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高中精品-数学:求递推数列通项公式的十种策略例析


求递推数列通项公式的十种策略例析
递推数列的题型多样,求递推数列的通项公式的方法也非常灵活,往往可以通过适当的 策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决, 亦可采用不完全归纳法的方法, 由特 殊情形推导出一般情形, 进而用数学归纳法加以证明, 因而求递推数列的通项公式问题成为 了高考命题中颇受青睐的考查内容。 笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略, 它们 是:公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、 不动点法、特征根的方法。仔细辨析递推关系式的特征,准确选择恰当的方法,是迅速求出 通项公式的关键。 一、利用公式法求通项公式 例 1 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 2 n , a 1 ? 2 ,求数列 {a n } 的通项公式。 解: a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 2 n 两边除以 2 n ?1 ,得

a n ?1 2
n ?1

?

an 2
n

?

a a 3 3 ,则 n ?1 ? n ? , n ?1 n 2 2 2 2

故数列 {

a an 2 3 } 是以 1 ? ? 1 为首,以 为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得 1 2n 2 2 2 3 3 1 ,所以数列 {a n } 的通项公式为 a n ? ( n ? )2 n 。 2 2 2 a n ?1 2
n ?1

an 2
n

? 1 ? (n ? 1)

2 a a 3 列 { n } 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出 n ? 1 ? (n ? 1) ,进而求出数 n n 2 2 2
列 {a n } 的通项公式。

评注:本题解题的关键是把递推关系式 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 2 n 转化为

?

an
n

?

3 ,说明数 2

二、利用累加法求通项公式 例 2 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a n ? 2n ? 1 a 1 ? 1 ,求数列 {a n } 的通项公式。 , 解:由 a n ?1 ? a n ? 2n ? 1 得 a n ?1 ? a n ? 2n ? 1 则 a n ? (a n ? a n ?1 ) ? (a n ?1 ? a n ?2 ) ? ? ? (a 3 ? a 2 ) ? (a 2 ? a 1 ) ? a 1

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? [2(n ? 1) ? 1] ? [2(n ? 2) ? 1] ? ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ? 1 ? 1) ? 1 ? 2[(n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 2 ? 1] ? (n ? 1) ? 1 ? 2? (n ? 1)n ? (n ? 1) ? 1 2

所以数列 {a n } 的通项公式为 a n ? n 2 评注:本题解题的关键是把递推关系式 a n ?1 ? a n ? 2n ? 1 转化为 a n ?1 ? a n ? 2n ? 1 ,进而 求出 (a n ? a n ?1 ) ? (a n ?1 ? a n ?2 ) ? ? ? (a 3 ? a 2 ) ? (a 2 ? a 1 ) ? a 1 ,即得数列 {a n } 的通项公式。

例 3 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a n ? 2 ? 3 n ? 1,a 1 ? 3 ,求数列 {a n } 的通项公式。 解:由 a n ?1 ? a n ? 2 ? 3 n ? 1 得 a n ?1 ? a n ? 2 ? 3 n ? 1 则 a n ? (a n ? a n ?1 ) ? (a n ?1 ? a n ?2 ) ? ? ? (a 3 ? a 2 ) ? (a 2 ? a 1 ) ? a 1

? (2 ? 3 n ?1 ? 1) ? (2 ? 3 n ? 2 ? 1) ? ? ? (2 ? 3 2 ? 1) ? (2 ? 31 ? 1) ? 3 ? 2(3 n ?1 ? 3 n ? 2 ? ? ? 3 2 ? 31 ) ? (n ? 1) ? 3
所以 a n ? 2 ?

3 ? 3n ? n ? 2 ? 3n ? n ? 1 1? 3

评注:本题解题的关键是把递推关系式 a n ?1 ? a n ? 2 ? 3 n ? 1 转化为 a n ?1 ? a n ? 2 ? 3 n ? 1 , 进而求出 (a n ? a n ?1 ) ? (a n ?1 ? a n ?2 ) ? ? ? (a 3 ? a 2 ) ? (a 2 ? a 1 ) ? a 1 ,即得数列 {a n } 的通项 公式。

例 4 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 3a n ? 2 ? 3 n ? 1,a 1 ? 3 ,求数列 {a n } 的通项公式。 解: a n ?1 ? 3a n ? 2 ? 3 n ? 1 两边除以 3n ?1 ,得

a n ?1 3
n ?1

?

an 3
n

?

2 1 ? n ?1 , 3 3

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a n ?1 3
n ?1

?

an 3
n

?

2 1 ? n ?1 , 3 3



an 3
n

?(

an 3
n

?

a n ?1 a a n ?2 a n ? 2 a n ?3 a 2 a1 a ) ? ( n ?1 ? n ?2 ) ? ( n ?2 ? n ?3 ) ? ? ? ( 2 ? 1 ) ? 1 a n ?1 a n ?1 3 3 3 3 3 3

2 1 2 1 2 1 2 1 3 ? ( ? n ) ? ( ? n ?1 ) ? ( ? n ?2 ) ? ? ? ( ? 2 ) ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ? 2(n ? 1) 1 1 1 1 1 ? ( n ? n ? n ?1 ? n ?2 ? ? ? 2 ) ? 1 3 3 3 3 3 3

1 ? (1 ? 3 n ?1 ) a n 2(n ? 1) 3 n 2n 1 1 因此 n ? , ? ?1? ? ? 3 1? 3 3 2 2 ? 3n 3
则 an ?

2 1 1 ? n ? 3n ? ? 3n ? 3 2 2

评 注 : 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式 a n ?1 ? 3a n ? 2 ? 3 n ? 1 转 化 为

a n a n ?1 a n ?1 a n ?2 a n ? 2 a n ?3 2 1 ? n ?1 , 进 而 求 出 ( n ? n ?1 ) ? ( n ?1 ? n ?2 ) ? ( n ?2 ? n ?3 ) + ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 an a 2 a1 a1 +( 2 ? 1 ) ? ,即得数列 { n } 的通项公式,最后再求数列 {a n } 的通项公式。 3 3 3 3 a n ?1
n ?1

?

an
n

?

