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空间几何体的结构及其表面积与体积(教师用4.12)


空间几何体的结构及其表面积与体积
1、棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四 边形的公共边都互相平行。棱柱中,两个互相平行的面叫做棱柱的底面;其余 各面叫做棱柱的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底面的公共 顶点叫做棱柱的顶点。底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三 棱 柱 、 四 棱 柱 、 五 棱 柱 …… 用 各 顶 点 字 母 表 示 棱 柱 , 如 棱 柱 ABCDEF-A’B’C’D’E’F’。 2、棱锥:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形, 底面是三角形、四边形、五边形 …… 的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱 锥……其中三棱锥又叫四面体。棱锥也用顶点和底面各顶点字母表示,如棱锥 S-ABCD。 3、棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面于截面之间的部 分叫做棱台。原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面,棱台也有 侧面、侧棱、顶点。由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱 台、四棱台、五棱台…… 4、圆柱:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所 围成的旋转体。旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱 的底面;平行于轴的边旋转而成曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置, 不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。圆柱用表示它的轴的字母表示,如圆 柱 O’O。

5、圆锥:以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转 形成的面围成的旋转体。圆锥也有轴、底面、侧面和母线。圆锥也用表示它的 轴的字母表示,如圆锥 SO。 注:棱锥和圆锥统称为锥体。 6、圆台:用平行于圆锥底面的平面去 截圆锥,底面和截面之间的部分叫做圆台。 圆台也有轴、底面、侧面、母线。

1

7、球:以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体 叫做球体。半圆的圆心叫做球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做 球的直径,球常用球心字母 O 表示,如球 O。 8、 三视图: 三视图是观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出 的图形。 将人的视线规定为平行投影线,然后正对着物体看过去,将所见物 体的轮廓用正投影法绘制出来该图形称为视图。一个物体有六个视图:从物体 的前面向后面投射所得的视图称主(正)视图——能反映物体的前面形状,从 物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状,从物 体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状,还有其 它三个视图不是很常用。三视图就是主(正)视图、俯视图、左视图的总称。 一个视图只能反映物体的一个方位的形状,不能完整反映物体的结构形状。 9、圆柱、圆锥、圆台的表面积:

r ? r?

r? ? 0

S ? 2?r (r ? l )

S ? ? (r?2 ? r 2 ? r?l ? rl )

S ? ?r (r ? l )

10、柱体、锥体、台体的体积之间的关系:

S' ? S

S' ? 0

V ? Sh

1 V ? ( S ' ? S ' S ? S )h 3
1 V棱锥 ? S底 ? h 3
C' B 2
'

V?

1 Sh 3

11、棱锥体积公式的理解:
A' B' 1 A B C A B 1
' A' ' C' A A

B' 3

C 2 B

C

C

12、球的体积和表面积: 4 V ? ?R 3 , S ? 4?R 2 . 3 13、球的截面:用一个平面去截一个球,截面是圆面.
过球心的截面截得的圆叫做球的大圆;不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆。

14、两点的球面距离:
球面上两点之间的最短距离,就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,我 们把这个弧长叫做两点的球面距离 两点的球面距离公式: R? (其中 R 为球半径, ? 为 A,B 所对应的球心角的弧度数) 例题精讲
王新敞
奎屯 新疆

例1

下列结论不正确的是

(填序号).

①各个面都是三角形的几何体是三棱锥; ②以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面 所围成的几何体叫圆锥; ③圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 答案 解析 ①② ①错误.如图所示,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起

构成的几何体,各面都是三角形,但它不一定是棱锥. ②错误.如下图,若△ABC 不是直角三角形或是直角三角形, 但旋转轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥.③正确. 例 2 一个正三棱柱的三视图如图所示,求这个三棱柱的表面积和体积. 解 由三视图易知,该正三棱柱的形状如图所示: 且 AA′=BB′=CC′=4cm,正三角形 ABC 和正三角形 A′B′C′的高为 2 3 cm.∴正三角形 ABC 的边长为 |AB|=

2 3 sin 60?

=4.∴该三棱柱的表面积为 S=3×4×4+2×

1 2 ×4 sin60° 2

2 =48+8 3 (cm ).

体积为 V=S 底·|AA′|=

1 2 3 ×4 sin60°×4=16 3 (cm ). 2

2 3 故这个三棱柱的表面积为(48+8 3 )cm ,体积为 16 3 cm .

巩固练习
1.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为 8、高为 4 的等 腰三角形,左视图(或称侧视图)是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形. 3

(1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的侧面积 S. 解 (1)由该几何体的俯视图、正视图、左视图可知,该几何体是四棱锥,
1 3

且四棱锥的底面 ABCD 是边长为 6 和 8 的矩形, 高 VO=4, O 点是 AC 与 BD 的交点. ∴该几何体的体积 V= ×8×6×4=64. (2)如图所示,侧面 VAB 中,VE⊥AB,则 VE= VO 2 ? OE 2 = 4 2 ? 32 =5∴S△VAB=
1 1 ×AB×VE= ×8×5=20 2 2

侧面 VBC 中,VF⊥BC,则 VF= VO 2 ? OF 2 = 4 2 ? 4 2 =4 2 . ∴S△VBC=
1 1 ×BC×VF= ×6×4 2 =12 2 ∴该几何体的侧面积 2 2

S=2(S△VAB+S△VBC)=40+24 2 . 2.棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 的 8 个顶点都在球 O 的表面上,E、F 分别是棱 AA1、DD1 的中点,则直 线 EF 被球 O 截得的线段长为 .答案
2

3.(2008·湖北理)用与球心距离为 1 的平面去截球,所得的截面面积为 ? ,则球的体积为 答案

.

8 2? 3
.

4、 已知圆锥的表面积为 a ㎡, 且它的侧面展开图是一个半圆, 则这个圆锥的底面直径为 (答案:

2 3?

3a?

m)

5、 棱台的两个底面面积分别是 245c ㎡和 80c㎡, 截得这个棱台的棱锥的高为 35cm, 求这个棱台的体积。 (答案:2325cm3) 6、已知棱长为 a,各面均为等边三角形的四面体 S-ABC,求它的表面积.(答案

3a 2 )

7、(2013·武威高一检测)球的体积与其表面积的数值相等,则球的半径等于________. (答案:3) 4 8、已知一个球的体积为 π ,则此球的表面积为________. (答案:4π ) 3

4


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