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高二文科数学试题-及参考答案


青岛国开第一中学 高二数学期中模拟试题一(文)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试科目、填在规定的位 置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,填涂在答题纸上对应的表格内. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应的 位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带 纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

(A) a ? 1, b ? 1 (B) a ? 1, b ? R (C) a ? ?3, b ? R (D) a ? ?3, b ? 3

6.双曲线 |PF1|=3|PF2|, 为 ( D. )

(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点,且 则双曲线离心率的取值范围 A.(1,2) B. C.(3,+ )

7.曲线 y ? e x 在点 (2,e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( A.



第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

9 2 e 4

B. 2e

2

C. e

2

D.

e2 2

一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 2 1.已知复数 z ? ,则 ( ) ?1 ? i A . | z |? 2 B.z 的实部为 1 C.z 的虚部为﹣1 D.z 的共轭复数为 1+i

8. 若双曲线

x2 ? y2=4(m>0)的焦距为 8,则它的离心率为 m
B.

A.

2 3 3

4 15 15

C.

4 3

D.2

2. F 的两个焦点, 过F2且垂直于x轴的直线交于 1 ? ?1,0? , F 2 ?1,0? 是椭圆C
A、B两点, 且 AB ? 3, 则 C 的方程为(

9.已知对任意实数 x ,有 f (? x) ? ? f ( x),g (? x) ? g ( x) ,且 x ? 0 时, f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 ,则 x ? 0 时 ( ) B. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 D. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0


x2 y 2 ?1 (C) ? 4 3 x2 y 2 ?1 (D) ? 5 4


x2 (A) ? y 2 ? 1 2

x2 y 2 ?1 B) ? 3 2

A. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 C. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 10.抛物线 C1 : y ?

3、设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? ?2 ,则抛物线的方程为(

A. y 2 ? ?4 x

B. y 2 ? 4 x

C. y 2 ? ?8x

D. y 2 ? 8x

x2 1 2 x ( p ? 0) 的焦点与双曲线 C2 : ? y 2 ? 1 的右焦点的连线交 C1 于第一象限的点 3 2p
x0 ? x ? x0 ? 平行于 C 2 的一条渐近线,则 p = p

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为 4.双曲线 4 5

M ? x0 , y0 ? ,若 C1 在点 M 处的切线 y ? y0 ?
3 16 3 8

5 x A. y ? ? 4
3

5 x B. y ? ? 2

5 x C. y ? ? 5

2 5 x D. y ? ? 5


A.

B.

C.

2 3 3

D.

4 3 3

5. 函数 y ? x ? ax ? b 在 (?1,1) 上为减函数,在 (1, ??) 上为增函数,则(

第 1 页(共 5 页)

1 1 (Ⅱ)求过点 P ( , )且被 P 平分的弦所在直线的方程. 2 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 设 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? 2 , 若 f (x)在 x=1 处的切线与直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 垂直, 则实数 a 的值为 . 18. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3ax2 ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值. (1)求 a、b 的值;

1 12.复数 z ? (其中 i 为虚数单位)的虚部为 2?i
13.函数 y ? 3x 2 ? 2ln x 的单调减区间为

3] ,都有 f ( x) ? c2 成立,求 c 的取值范围. (2)若对于任意的 x ? [0,

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为 2,则 m 的值等于 14.椭圆 m 4
19. (本小题满分 12 分)用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 15.已知双曲线

x y 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点 F 到一条渐近线的距离为 | OF | ,点 O 为坐标原点, 2 a b 2
.

2

2

2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?

则此双曲线的离心率为

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16.已知 是复数,若 若复数

为实数( 为虚数单位),且

为纯虚数.(1)求复数 ;(2) 的取值范围(3)复数 满足

20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 G: x ? 4 y ? 4 ,过点(0,2)作圆 x2+y2=1 的切线 l 交椭圆 G 于 A,B 两点.
2 2

在复平面上对应的点在第四象限,求实数 ,求| 的最值

(Ⅰ)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (Ⅱ)O 为坐标原点,求△OAB 的面积.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 3x ? 3.
3 2

17. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 +y2=1, 2 (Ⅰ)求该椭圆的焦点坐标、长轴长、短轴长、离心率;

(1)求曲线 y ? f ( x) 在点 x ? 2 处的切线方程; (2)若关于 x 的方程 f ? x ? ? m ? 0 有三个不同的实根,求实数 m 的取值范围

x

2

第 2 页(共 5 页)

? 2 +y =1, 由? 1 1 ?y=kx+2-2k,
2

x2

得(2+4k2)x2+4k(1-k)x+(1-k)2-4=0,……………………………………………9 分 设直线与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 4k(1-k) 则 x1+x2=- =1,…………………………………………………………10 分 2+4k2 1 解之得 k=- .……………………………………………………………………………11 分 2

高二文科数学参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分. CCDBC BDABD 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

∴直线方程为 2x+4y-3=0. …………………………………………………………12 分

(Ⅱ)法二:设直线与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 由题意知,所求直线的斜率存在,设为 k,……………………………………………7 分 则 x1+x2=1,y1+y2=1. ………………………………………………………………8 分
2 x1 +y2 1=1, 2 1 2 2 2 由 2 得 y2 1-y2=- (x1-x2),……………………………………………9 分 2 x2 2 +y2=1, 2

11. -1 12.

?

1 5

13. (0, ) 14.3 或 5

3 3

15.2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) c ? a ? b ? 1 ,∴ a ? 2, b ? c ? 1
2 2 2

? ? ?



y1-y2 1 x1+x2 1 1 =- · =- ,即 k=- ,……………………………………………11 分 2 2 2 x1-x2 y1+y2

∴焦点坐标 ? ?1,0? , ?1,0? ……………………………………………………………………2 分 长轴长 2a ? 2 2 ……………………………………………………………………………3 分 短轴长 2b ? 2 …………………………………………………………………………………4 分 离心率 e ?