三、利用累乘法求通项公式 例 5 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2(n ? 1)5 n ? a n,a 1 ? 3 ,求数列 {a n } 的通项公式。

解:因为 a n ?1 ? 2(n ? 1)5 n ? a n,a 1 ? 3 ,所以 a n ? 0 ,则

a n ?1 ? 2(n ? 1)5 n , an

则an ?

an a n ?1

?

a n ?1 an?2

???

a3 a2

?

a2 a1

? a1

? [2(n ? 1 ? 1)5 n ?1 ] ? [2(n ? 2 ? 1)5 n ?2 ]?[2 ? (2 ? 1) ? 5 2 ] ? [2 ? (1 ? 1) ? 51 ] ? 3 ? 2 n ?1 ? [n ? (n ? 1) ? ? ? 3 ? 2] ? 5 ( n ?1)?( n ?2)??? 2?1 ? 3
所以数列 {a n } 的通项公式为

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a n ? 3 ? 2 n ?1 ? 5

n ( n ?1) 2

? n!
a n ?1 ? 2(n ? 1)5 n ,进而 an

评注:本题解题的关键是把递推关系 a n ?1 ? 2(n ? 1)5 n ? a n 转化为

求出

a a a n a n ?1 ? ? ? ? 3 ? 2 ? a 1 ,即得数列 {a n } 的通项公式。 a n ?1 a n ?2 a 2 a1

例 6 (2004 年全国 15 题)已知数列 {a n } 满足 a 1 ? 1 a n ? a 1 ? 2a 2 ? 3a 3 ? ? ? (n ? 1) ,

?1,n ? 1 ? ? (n ? 1)a n ?1 (n ? 2) ,则 {a n } 的通项 a n ? ? n! ? 2 ,n ? 2 ?
解:因为 a n ? a 1 ? 2a 2 ? 3a 3 ? ? ? (n ? 1)a n ?1 (n ? 2) 所以 a n ?1 ? a 1 ? 2a 2 ? 3a 3 ? ? ? (n ? 1)a n ?1 ? na n 所以②式-①式得 a n ?1 ? a n ? na n 则 a n ?1 ? (n ? 1)a n (n ? 2) ② ①



a n ?1 ? n ? 1(n ? 2) an a a n a n ?1 ? ??? 3 ? a 2 a n ?1 a n ?2 a2

所以 a n ?

? [n (n ? 1) ? ? ? 4 ? 3] ? a 2 ?

n! ?a2 2



由 a n ? a 1 ? 2a 2 ? 3a 3 ? ? ? (n ? 1)a n ?1 (n ? 2) ,取 n=2 得 a 2 ? a 1 ? 2a 2 ,则 a 2 ? a 1 ,又 知 a 1 ? 1 ,则 a 2 ? 1 ,代入③得

a n ? 1? 3 ? 4 ? 5 ??? n ?

n! 。 2
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评注: 本题解题的关键是把递推关系式 a n ?1 ? (n ? 1)a n (n ? 2) 转化为

a n ?1 (n≥2) , ? n ?1 an

进而求出

a a n a n ?1 从而可得当 n≥2 时 a n 的表达式, 最后再求出数列 {a n } 的 ? ??? 3 ? a 2 , a n ?1 a n ?2 a2

通项公式。

四、利用待定系数法求通项公式 例 7 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 5 n ,a 1 ? 6 ,求数列 {a n } 的通项公式。 解:设 a n ?1 ? x ? 5 n ?1 ? 2(a n ? x ? 5 n ) ④

将 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 5 n 代入④式,得 2a n ? 3 ? 5 n ? x ? 5 n ?1 ? 2a n ? 2x ? 5 n ,等式两边消去

2a n ,得 3 ? 5 n ? x ? 5 n ?1 ? 2x ? 5 n ,两边除以 5 n ,得 3 ? x ? 5 ? 2x ,则 x=-1,代入④式,
得 a n ?1 ? 5 n ?1 ? 2(a n ? 5 n ) ⑤

由 a 1 ? 51 ? 6 ? 5 ? 1 ≠0 及⑤式,得 a n ? 5 n ? 0 ,则

a n ?1 ? 5 n ?1 a n ? 5n

? 2 ,则数列 {a n ? 5 n } 是

以 a 1 ? 51 ? 1 为首项,以 2 为公比的等比数列,则 a n ? 5 n ? 1 ? 2 n ?1 ,故 a n ? 2 n ?1 ? 5 n 。 评 注 : 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 5n 转 化 为

a n ?1 ? 5 n ?1 ? 2(a n ? 5 n ) ,从而可知数列 {a n ? 5 n } 是等比数列,进而求出数列 {a n ? 5 n } 的
通项公式,最后再求出数列 {a n } 的通项公式。

例 8 已知数列 {a n } 满足 a n ? 1 ? 3a n ? 5 ? 2 n ? 4,a 1 ? 1,求数列 {a n } 的通项公式。 解:设 a n ?1 ? x ? 2 n ?1 ? y ? 3(a n ? x ? 2 n ? y) 将 a n ?1 ? 3a n ? 5 ? 2 n ? 4 代入⑥式,得 ⑥

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3a n ? 5 ? 2 n ? 4 ? x ? 2 n ?1 ? y ? 3(a n ? x ? 2 n ? y)
整理得 (5 ? 2x ) ? 2 n ? 4 ? y ? 3x ? 2 n ? 3y 。

?5 ? 2 x ? 3x ?x ? 5 令? ,则 ? ,代入⑥式,得 ?y ? 2 ?4 ? y ? 3 y
a n ?1 ? 5 ? 2 n ?1 ? 2 ? 3(a n ? 5 ? 2 n ? 2)
由 a 1 ? 5 ? 21 ? 2 ? 1 ? 12 ? 13 ? 0 及⑦式, ⑦

得 a n ? 5 ? 2 n ? 2 ? 0 ,则

a n ?1 ? 5 ? 2 n ?1 ? 2 a n ? 5 ? 2n ? 2

? 3,

故数列 {a n ? 5 ? 2 n ? 2} 是以 a 1 ? 5 ? 21 ? 2 ? 1 ? 12 ? 13 为首项,以 3 为公比的等比数列, 因此 a n ? 5 ? 2 n ? 2 ? 13 ? 3 n ?1 ,则 a n ? 13 ? 3 n ?1 ? 5 ? 2 n ? 2 。 评 注 : 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式 a n ?1 ? 3a n ? 5 ? 2 n ? 4 转 化 为

a n ?1 ? 5 ? 2 n ?1 ? 2 ? 3(a n ? 5 ? 2 n ? 2) ,从而可知数列 {a n ? 5 ? 2 n ? 2} 是等比数列,进而求出
数列 {a n ? 5 ? 2 n ? 2} 的通项公式,最后再求数列 {a n } 的通项公式。

