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导数与函数的单调性公开课


用导数研究函数的单调性

问题情境
问题1:确定函数 f ( x) ? x ? 4x ? 3 在哪 个区间内是增函数?哪个区间内是减函数?
2

y

在(-∞,2)上是减函数 在(2,+∞)上是增函数 研究函数单调性的方法:

o

x (1)观察图像的变化趋势

x?2

(2)函数单调性的定义

问题情境
问题2:确定函数 f ( x) ? 2 x ? 6 x ? 7
3 2

在哪个区间内是增函数?

在哪个区间内是减函数?

直观感知
观察函数 f ( x) ? x ? 4x ? 3 的图像, 思考导数与函数的单调性之间的关系?
2

图像

建构数学
一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导 如果在该区间上f′(x)>0, 那么f(x)为该 区间上的增函数; 如果在该区间上f′(x)<0, 那么f(x)为该 区间上的减函数。

数学应用
例1 确定函数 f ( x) ? 2x ? 6x ? 7 在哪个
3 2

区间内是增函数?哪个区间内是减函数?

课堂练习
1 确定下列函数的单调区间

(1)y ? x ? x ( 2) y ? x ? x

2

3

思考:如果f(x)在某区间上单调递增,那么 在该区间上必有f′(x)>0 吗?

课堂练习

2讨论函数f ( x)的单调性 k ( 1 )f ( x) ? (k ? 0) x 2 (2) f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0)

数学应用
例2 确定函数 f ( x) ? sin x, x ? (0,2? ) 的单调减区间。

课堂小结
一、函数导数与单调性的关系: 若函数y=f(x)在某个区间内可导, 如果f′(x)>0, 则f(x)为增函数; 如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数。

课堂小结
二、根据导数确定函数单调区间的步骤: 1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数. 3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间; 解不等式f′(x)<0,得函数单减区间.

课堂作业
教材P80习题3.3 1,2


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