2 ?1 .
微分方程的解.

s ? ? 0 . 2 t? C t ? C . 1 2 2 s? ? 0 . 2 t ? 20 t .

4.若函数代入方程能使方程成为恒等式,则称此函数为 (1)解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同,

这样的解称为微分方程的通解; (2)不含任意常数的解称为 特解 . 如上两例中.
5.用来确定 特解的条件称为初始条件; 如上两例中.
5

对 n 阶方程有n个初始条件

? ? y ( x ) ? y , y ( x ) ? y , ? , y ( x ) ? y . 0 0 0 0
( n ? 1 ) 0

( n ? 1 ) 0

6.微分方程解的图形称为方程的积分曲线.

通解的图形就是积分曲 线族 .

特解的图形就 线 是 族 积 中 分 的 曲 一条 的曲 .线

6

四、小结
微分方程; 微分方程的阶; 微分方程的解; 通解; 初始条件; 特解; 初值问题; 积分曲线;

7

习题 12 ? 1P 263
2 ( 2 )( 4 ), 3 ( 2 ), 4 ( 3 )

8

思考题
? ?? y ? 3 e是 函 数 微 分 方 程 y 4 y ? 0
2 x

的 什 么 解 ?

9

思考题解答
2 x ?? ? y 6 e ,
2 x ? ?? y 12 e ,

2 x 2 x ? ?? 12 e ? 4 ? 3 e ? 0 , y 4 y ?

2x ? y?3 e 中不含任意常数,

故为微分方程的特解.

10

练 习 题
一 、 填 空 题 : xy??? ? 2y?? ? x2 y ? 0是 1、 ______阶 微 分 方 程 ; d2Q dQ Q L 2 ? R ? ? 0是 2、 ______阶 微 分 方 程 ; dt c dt d? 2 ?是 3、 ? ? ? sin ______阶 微 分 方 程 ; d? 4、 一 个 二 阶 微 分 方 程 的 通 解 应 含 有 ____个 任 意 常 数.
y?c x?c 二 、 确 定 函 数 关 系 式 含 的 参 数 , 使 其 1 sin( 2)所 ? yx?? ?1 满 足 初 始 条 件 ,y . x ? ? ?0
x P ( x ,y ) 三 、 设 曲 线 上 点 处 的 法 线 与 轴 的 交 点 为 , Q y 且 线 段 被 轴 平 分 , 试 写 出 该 曲 线 所 满 足 的 微 PQ 分 方 程 .
11

x ? x y ? ae ? be ? x ? 1 a , b 四 、 已 知 函 数 , 其 中 为 任 意 常 数 , 试 求 函 数 所 满 足 的 微 分 方 程 .

12

练习题答案
一、1、3; 2、2; 3、1; 4、2.

? 二、C1 ? 1, C 2 ? . 2
三、 yy ? ? 2 x ? 0 . 四、 y ?? ? y ? 1 ? x .

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