例 9 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? n 2 ? 4n ? 5,a 1 ? 1 ,求数列 {a n } 的通项公式。 解:设 a n ?1 ? x (n ? 1) 2 ? y(n ? 1) ? z

? 2(a n ? xn 2 ? yn ? z)



将 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? n 2 ? 4n ? 5 代入⑧式,得

2a n ? 3 ? n 2 ? ?4n ? 5 ? x (n ? 1) 2 ? y(n ? 1) ? z ? 2(a n ? xn 2 ? yn ? z) ,则
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2a n ? (3 ? x )n 2 ? (2 x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2a n ? 2 xn 2 ? 2 yn ? 2z
等式两边消去 2a n ,得 (3 ? x )n 2 ? (2x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2xn 2 ? 2 yn ? 2z ,

?x ? 3 ?3 ? x ? 2 x ? ? 则得方程组 ?2 x ? y ? 4 ? 2 y ,则 ? y ? 10 ,代入⑧式,得 ?z ? 18 ? x ? y ? z ? 5 ? 2z ? ?
a n ?1 ? 3(n ? 1) 2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2(a n ? 3n 2 ? 10n ? 18)
由 a 1 ? 3 ? 12 ? 10 ? 1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 ? 0 及⑨式,得 ⑨

a n ? 3n 2 ? 10n ? 18 ? 0



a n ?1 ? 3(n ? 1) 2 ? 10(n ? 1) ? 18 a n ? 3n ? 10n ? 18
2

? 2 , 故 数 列 {a n ? 3n 2 ? 10n ? 18} 为 以

a 1 ? 3 ? 12 ? 10 ? 1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 为 首 项 , 以 2 为 公 比 的 等 比 数 列 , 因 此 a n ? 3n 2 ? 10n ? 18 ? 32 ? 2 n ?1 ,则 a n ? 2 n ? 4 ? 3n 2 ? 10n ? 18 。
评 注 : 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? n 2 ? 4n ? 5 转 化 为

a n ?1 ? 3(n ? 1) 2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2(a n ? 3n 2 ? 10n ? 18)















{a n ? 3n 2 ? 10n ? 18} 是等比数列,进而求出数列 {a n ? 3n 2 ? 10n ? 18} 的通项公式,最后再
求出数列 {a n } 的通项公式。

五、利用对数变换法求通项公式 例 10 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2 ? 3 n a 5 , a 1 ? 7 ,求数列 {a n } 的通项公式。 n 解:因为 a n ?1 ? 2 ? 3 n a 5,a 1 ? 7 ,所以 a n ? 0,a n ?1 ? 0 。在 a n ?1 ? 2 ? 3 n a 5 式两边取常用 n n 对数得 lg a n ?1 ? 5 lg a n ? n lg 3 ? lg 2 ⑩

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11 设 lg a n ?1 ? x(n ? 1) ? y ? 5(lg a n ? xn ? y) ○

11 将 ⑩式代 入○ 式, 得 5 lg a n ? n lg 3 ? lg 2 ? x(n ? 1) ? y ? 5(lg a n ? xn ? y) ,两边 消去

5 lg a n 并整理,得 (lg 3 ? x)n ? x ? y ? lg 2 ? 5xn ? 5y ,则

lg 3 ? ?x ? 4 ?lg 3 ? x ? 5x ? ,故 ? ? x ? y ? lg 2 ? 5y ? ? y ? lg 3 ? lg 2 ? 16 4 ?
11 代入○式,得 lg a n ?1 ?

lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? 4 16 4
12 ○

? 5(lg a n ?
由 lg a 1 ? 得 lg a n ?

lg 3 lg 3 lg 2 n? ? ) 4 16 4

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 12 ?1 ? ? ? lg 7 ? ?1 ? ? ? 0 及○式, 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 n? ? ?0, 4 16 4

lg a n ?1 ?


lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? 4 16 4 ? 5, lg 3 lg 3 lg 2 lg a n ? ?n ? ? 4 16 4

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 为首项,以 5 为公比的 n? ? } 是以 lg 7 ? ? ? 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 等 比 数 列 , 则 lg a n ? , 因 此 n? ? ? (lg 7 ? ? ? )5 4 16 4 4 16 4
所以数列 {lg a n ?

lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 lg 3 lg 3 lg 2 lg a n ? (lg 7 ? ? ? )5 ? n? ? 4 16 4 4 6 4
n 1 1 1 1 1 n

? (lg 7
1 1

1 ? lg 3 4

1 ? lg 3 6

1 ? lg 2 4 )5 n ?1

1

1

1

? lg 3 4 ? lg 316 ? lg 2 4 ? [lg( 7 ? 3 4 ? 316 ? 2 4 )]5 n ?1 ? lg( 3 4 ? 316 ? 2 4 ) ? lg( 7 ? 3 4 ? 316 ? 2 4 )5 n ?1
n ? lg( 3 4 1 ? 316 1 ? 24

) ? lg( 7

5n ?1

5n ?1 ? n ?3 4

5n ?1 ?1 ? 3 16

5n ?1 ?1 ?2 4 )

? lg( 7

5n ?1

5n ? 4 n ?1 ? 3 16

5n ?1 ?1 ?2 4 )





an ? 7

5n ?1

5n ? 4 n ?1 ? 3 16

5n ?1 ?1 ?2 4



评 注 : 本 题 解 题 的 关 键 是 通 过 对 数 变 换 把 递 推 关 系 式 a n ?1 ? 2 ? 3 n a 5 转 化 为 n

lg a n ?1 ?

