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高中数学复习专题讲座 对集合的理解及集合思想应用的问题


高中数学复习专题讲座
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对集合的理解及集合思想应用的问题

高考要求 集合是高中数学的基本知识, 为历年必考内容之一, 主要考查对集合基本概念的认识和 理解,以及作为工具,考查集合语言和集合思想的运用 本节主要是帮助考生运用集合的观 点,不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用 重难点归纳 1 解答集合问题,首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素的三要素;对于 用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素 x 以及它所具有的性质 P;要 重视发挥图示法的作用,通过数形结合直观地解决问题 2 注意空集 ? 的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性, 如 A ? B,则有 A= ? 或 A≠ ? 两种可能,此时应分类讨论
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典型题例示范讲解 典型题例示范讲解 2 2 例 1 设 A={(x,y)|y -x-1=0},B={(x,y)|4x +2x-2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在 k、b ∈N,使得(A∪B)∩C= ? ,证明此结论 命题意图 本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力,即能从集合符号上分辨 出所考查的知识点,进而解决问题 知识依托 解决此题的闪光点是将条件(A∪B)∩C= ? 转化为 A∩C= ? 且 B∩C= ? ,这 样难度就降低了 错解分析 此题难点在于考生对符号的不理解,对题目所给出的条件不能认清其实质内 涵,因而可能感觉无从下手 技巧与方法 由集合 A 与集合 B 中的方程联立构成方程组, 用判别式对根的情况进行限 制,可得到 b、k 的范围,又因 b、k∈N,进而可得值 解 ∵(A∪B)∩C= ? ,∴A∩C= ? 且 B∩C= ?
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?y2 = x +1 ∵? ? y = kx + b

∴k2x2+(2bk-1)x+b2-1=0 ∵A∩C= ?

∴Δ1=(2bk-1)2-4k2(b2-1)<0 ∴4k2-4bk+1<0,此不等式有解, 其充要条件是 16b2-16>0, 即 b2>1 ①

?4 x 2 + 2 x ? 2 y + 5 = 0 ∵? ? y = kx + b

∴4x2+(2-2k)x+(5+2b)=0

∵B∩C= ? ,∴Δ2=(1-k)2-4(5-2b)<0 ∴k2-2k+8b-19<0, 从而 8b<20, 即 b<2 5 ② 由①②及 b∈N,得 b=2 代入由Δ1<0 和Δ2<0 组成的不等式组,得
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?4k 2 ? 8k + 1 < 0, ? ∴k=1,故存在自然数 k=1,b=2,使得(A∪B)∩C= ? ? 2 ?k ? 2 k ? 3 < 0 ?
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例 2 向 50 名学生调查对 A、B 两事件的态度,有如下结果 赞成 A 的人数是全体的五 分之三,其余的不赞成,赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人,其余的不赞成;另外,对 A、B 都不 赞成的学生数比对 A、B 都赞成的学生数的三分之一多 1 人 问对 A、B 都赞成的学生和都 不赞成的学生各有多少人? 命题意图 在集合问题中,有一些常用的方法如数轴法取交并集,韦恩图法等,需要考
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生切实掌握 本题主要强化学生的这种能力 知识依托 解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件,想到用韦恩图直观地表示出来
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错解分析 本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂,一时理不清头绪,不好找线索
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技巧与方法 画出韦恩图,形象地表示出各数量关系间的联系
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3 =30,赞成 B 的人数为 U 5 A B 30+3=33,如上图,记 50 名学生组成的集合 为 U,赞成事 X 件 A 的学生全体为集合 A; 赞成事件 B 的学 生全体为集合 33-X 30-X B X +1 3 设对事件 A、B 都赞成的学生人数为 x, 则对 A、B 都 x 不赞成的学生人数为 +1,赞成 A 而不赞成 B 的人数为 30-x,赞成 B 而不赞成 A 的人数为 3 33-x x 依题意(30-x)+(33-x)+x+( +1)=50,解得 x=21 3 所以对 A、B 都赞成的同学有 21 人,都不赞成的有 8 人 例 3 已知集合 A={(x,y)|x2+mx-y+2=0},B={(x,y)|x-y+1=0,且 0≤x≤2},如果 A∩B≠ ? , 求实数 m 的取值范围
解 赞成 A 的人数为 50×
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? x 2 + mx ? y + 2 = 0 解 由? ? x ? y + 1 = 0(0 ≤ x ≤ 2)
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得 x2+(m-1)x+1=0



∵A∩B≠ ? ∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解 首先,由Δ=(m-1)2-4≥0,得 m≥3 或 m≤-1,当 m≥3 时,由 x1+x2=-(m-1)<0 及 x1x2=1>0 知,方程①只有负根,不符合要求 当 m≤-1 时,由 x1+x2=-(m-1)>0 及 x1x2=1>0 知,方程①只有正根,且必有一根在区 间(0,1]内,从而方程①至少有一个根在区间[0,2]内 故所求 m 的取值范围是 m≤-1
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