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2013年普通高等学校统一考试试题江苏卷

2013 年普通高等学校统一考试试题(江苏卷)

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分。请把答案填写在答题卡相印位置上。

1、函数 y ? 3sin(2x ? ? ) 的最小正周期为



4

2、设 z ? (2 ? i)2 ( i 为虚数单位),则复数 z 的模为 ▲

3、双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的两条渐近线的方程为



16 9

4、集合{?1,0,1} 共有 ▲ 个子集

5、右图是一个算法的流程图,则输出的 n 的值是 ▲ (流程图暂缺)

6、抽样统计甲、乙两位设计运动员的 5 此训练成绩(单位:环),结果如下:

运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次



87

91

90

89

93



89

90

91

88

92

则成绩较为稳定(方程较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲

7、现在某类病毒记作 X mYn ,其中正整数 m , n ( m ? 7 , n ? 9 )可以任意选取,

则 m,n 都取到奇数的概率为 ▲

8、如图,在三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中, D,E,F 分别是 AB,AC,AA1 的中点,设三棱锥 F ? ADE 的体积为V1 ,三棱柱 A1B1C1 ? ABC 的体

C1 B1

积为V2 ,则V1 : V2 ?



A1

9、抛物线 y ? x 2 在 x ? 1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D (包含

三角形内部和边界)。若点

P(

x,

y)

是区域

D

内的任意一点,则

x

?

2

y

的取值范围是
F

10、设 D,E 分别是 ?ABC的边 AB,BC上的点, AD ? 1 AB , BE ? 2 BC ,

2

3

E


C

B

若 DE ? ?1 AB ? ?2 AC ( ?1,?2 为实数),则 ?1 ? ?2 的值为



A

D

11、已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数。当 x ? 0 时, f (x) ? x2 ? 4x ,则不等式 f (x) ? x 的解

集用区间表示为 ▲

12、在平面直角坐标系

xOy

中,椭圆

C

的标准方程为

x a

2 2

?

y2 b2

? 1(a

? 0,b

? 0) ,右焦点为 F



右准线为 l ,短轴的一个端点为 B ,设原点到直线 BF 的距离为 d1 , F 到 l 的距离为 d2 ,

若 d2 ? 6d1 ,则椭圆 C 的离心率为



13、在平面直角坐标系 xOy 中,设定点 A(a, a) , P 是函数 y ? 1 ( x ? 0 )图象上一动点, x

若点 P,A 之间的最短距离为 2 2 ,则满足条件的实数 a 的所有值为 ▲

14、在正项等比数列{an}中, a5

?

1 2



a6

?

a7

?

3 ,则满足 a1

?

a2

???

an

?

a1a2 ?an 的

最大正整数 n 的值为 ▲

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤。 15、(本小题满分 14 分)
已知 a=(cos?,sin?),b ? (cos? ,sin ? ) , EMBED Equation.3 0 ? ? ? ? ? ? 。
(1)若| a ? b |? 2 ,求证: a ? b ; (2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求?, ? 的值。
S

16、(本小题满分 14 分)

E

G

如图,在三棱锥 S ? ABC 中,平面 SAB ? 平面 SBC ,

F

AB ? BC , AS ? AB,过 点 E,G 分别是棱 SA,SC

A 作 AF ?
的中点。

SB

,垂足为

F

,A

C

求证:(1)平面 EMBED Equation.3 EFG// 平面 ABC;

(2) BC ? SA。

B

17、(本小题满分 14 分)
如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2x ? 4 。
设圆 C 的半径为1,圆心在 l 上。 (1)若圆心 C 也在直线 y ? x ?1上,过点 A 作圆 C 的切线,
求切线的方程;
(2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2MO ,求圆心 C 的横坐 标 a 的取值范围。

y A O

l x

18、(本小题满分 16 分)

如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径。一种是从 A 沿直线步行到 C ,另一种

是先从沿索道乘缆车到 B ,然后从 B 沿直线步行到 C 。现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀

速步行,速度为 50m/ min 。在甲出发 2min 后,乙从 A 乘缆车到 B ,在 B 处停留1min 后,再从匀

速步行到 C 。假设缆车匀速直线运动的速度为 130m/ min ,山路 AC 长为 EMBED Equation.3

1260m ,经测量, cos A ? 12 , cosC ? 3 。

A

13

5

(1)求索道 AB 的长;

B

(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?

(3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,

乙步行的速度应控制在什么范围内?

C

19、(本小题满分 16 分)

设{an}是首项为 a

,公差为 d

的等差数列 (d

?

0)



Sn

是其前 n

项和。记 bn

?

nSn n2 ? c

, n? N*



其中 c 为实数。

(1)若 c ? 0 ,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明: Snk ? n2Sk ( k, n ? N * );

(2)若{bn}是等差数列,证明: c ? 0 。

20、(本小题满分 16 分)
设函数 f (x) ? ln x ? ax , g(x) ? ex ? ax ,其中 a 为实数。 (1)若 f (x) 在 (1,??) 上是单调减函数,且 g(x) 在 (1,??) 上有最小值,求 a 的取值范围; (2)若 g(x) 在 (?1,??) 上是单调增函数,试求 f (x) 的零点个数,并证明你的结论。