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? ? 5(lg a n ? n? ? ) , 从 而 可 知 数 列 4 16 4 4 16 4
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{lg a n ?

lg 3 4

n?

lg 3 16

?

lg 2 4

} 是等比数列,进而求出数列 {lg a n ?

lg 3 lg 3 lg 2 n? ? } 的通项 4 16 4

公式,最后再求出数列 {a n } 的通项公式。

六、利用迭代法求通项公式 例 11 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a 3( n ?1) 2 ,a 1 ? 5 ,求数列 {a n } 的通项公式。 n
n

解:因为 a n ?1 ? a 3( n ?1) 2 ,所以 n
n

a n ? a 3n?12 n?
2

n ?1

? [a 3(?n2?1)?2 n

n ?2

] 3 n ?2

n ?1

? a 3 ?(2n ?1)?n?2 n ? [a 3(?n3? 2)?2 n
3

( n ? 2 ) ? ( n ?1)

n ?3

]3

2

( n ?1)?n ?2 ( n ? 2 ) ? ( n ?1)

? a 3 ?(3n ? 2)( n ?1) n?2 n ??
3 ? a1
n ?1

( n ? 3 ) ? ( n ? 2 ) ? ( n ?1)

?2?3??( n ? 2 )?( n ?1)?n ?21? 2 ???? ( n ? 3 ) ? ( n ? 2 ) ? ( n ?1)
n ( n ?1)

?

3n ?1 a 1 ?n!?2

2

n ( n ?1)

又 a 1 ? 5 ,所以数列 {a n } 的通项公式为 a n ? 5

3n ?1 ?n!?2

2



评注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式,即先将等式

a n ?1 ? a 3( n ?1) 2 两边取常用对数得 lg a n ?1 ? 3(n ? 1) ? 2 n lg a n ,即 n
n

lg a n ?1 ? 3(n ? 1) ? 2 n ,再由 lg a n
n ( n ?1) 2

累 乘 法 可 推 知 lg a n ?
3n ?1 ?n!?2 n ( n ?1) 2

n ?1 lg a 3 lg a 2 lg a n lg a n ?1 ? ??? ? ? lg a 1 ? lg 5 3 ?n!?2 lg a n ?1 lg a n ? 2 lg a 2 lg a 1

, 从 而

an ? 5

七、利用数学归纳法求通项公式 例 12 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a n ? 式。

8(n ? 1) (2n ? 1) (2n ? 3)
2 2

,a 1 ?

8 , 求数列 {a n } 的通项公 9

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解:由 a n ?1 ? a n ?

8(n ? 1) (2n ? 1) (2n ? 3)
2 2

及 a1 ?

8 ,得 9

a 2 ? a1 ?

8(1 ? 1) (2 ? 1 ? 1) 2 (2 ? 1 ? 3) 2

?

8 8 ? 2 24 ? ? 9 9 ? 25 25
8(2 ? 1)

a3 ? a2 ?

(2 ? 2 ? 1) 2 (2 ? 2 ? 3) 2 24 8?3 48 ? ? ? 25 25 ? 49 49 8(3 ? 1)

a4 ? a3 ?

(2 ? 3 ? 1) 2 (2 ? 3 ? 3) 2 48 8?4 80 ? ? ? 49 49 ? 81 81
( 2n ? 1) 2 ? 1 (2n ? 1) 2
,往下用数学归纳法证明这个结论。

由此可猜测 a n ?

(1)当 n=1 时, a 1 ?

(2 ? 1 ? 1) 2 ? 1 (2 ? 1 ? 1)
2

?

8 ,所以等式成立。 9 ( 2k ? 1) 2 ? 1 (2k ? 1) 2

(2)假设当 n=k 时等式成立,即 a k ?

,则当 n ? k ? 1 时,

a k ?1 ? a k ?

8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2
8( k ? 1) ( 2k ? 1) 2 ( 2k ? 3) 2

? ? ? ?

( 2k ? 1) 2 ? 1 ( 2k ? 1)
2

?

[(2k ? 1) 2 ? 1](2k ? 3) 2 ? 8( k ? 1) ( 2k ? 1) 2 ( 2k ? 3) 2 ( 2k ? 1) 2 ( 2k ? 3) 2 ? ( 2k ? 3) 2 ? 8( k ? 1) ( 2k ? 1) 2 ( 2k ? 3) 2 ( 2k ? 1) 2 ( 2k ? 3) 2 ? ( 2k ? 1) 2 ( 2k ? 1) 2 ( 2k ? 3) 2

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?

(2k ? 3) 2 ? 1 (2k ? 3) 2

?

[2(k ? 1) ? 1] 2 ? 1 [2(k ? 1) ? 1] 2

由此可知,当 n=k+1 时等式也成立。 根据(1) (2)可知,等式对任何 n ? N * 评注:本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项,进而猜出数列的 通项公式,最后再用数学归纳法加以证明。

八、利用换元法求通项公式 例 13 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 式。 解:令 b n ? 1 ? 24a n ,则 a n ? 故 a n ?1 ?

1 求数列 {a n } 的通项公 (1 ? 4a n ? 1 ? 24a n ),a 1 ? 1 , 16

1 2 (b n ? 1) 24

1 2 1 (b n ?1 ? 1) ,代入 a n ?1 ? (1 ? 4a n ? 1 ? 24a n ) 得 24 16

1 2 1 1 (b n ?1 ? 1) ? [1 ? 4 ? (b 2 ? 1) ? b n ] n 24 16 24
即 4b 2 ?1 ? (b n ? 3) 2 n 因为 b n ? 1 ? 24a n ? 0 ,故 b n ?1 ? 1 ? 24a n ?1 ? 0 则 2b n ?1 ? b n ? 3 ,即 b n ?1 ? 可化为 b n ?1 ? 3 ?

1 3 bn ? , 2 2

1 (b n ? 3) , 2
1 为公比的等比数 2 1 +3 , 即 1 ? 24a n ? ( ) n ?2 ? 3 , 得 2

所以 {b n ? 3} 是以 b1 ? 3 ? 1 ? 24a 1 ? 3 ? 1 ? 24 ? 1 ? 3 ? 2 为首项, 以

1 1 1 列 , 因 此 b n ? 3 ? 2 ? ( ) n ?1 ? ( ) n ?2 , 则 b n ? ( ) n ? 2 2 2 2 2 1 1 1 a n ? ( )n ? ( )n ? 。 3 4 2 3

评注:本题解题的关键是通过将 1 ? 24a n 的换元为 b n ,使得所给递推关系式转化

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b n ?1 ?

1 3 b n ? 形式,从而可知数列 {b n ? 3} 为等比数列,进而求出数列 {b n ? 3} 的通项公 2 2

式,最后再求出数列 {a n } 的通项公式。

九、利用不动点法求通项公式 例 14 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ?

21a n ? 24 ,a 1 ? 4 ,求数列 {a n } 的通项公式。 4a n ? 1

解:令 x ?