1 1 1 ∴直线方程为 y- =- (x- ), 2 2 2 即 2x+4y-3=0. ………………………………………………………………………12 分

18. (本小题满分 12 分) 解: (1) f ?( x) ? 6x ? 6ax ? 3b …………………………………………1 分
2

c 2 ? a 2

………………………………………………………………………6 分

(Ⅱ)法一:由题意可知,该直线的斜率存在,……………………………………7 分 1 1 不妨设所求直线方程为 y- =k(x- ), 2 2 1 1 即 y=kx+ - k. 2 2

因为函数 f ( x ) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值,则有 f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 . 即?

?6 ? 6a ? 3b ? 0, ………………………………………………………3 分 ?24 ? 12a ? 3b ? 0.

解得 a ? ?3 , b ? 4 …………………………………………………………4 分 (2)由(Ⅰ)可知, f ( x) ? 2x ? 9x ? 12x ? 8c ……………………5 分
3 2

第 3 页(共 5 页)

f ?( x) ? 6x2 ?18x ? 12 ? 6( x ?1)( x ? 2) .………………………………6 分
1) 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? (0, , 2) 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? (1 3) 时, f ?( x) ? 0 . 当 x ? (2,
所以,当 x ? 1 时, f ( x ) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c , 又 f (0) ? 8c , f (3) ? 9 ? 8c . 则当 x ??0, 3? 时, f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c .………………10 分 因为对于任意的 x ??0, 3? ,有 f ( x) ? c2 恒成立, 所以 解得

答:当长方体的长为 2 m 时,宽为 1 m,高为 1.5 m 时,体积最大,最大体积为 3 m3。

………………………………………………………………………12 分

20. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)由已知得 a=2,b=1, 所以 c= a2-b2= 3. 所以椭圆 G 的焦点坐标为(- 3,0),( 3,0),………………………………………2 分 3 c 离心率为 e= = .…………………………………………………………………………4 分 a 2 (Ⅱ)设 l 的方程为 y=kx+2,即 kx-y+2=0, 由 l 与圆 x2+y2=1 相切得 =1,……………………………………………………5 分 1+k2 2

9 ? 8c ? c 2 ,
c ? ?1 或 c ? 9 ,

? 1) ? (9, ? ?) .…………………………………………………12 分 因此 c 的取值范围为 (??,

解得 k=± 3.…………………………………………………………………………………6 分 将 y=± 3x+2 代入 x2+4y2-4=0 得 13x2± 16 3x+12=0. ……………………………………………………………………7 分

19. (本小题满分 12 分) 解:设长方体的宽为 x(m) ,则长为 2x(m),高为
h? 18 ? 12x ? 4.5 ? 3x(m) 4 3? ? ? 0<x< ? . 2? ?

设 A(x1,y1),B(x2,y2), ± 16 3 12 则 x1+x2= ,x1x2= ,………………………………………………………………9 分 13 13 |AB|=2 (x1-x2)2=2 (x1+x2)2-4x1x2 =2 ( 16 3 2 12 24 ) -4× = .……………………………………………………………11 分 13 13 13

故长方体的体积为

V ( x) ? 2x 2 (4.5 ? 3x) ? 9x 2 ? 6x 3 (m 3 )

3 (0<x< ). ………………………4 分 2

从而 V ?( x) ? 18x ? 18x 2 (4.5 ? 3x) ? 18x(1 ? x). 令 V′(x)=0,解得 x=0(舍去)或 x=1,因此 x=1. 当 0<x<1 时,V′(x)>0;当 1<x<

又 O 到 AB 的距离 d=1. …………………………………………………………………12 分 1 12 ∴S△OAB= ×|AB|×1= .………………………………………………………13 分 2 13

2 时,V′(x)<0, 3

故在 x=1 处 V(x)取得极大值,并且这个极大值就是 V(x)的最大值。……………10 分 从而最大体积 V=V(x)=9×12-6×13(m3) ,此时长方体的长为 2 m,高为 1.5 m. 第 4 页(共 5 页)

21. (本小题满分 14 分) 解(1) f ?( x) ? 6 x ? 6 x, f ?(2) ? 12, f (2) ? 7,
2

………………………………………2 分

∴曲线 y ? f ( x) 在 x ? 2 处的切线方程为 y ? 7 ? 12( x ? 2) ,即 12 x ? y ? 17 ? 0 ;……4 分 (2)记 g ( x) ? 2x3 ? 3x 2 ? m ? 3, g ?( x) ? 6 x 2 ? 6 x ? 6 x( x ?1) 令 g ?( x) ? 0, x ? 0 或 1. ………………………………………………………………6 分 则 x, g ?( x), g ( x) 的变化情况如下表

x g ?( x ) g ( x)
即?

(??, 0)

0

?
?

0
极大

(0,1) ?
?

1
0
极小

(1, ??)

当 x ? 0, g ( x) 有极大值 m ? 3; x ? 1, g ( x) 有 极小值 m ? 2 . ………………………10 分

?
?

由 g ( x) 的简图知,当且仅当 ?

? g (0) ? 0 , ? g (1) ? 0

?m ? 3 ? 0 , ? 3 ? m ? ?2 时, ?m ? 2 ? 0 函数 g ( x) 有三个不同零点,过点 A 可作三条不同切线. 所以若过点 A 可作曲线 y ? f ( x) 的三条不同切线, m 的范围是 (?3, ?2) .…………14 分

第 5 页(共 5 页)


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