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【优教通,备课参考】2014年高中数学同步教案:第2章 圆锥曲线 双曲线第二课时(北师大版选修1-1)

双曲线的简单几何性质
一、教材分析

教 材 的 地 位 和 作 用

本节课是在学习了“椭圆的几何性质和双曲线的定义、 方程”后进行的, 课程标准要求了解双曲 线的定义、几何图形和标准方程,知道双曲线的有关性质.与已学的椭圆和后续的抛物线比较,本节 课的要求相对较低。 但是本节课渗透的思想方法是相当重要的。 一方面, 本节课是利用双曲线的方程研究其几何性质。 这是解析几何研究的两个主要问题之一, 通过本节课的学习有利于进一步深化坐标法和数形结合的思 想;另一方面,通过类比椭圆学习双曲线的几何性质,有利于培养学生科学的思维方法。

教 学 目 标

知识与技能目标 过程与方法目标 情感态度与价值观

理解双曲线的几何性质并会简单应用。 进一步理解坐标法和数形结合的思想。 培养学生科学的思维方法和思维习惯。

目标

点 难 点

教 学 重

教学重点 教学难点

双曲线的简单几何性质。 双曲线的渐近线。

二、教法学法

教 法 学 法

采用问题式教学,通过问题引导学生类比探究、交流归纳、总结提升,并充分利用 多媒体辅助教学。 通过教师点拨,启发学生主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识 的发现和内化。

三、教学程序 教学环节 教学程序设计 1、复习 (1)双曲线的定义和标准方程? (2)椭圆有哪些简单几何性质? 2、引入 类比椭圆的简单几何性质,猜想双曲线有哪些简单几何性 质? 设计意图 唤起旧知识的记忆,为后续 类比探究做好知识准备。 设问激疑,为学生探究新知 引路。

复 习 旧 知 设 疑 引 路

-1-

x2 y2 以方程 2 ? 2 ? 1 为例研究双 a b
曲线的简单几何性质 1、范围: | x |? a , y ? R 提问: (1)看图可知其范围是什么? (2)类比椭圆如何研究其范围? 引导学生用类比的思维方法 和数形结合的数学方法,先 直观感知双曲线的范围、对 称性和顶点,然后利用方程 进行严格推理证明,这有助 于进一步让学生理解坐标 法,进一步认识数与形的辩 证统一。

类 比 探 究

2、对称性:对称轴为 x , y 轴,对称中心为坐标原点 提问: (1)看图可知其有怎样的对称性? (2)类比椭圆如何研究其对称性? 3、顶点:双曲线与对称轴的交点 顶点坐标

研 究 性 质

A1 (?a,0), A2 (a,0)
双曲线的实轴: A1 A2 ,长为 2 a , 半实轴长 a 双曲线的虚轴: B1B2 ,长为 2b ,半虚轴长 b 提问:与椭圆比较,为什么 B1 (0,?b), B2 (0, b) 不叫双曲线的 顶点?椭圆的短轴与虚轴有什么不同? 4、渐近线: y ? ?

类比推理是抓住了椭圆与双 曲线的相似之处,而对于不 同之处自然会受到负面理

b x a 1 与正切函数 y ? tan x 的图像都 x

提问(1)反比例函数 y ?

解,为了理解双曲线的虚轴 端点、虚轴与椭圆短轴端点 (顶点) 、短轴的不同,设置 这两个问题引导学生理解, 防止知识的负迁移。

有什么共同的显著特点?你对双曲线的图像有什么发现? 《几何画板》验证 (2)渐近线方程如何求解?利用特征三角形;换“1”为 “0” (3) 求出焦点在 y 轴的双曲线渐近线方程并比较焦点位置不 同的双曲线渐近线异同? y ? ?

a x b
渐近线是双曲线的特有性 质,也是教学的难点,但课

-2-

程标准要求相对较低,不要 求严格证明,为了突破难点, 可从通过问题(1)引导学生

(4)等轴双曲线: x 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) ,其渐近 线方程: y ? ? x (5)类比椭圆草图画法,思考双曲线草图的画法? 5、离心率: e ?

问题(5)揭示了渐近线对画 双曲线草图的重要作用。

c a

引导学生发现离心率对双曲 线“张口”大小的影响,通 过多媒体进一步增强学生的 这种认识。

提问: (1)双曲线的离心率范围? (2) 椭圆的离心率刻画了椭圆图形的什么几何特性, 双曲线 的离心率刻画了双曲线的什么几何特性?(适当点拨学生发 现e ?

c b , k ? 的联系) a a

《几何画板》演示 请总结两种标准方程的双曲线的几何性质,并填表 图形 标准 方程 范围 对称 性 顶点 渐近 线 离心 率 回顾总结,进一步加强认识, 使知识系统化。

请比较双曲线与椭圆的几何性质的异同

例 题 研 究

例 1、求双曲线 9 y ? 16x ? 1 的半实轴长和半虚轴长、焦
2 2

通过由方程求性质和性质求 方程的例习题,来反馈学生 对双曲线性质的掌握程度和

点坐标、离心率、渐近方程。

运 用 性 质

例 2、求符合下列条件的双曲线的标准方程: (1) 顶点在 x 轴上,两顶点间的距离是 8, e ? (2) 焦点在 y 轴上,焦距是 16, e ?

简单应用的能力。

5 4

4 3

-3-

小 结 归 纳 拓 展 深 化

引导学生自主总结: 1、知识技能: (1) 学习了双曲线的范围、对称性、顶点坐标、离心率等 概念及其几何意义; (2)渐近线是双曲线特有的性质,必须引起我们的重视; 2、数学思想方法: 数与形的结合,用代数的方法解决几何问题。 3、思维方法:类比推理

培养学生的抽象概括能力, 使所学知识、方法在学生的 认知结构中内化升华。

作 业 布 置 巩 固 提 高

1、必做题 课本 A 组:3 题、4 题; B 组:1 题。 2、选做题 求与双曲线

作业是学生学习信息的反 馈,必做题能巩固本节所学 知识,发现和弥补教学中的

x2 ? y 2 ? 1 有共同渐近线且实轴长为 8 的双曲 4

不足;选做题能让学有余力 的学生有进一步发挥的空 间。

线的标准方程。

板 书 设 计

标准方程 范围 对称性 顶点 渐近线 离心率 几何图示区

例1

例2

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