21x ? 24 21x ? 24 ,得 4x 2 ? 20x ? 24 ? 0 ,则 x 1 ? 2,x 2 ? 3 是函数 f ( x ) ? 的 4x ? 1 4x ? 1

21a n ? 24 ?2 a n ?1 ? 2 4a n ? 1 21a n ? 24 ? 2(4a n ? 1) 13a n ? 26 13 两个不动点。因为 。 ? ? ? ? 21a n ? 24 a n ?1 ? 3 21a n ? 24 ? 3(4a n ? 1) 9a n ? 27 9 ?3 4a n ? 1
an ? 2 a ?2 a ?2 4?2 13 ,所以数列 { n } 是以 1 ? ? 2 为首项,以 为公比的等比数列,故 an ? 3 an ? 3 a1 ? 3 4 ? 3 9 an ? 2 13 ? 2( ) n ?1 ,则 a n ? an ? 3 9

1 ? 3。 13 n ?1 2( ) ? 1 9

评注:本题解题的关键是先求出函数 f ( x ) ? 两个根 x 1 ? 2,x 2 ? 3 , 进而可推出

21x ? 24 21x ? 24 的不动点,即方程 x ? 的 4x ? 1 4x ? 1

a n ?1 ? 2 13 a n ? 2 a ?2 , 从而可知数列 { n } 为等比数 ? ? an ? 3 a n ?1 ? 3 9 a n ? 3

列,再求出数列 {

an ? 2 } 的通项公式,最后求出数列 {a n } 的通项公式。 an ? 3

例 15 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ?

7a n ? 2 ,a 1 ? 2 ,求数列 {a n } 的通项公式。 2a n ? 3

解:令 x ?

7x ? 2 3x ? 1 ,得 2x 2 ? 4x ? 2 ? 0 ,则 x=1 是函数 f ( x ) ? 的不动点。 2x ? 3 4x ? 7
7a n ? 2 5a ? 5 ,所以 ?1? n 2a n ? 3 2a n ? 3

因为 a n ?1 ? 1 ?

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3 5 2a n ? 3 2 1 2 ? 2 (1 ? 2 ) ? 1 ? 2 , 所 以 数 列 { 1 } 是 以 ? ? ? an ?1 a n ?1 ? 1 5a n ? 5 5 a n ? 1 5 an ?1 an ?1 5 an ?

2 2n ? 8 1 1 1 2 以 为公差的等差数列, 则 故 。 ? ? 1 为首项, ? 1 ? (n ? 1) ? , a n ? a1 ? 1 2 ? 1 an ?1 5 5 2n ? 3
评注:本题解题的关键是先求出函数 f ( x ) ?

3x ? 1 7x ? 2 的不动点,即方程 x ? 的根 4x ? 7 2x ? 3

x ? 1 ,进而可推出

1 a n ?1 ? 1

?

1 2 1 } 为等差数列,再求出数列 ? ,从而可知数列 { an ?1 an ?1 5

{

1 } 的通项公式,最后求出数列 {a n } 的通项公式。 an ?1

十、利用特征根法求通项公式 例 16 式。 解 : a n ?1 ? 3a n ? a n ?1 (n ? 2) 的 相 应 特 征 方 程 为 ?2 ? 3? ? 1 ? 0 , 解 之 求 特 征 根 是 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 3a n ? a n ?1 (n ? 2),a 1 ? a 2 ? 1 ,求数列 {a n } 的通项公

?1 ?

3? 5 3? 5 3? 5 3? 5 ,所以 a n ? c1 ? 。 ,? 2 ? ? c2 ? 2 2 2 2

由初始值 a 1 ? a 2 ? 1 ,得方程组

? 3? 5 1 3? 5 1 ) ? c2 ( ) ?1 ? c1 ( ? 2 2 ? 3? 5 2 3? 5 2 ? ?1 ? c1 ( 2 ) ? c 2 ( 2 ) ? ? 5?2 5 ?c 1 ? ? 5 求得 ? 5?2 5 ? ?c 2 ? 5 ?
从而 a n ?

5?2 5 3? 5 n 5? 2 5 3? 5 n ( ) ? ( ) 。 5 2 5 2

评注:本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出 c1,c 2 ,从而可得数
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列 {a n } 的通项公式。

3.3 递推数列
一、基本知识简述 1.有关概念:我们在研究数列{an}时,如果任一项 an 与它的前一项 a n ?1 (或几项)间的关 系可以用一个公式来表示,则此公式就称为数列的递推公式。通过递推公式给出的数列,一 般我们也称之为递推数列。 主要有以下几种方法: (1) 构造法:通过构造特殊的数列(一般为等差数列或等列) ,利用特殊数列的通项求递 推数列的通项. (2) 迭代法:将递推式适当变形后,用下标较小的项代替某些下标较大的项,在一般项 和初始之间建立某种联系,从而求出通项. (3) 代换法:包括代数代换、三角代换等 (4) 待定系数法:先设定通项的基本形式,再根据题设条件求出待定的系数。 3.思想策略:构造新数列的思想。 4.常见类型: 类型Ⅰ: ?
?a n ?1 ? p(n)a n ? q(n) ( p(n) ? 0) (一阶递归) ?a1 ? a (a为常数)

类型 II:分式线性递推数列: a n ?1 ? 二、例题:

Can ? D ( A ? 0) Aa n ? B

例 1: a n ? 3a n ?1 ? 2 , a1 ? 2 ,求通项 a n 分析:构造辅助数列, a n ? 1 ? 3(a n ?1 ? 1) ,则 a n ? 3 ? 1
n

求通项过程中, 多次利用递推的思想方法以及把一般数列转化为等差、 等比数列去讨论, 从而求出了通项公式 a n 。 [一般形式] 已知 a n ? pan ?1 ? q , a1 ? a ,其中 p,q,a 为常数,求通项 a n [同类变式]已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2a n ? (2n ? 1) ,且 a1 ? 2 ,求通项 a n

分析: (待定系数) ,构造数列 {a n ? kn ? b} 使其为等比数列, 即 a n ?1 ? k (n ? 1) ? b ? 2(a n ? kn ? b) ,解得 k ? 2, b ? 1 求得 a n ? 5 ? 2
n ?1

? 2n ? 1
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[归纳]: 类型Ⅰ: ?
?a n ?1 ? p(n)a n ? q(n) ( p(n) ? 0) (一阶递归) ?a1 ? a (a为常数)

其特例为: (1) p(n) ? 1 时, a n ?1 ? a n ? q(n) 利用累加法,将 a n ? a n ?1 ? q(n ? 1) , a n ?1 ? a n ? 2 + q(n ? 2) , a 2 ? a1 + q (1) ?,各式相加, 得 a n ? a1 +

? q(k ) (n ? 2)
k ?1

n ?1

(2) q(n) ? 0 时, a n ?1 ? p(n)a n ;利用累乘法, a n ? a1 (3) p(n) ? p, q(n) ? q 时, a n ?1 ? pan ? q

? p(k )
k ?1

n ?1

( p ? 0)

解题方法:利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列 法 1 : ( 常 数 变 易 法 ) 设 a n ? x ? p(a n ?1 ? x) 则 a n ? pan ?1 ? x( p ? 1) , 从 而

x?

q p ?1
亦即数列 ?a n ?

? ?

q ? q 为首项,公比为 p 的等比数列, ? 是以 a n ? p ? 1? p ?1

从而可得: a n ?

q q ? (a1 ? ) p n ?1 , p ?1 p ?1

a n ? (a ?

[a( p ? 1) ? q] ? p n ?1 ? q q q ? ) p n ?1 ? p ?1 p ?1 p ?1

法 2: a n ? a n ?1 ? p(a n ?1 ? a n ?2 ) 利用 ?a n ? a n ?1 ?成等比数列求出 a n ? a n ?1 ,再利用迭代或迭另法求出 a n 法 3:由 a n ? pan ?1 ? q ,则可得

a q ? an ? nn?1 ? n n ?1 ?p p p ? ? a n ?1 a n?2 q a a q q q ? n ?1 ? n ? 2 ? n1? p p ,从而又可得 n ? 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ?p n p p p p p ?........ ? q ? a 2 a1 ? p2 ? p ? p2 ?
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即 an ? p [
n

a1 q 1 1 q [a( p ? 1) ? q] ? p n ?1 ? q ? ? ( ? 2 ? ... ? n ?1 )] ? p p p p p ?1 p
n

(4) p(n) ? p, q(n) ? q n 时, a n ?1 ? pan ? q 两边同除以 p
n

( p ? 0)

例 2:数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 1 , S n = n a n (n ? N *) ,求数列 {a n } 的通
2

项公式. 例 3:数列 {a n } 中,且 a1 ? 1 , a n ?1 ? 3 [提示] 1 ? 1 1 ? 1

2a n ,求数列 {a n } 的通项公式. 2a n ? 1

a n ?1

2 an

[归纳]:类型 II:分式线性递推数列: a n ?1 ?

Can ? D ( A ? 0) Aa n ? B

练习:1.已知数列 ?a n ?中, S n 是其前 n 项和,并且 Sn ?1 ? 4an ? 2(n ? 1, 2,?), a1 ? 1 , ?设数列 bn ? a n ?1 ? 2a n (n ? 1,2,??) ,求证:数列 ?bn ?是等比数列;

an , (n ? 1,2,??) ,求证:数列 ?c n ?是等差数列; 2n ?求数列 ?a n ?的通项公式及前 n 项和。
?设数列 c n ? 分析:由于{b n }和{c n }中的项都和{a n }中的项有关,{a n }中又有 S n?1 =4a n +2,可由 S n? 2 -S n?1 作切入点探索解题的途径. 解 : (1) 由 S n?1 =4a n ?2 , S
n? 2

=4a

n?1

+2 , 两 式 相 减 , 得 S n? 2 -S

n?1

=4(a n?1 -a

n

),即

a n? 2 =4a n?1 -4a n .(根据 b n 的构造,如何把该式表示成 b n?1 与 b n 的关系是证明的关键,注 意加强恒等变形能力的训练) a n? 2 -2a n?1 =2(a n?1 -2a n ),又 b n =a n?1 -2a n ,所以 b n?1 =2b n ① ②
n?1

已知 S 2 =4a 1 +2,a 1 =1,a 1 +a 2 =4a 1 +2,解得 a 2 =5,b 1 =a 2 -2a 1 =3

由①和②得,数列{b n }是首项为 3,公比为 2 的等比数列,故 b n =3·2



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当 n≥2 时,S n =4a n?1 +2=2 n?1 (3n-4)+2;当 n=1 时,S 1 =a 1 =1 也适合上式. 综上可知,所求的求和公式为 S n =2 n?1 (3n-4)+2. 说明:1.本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差,等比数列,求数列 通项与前 n 项和。解决本题的关键在于由条件 S n ?1 ? 4a n ? 2 得出递推公式。 2.解综合题要总揽全局,尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件,在后 面求解的过程中适时应用. 练习:2.设二次方程 a n x 2 - a n+1. x+1=0(n∈N)有两根α 和β ,且满足 6α -2α β +6β =3. (1)试用 a n 表示 a n?1 ;

* 例 9.数列 ?a n ?中, a1 ? 8, a4 ? 2 且满足 a n ? 2 ? 2a n ?1 ? a n n ? N

?求数列 ?a n ?的通项公式;

?设 S n ?| a1 | ? | a 2 | ? ? ? | a n | ,求 S n ;

1 (n ? N * ), Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn (n ? N * ) ,是否存在最大的整数 n(12 ? a n ) m 成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理 m ,使得对任意 n ? N * ,均有 Tn ? 32
?设 bn = 由。
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解: (1)由题意, a n ? 2 ? a n ?1 ? a n ?1 ? a n ,?{a n } 为等差数列,设公差为 d , 由题意得 2 ? 8 ? 3d ? d ? ?2 ,? a n ? 8 ? 2(n ? 1) ? 10 ? 2n . (2)若 10 ? 2n ? 0则n ? 5 , n ? 5时, S n ?| a1 | ? | a 2 | ? ? ? | a n |

8 ? 10 ? 2n ? n ? 9n ? n 2 , 2 n ? 6 时, S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a5 ? a6 ? a7 ? ? a n ? a1 ? a2 ? ? ? an ?
? S 5 ? ( S n ? S 5 ) ? 2S 5 ? S n ? n 2 ? 9n ? 40
故 Sn ?

9n ? n 2

n?5

n 2 ? 9n ? 40 n ? 6 1 1 1 1 1 (3)? bn ? ? ? ( ? ) n(12 ? a n ) 2n(n ? 1) 2 n n ? 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . ? )?( ? )] ? ? Tn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 2(n ? 1) 2 2 2 3 3 4 n ?1 n n n ?1 m n m * * 若 Tn ? 对任意 n ? N 成立,即 对任意 n ? N 成立, ? 32 n ? 1 16 n 1 m 1 ? (n ? N * ) 的最小值是 ,? ? , ? m 的最大整数值是 7。 2 n ?1 16 2 m * 即存在最大整数 m ? 7, 使对任意 n ? N ,均有 Tn ? . 32
说明:本例复习数列通项,数列求和以及有关数列与不等式

构建新数列巧解递推数列竞赛题
递推数列是国内外数学竞赛命题的“热点”之一,由于题目灵活多变,答 题难度较大。 本文利用构建新数列的统一方法解答此类问题,基本思路是根据题 设提供的信息,构建新的数列,建立新数列与原数列对应项之间的关系,然后通 过研究新数列达到问题解决之目的。其中,怎样构造新数列是答题关键。 1 求通项 求通项是递推数列竞赛题的常见题型,这类问题可通过构建新数列进行代 换,使递推关系式简化,这样就把原数列变形转化为等差数列、等比数列和线性 数列等容易处理的数列,使问题由难变易,所用的即换元和化归的思想。 例 1、数列 ?a n ?中, a1 ? 1 , a n?1 ?
1 1 ? 4a n ? 1 ? 24 a n 。求 a n 。 16

?

?

(1981 年第 22 届 IMO 预选题) 分析 本题的难点是已知递推关系式中的 1 ? 24 a n 较难处理,可构建新数
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列 ?bn ?,令 bn ? 1 ? 24 a n ,这样就巧妙地去掉了根式,便于化简变形。 解:构建新数列 ?bn ?,使 bn ? 1 ? 24 a n ? 0 则
2 b1 ? 5 , bn ? 1 ? 24 a n ,即 a n ?

2 bn ? 1 24

?

2 ? bn ?1 ? 1 1 ? b2 ?1 ? ?1 ? 4 ? n ? bn ? ? 24 16 ? 24 ? ?

化简得

?2bn?1 ?2 ? ?bn ? 3?2

?

1 ?bn ? 3? 2 1 数列 ?bn ? 3? 是以 2 为首项, 为公比的等比数列。 2
2bn ?1 ? bn ? 3 ,即 bn?1 ? 3 ?
?1? bn ? 3 ? 2 ? ? ? ?2?
n ?1

? 2 2? n

即 bn ? 2 2?n ? 3

?
2

2 bn ? 1 2 2 n ?1 ? 3 ? 2 n ?1 ? 1 an ? ? 24 3 ? 2 2 n ?1

证明不等式 这类题一般先通过构建新数列求出通项,然后证明不等式或者对递推关系

式先进行巧妙变形后再构建新数列, 然后根据已经简化的新数列满足的关系式证 明不等式。 例 2、设 a0 ? 1 , a n ?
2 1 ? a n ?1 ? 1

a n ?1

?n ? N ? ,求证: an ?

?
2 n?2



(1990 年匈牙利数学奥林匹克试题) 分析
2 利用待证的不等式中含有 ? 及递推关系式中含有 1 ? a n ?1 这两个信

息,考虑进行三角代换,构建新数列 ?? n ?,使 an ? tg? n ,化简递推关系式。
? ?? 证明:易知 a n ? 0 ,构建新数列 ?? n ?,使 an ? tg? n , ? n ? ? 0, ? ? 2?

则 an ?

1 ? tg 2? n ?1 ? 1 tg? n ?1

?

1 ? cos? n ?1 ? ? tg n ?1 sin ? n ?1 2

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? tg? n ? tg ? n?1 , ? n ? ? n?1
2 2

又 a0 ? 1 , a1 ? 2 ? 1 ? tg

?
8

,从而 ? 1 ?

?
8

因此,新数列 ?? n ?是以
?1? ?n ? ? ? ?2?
n ?1

? 1 为首项, 为公比的等比数列。 2 8

?

?
8

?

?
2 n?2

考虑到当 x ? (0, ) 时,有 tgx ? x 。 2 所以, a n ? tg 注:对型如 3 证明是整数 这类题把递推数列与数论知识结合在一起,我们可以根据题目中的信息, 构建新数列,找到新的递推关系式直接解决,或者再进行转化,结合数论知识解 决。 例 3、设数列 ?a n ?满足 a1 ? 1 , a n ?1 ?
2 a ?2
2 n

?

?

2

n?2

?

?

2 n?2
a n ?1 ? a n 都可采用三角代换。 1 ? a n a n ?1

2 1 ? an , 1 ? an ,

1 1 an ? 2 an

(n ? N )

求证:

?N

?n ? N , n ? 1? 。

( 《中学数学教学参考》2001 年第 8 期第 53 页,高中数学竞赛模拟试题) 分析 直接令 bn ?
2
2 an ? 2

,转化为证明 bn ? N
2 a ?2
2 n

(n ? N , n ? 1)

证明:构建新数列 ?bn ?,令 bn ?
4 4 2 ? 2 , a n ?1 ? 2 ? 2 2 bn bn ?1
?1 1 ? ? ? an ? ? ?2 an ? ? ?
2

?0

2 则 an ?

代入 a

2 n ?1

整理得
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2 2 2 bn ?1 ? bn 4 ? 2bn

?

?
(n ? 3)

2 2 2 从而 bn ? bn ?1 ?4 ? 2bn ?1 ?

2 2 2 2 2 于是 bn ?1 ? bn 4 ? 2bn ?1 ?4 ? 2bn ?1 ? ? 2bn ?bn ?1 ? 1?

?

? ?

?

2

(n ? 3)

? bn?1 ? 2bn ?bn2?1 ? 1?

(n ? 3)

由已知,b2 ? 4 ,b3 ? 24 , 由上式可知,b4 ? N ,b5 ? N , 依次类推,bn ? N
(n ? 1) ,即
2
2 an ? 2

?N。

例 4、设 r 为正整数,定义数列 ?a n ?如下: a1 ? 1 , a n ?1 ?
(n ? N )

nan ? 2(n ? 1) 2 r n?2

求证: a n ? N 。 (1992 年中国台北数学奥林匹克试题)

分析

把条件变形为 ?n ? 2?a n ?1 ? nan ? 2?n ? 1? 比较 a n?1 与 a n 前的系数及
2r
2r

a n?1 与 a n 的足码,考虑到另一项为 2?n ? 1? ,等式两边同乘以 ?n ? 1? ,容易想到

构新数列 ?bn ?,使 bn ? n?n ? 1?a n 。 证明:由已知得 ?n ? 2?a n ?1 ? nan ? 2?n ? 1?
2r

? ?n ? 1??n ? 2?an?1 ? n?n ? 1?an ? 2?n ? 1?2r ?1
构建新数列 ?bn ?, bn ? n?n ? 1?a n 则 b1 ? 2 , bn ?1 ? bn ? 2?n ? 1?
2 r ?1

? bn ? b1 ? ? ?bk ?1 ? bk ?
k ?1

n ?1

? 2 1 ? 2 2 r ?1 ? 32 r ?1 ? ? ? n 2 r ?1

?

?

? bn ? N ? bn ? 2n 2r ?1 ? ? ?k 2r ?1 ? (n ? k ) 2r ?1 ?
n ?1 k ?1

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1 2 2 ? 2n 2 r ?1 ? ? n 2 r ?1 ? C 2 r ?1 n 2 r k ? C 2 r ?1 n 2 r ?1 k 2 ? ? ? C 2 rr?1n ? k 2 r k ?1

n ?1

?

?

?

n bn
n n n

又 bn ? ? k 2 r ?1 ? ? (n ? 1 ? k ) 2 r ?1 ? ? k 2 r ?1 ? ?n ? 1 ? k ?
k ?1 k ?1 k ?1

?

2 r ?1

? ?

? ? ?n ? 1?
k ?1

n

?

2 r ?1

1 2 ? C 2 r ?1 ?n ? 1? ? k ? C 2 r ?1 ?n ? 1? 2r

2 r ?1

2 k 2 ? ? ? C 2 rr?1 ?n ? 1?k 2 r

? ?n ? 1? ? n?n ? 1?
4

| bn | bn ,从而 a n ? N 。

解决整除问题 一般通过构建新数列求出通项,再结合数论知识解决,也可用数学归纳法

直接证明。 例 5、设数列 ?a n ?满足 a1 ? 1 , a2 ? 3 ,对一切 n ? N ,有
an? 2 ? ?n ? 3?an?1 ? ?n ? 2?an ,求所有被 11 整除的 a n 的一切 n 值。

(1990 年巴尔干地区数学奥林匹克试题) 分析 变形递推关系式为 a n? 2 ? a n?1 ? ?n ? 2??a n?1 ? a n ? ,就容易想到怎样构

建新数列了。 解:由已知 a n? 2 ? a n?1 ? ?n ? 2??a n?1 ? a n ? 构建新数列 ?bn ??n ? 2?,
bn?1 ? a n?1 ? a n

?n ? 1? ?n ? 2?

则 b2 ? 2 , bn?1 ? ?n ? 1??a n ? a n?1 ? ? ?n ? 1?bn

? bn ? nbn?1 ? n?n ? 1?bn?2 ? ? ? n?n ? 1??3b2 ? n! ?n ? 2? ?
a n ? a1 ? ? ?a n ? a n ?1 ? ? 1 ? ? bk ?? k!
k ?2 k ?2 k ?1
10

n

n

n

从而 a 4 ? 11 ? 3 ,a8 ? 11 ? 4203 ,a10 ? 11 ? 367083 , n ? 11 时, 当 由于 ? k! 被
k ?1

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11 整除,因而 a n ? ? k! ? ? k! 也被 11 整除。
k ?1 k ?11

10

n

所以,所求 n 值为 n ? 4 ,8,及 n ? 10 的一切自然数。 5 证明是完全平方数 这类题初看似乎难以入手,但如能通过构建新数列求出通项 a n ,问题也就 迎刃而解了。 例 6、设数列 ?a n ?和 ?bn ?满足 a0 ? 1 , b0 ? 0 ,且
?a n ?1 ? 7 a n ? 6bn ? 3 ? ?bn ?1 ? 8a n ? 7bn ? 4
① ②

?n ? 0,1,2,??

求证: a n 是完全平方数。 (2000 年全国高中联赛加试题) 分析 先用代入法消去 bn 和 bn?1 ,得 an? 2 ? 14an?1 ? an ? 6 ? 0 ,如果等式中

没有常数项 6,就可以利用特征根方法求通项,因此可令 C n ? a n ? a ,易求得
1 a?? 。 2

证明:由①式得 bn , bn?1 代入②得
an? 2 ? 14an?1 ? an ? 6 ? 0

1? 1? ? 1? ? ? 化为 ? a n ? 2 ? ? ? 14? a n ?1 ? ? ? ? a n ? ? ? 0 2? 2? ? 2? ? ?

构建新数列 ?c n ?, c n ? a n ?

1 1 ,且 c0 ? , 2 2 1 1 7 c1 ? a1 ? ? ?7a0 ? 6b0 ? 3? ? ? 2 2 2
cn ? 2 ? 14?cn ?1 ? ? c n ? 0

由特征方程

?2 ? 14? ? 1 ? 0 得两根

?1 ? 7 ? 4 3 , ?2 ? 7 ? 4 3
所以
n c n ? m1?1 ? m2 ?n 2

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1 ? ?m1 ? m2 ? 2 ? 当 n ? 0 ,1 时,有 ? ?m 7 ? 4 3 ? m 7 ? 4 3 ? 1 2 ? 1 2 ?

?

?

?

?

解得: m1 ? m2 ? 则 cn ?

n n 1 1 7?4 3 ? 7?4 3 4 4 2n 2n 1 1 ? 2? 3 ? 2? 3 4 4

? ?

1 4

?

?

? ?

?

?

则 an ? cn ?

n n 2 1 1? ? 2? 3 ? 2? 3 ? ? ? ? 2 4?

?

? ?

?

因为 2 ? 3 ? 2 ? 3

?

? ?
n

?

n

为正偶数,所以, a n 是完全平方数。

从上述各题构建新数列的过程中,可以看出对题设中递推式的观察、分析, 并据其结构特点进行合理变形, 是成功构建新数列的关键。构建新数列的目的是 为了化繁为简、化未知为已知、化不熟悉为熟悉,这也是解答数学问题的共性之 所在。
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