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福建省师大附中2014-2015学年高二数学上学期期中试题 理


福建师大附中 2014-2015 学年第一学期半期考试卷 高二数学必修 5(理科)
(满分:150 分,时间:120 分钟) 本试卷分第 I 卷(模块考试)和第 II 卷(能力考试)两部分,共 150 分,考试时间 120 分 钟。请将答案填写在答卷上,考试结束后只交答案卷. 第 I 卷(模块考试卷,共 100 分) 一、选择题: (每小题 5 分,共 35 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求) 1.若 a>b,则不等式成立的是 A.a+c<b+c B.b-a<0 C. ( )

1 1 ? a b

D.

a ?1 b


2.已知等差数列 {an } ,若 a1 ? a2 ? 4 , a3 ? a4 ? 16 ,则该数列的公差为( A.2 3. 原命题为“若 B.3 C.6 D.7

an ? an ?1 ? an , n ? N * ,则 ?an ? 为递减数列” ,关于逆命题、否命题、逆 2


否命题真假性的判断依次如下,正确的是(

A.真,真,真
2

B.假,假,真

C.真,真,假

D.假,假,假
( )

1 0 0? ”的一个必要不充分条件是 4.设 x ? R , “ x ? 3x ?
A. ?2 ? x ? 5 C. ?5 ? x ? 2 5.在△ABC 中,若 B. ? 2 ? x ? 0 D. ?2 ? x ? 6

3 a = b sinA ,则 B 为 ( 2
B.



A.

?
3



2? 3

? 6

C.

? 3

D.

?
6



5? 6


6.在等差数列 ?an ? 中,若 a4 ? a6 ? 12, S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和,则 S 9 的值为 ( A.48 B.54 C. 60 ( ) D.66

7.在下列函数中,最小值是 2 的是 A. y ?

x 5 ? 5 x
x ?x

B. y ? lg x ?

1 (1 ? x ? 10) lg x
2 ? (0 ? x ? ) sin x 2


C. y ? 3 ? 3 ( x ? R) 二、填空题: (每小题 4 分,共 16 分)

D. y ? sin x ?

2 8. 命题“ ? x ? R , x ? 2 x+1 ≥ 0 ”的否定是

1

9 . 已 知 关 于 x 的 不 等 式 ax ? 5 x ? c ? 0 的 解 集 为 {x 2 ? x ? 3} , 则 关 于 x 的 不 等 式
2

cx 2 ? 5 x ? a ? 0 的解集是

.

10.已知 a, b, c 分别为锐角 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边,且 b ? 1, c ? 2 ,则边长 a 的取 值范围是 .

11. 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 log2 (Sn ? 1) ? n ? 1, n ? N ? , 则 an ? ______________. 三、解答题: (本大题共 4 小题,共 49 分) 12.(本小题满分 12 分) 福州市某大型家电商场为了使每月销售空调和冰箱获得的总利润达到最大,对某月即将出售 的空调和冰箱进行了相关调查,得出下表: 每台空调或冰箱所需资金(百元) 月资金最多供应量 (百元) 空调 冰箱 进货成本 30 20 300 工人工资 5 10 110 每台利润 6 8 问:如果根据调查得到的数据,该商场应该怎样确定空调和冰箱的月供应量,才能使商 资金 场获得的总利润最大?总利润的最大值为多少元? 13.(本小题满分 12 分) 如图, 为测量山高 MN , 选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从 A 点 测得 M 点的仰角为 60 ? , C 点的仰角为 45 ? 以及 ?MAC ? 75? ;从 C 点测得

?MCA ? 60? .已知山高 BC ? 100m ,求山高 MN .
14 . (本小题满分 12 分) 已知 ?an ? 是等差数列, 满足 a1 ? 3 , 且 ?bn ? an ? a4 ? 12 .数列 ?bn ? 满足 b1 ? 4 , b4 ? 20 , 是等比数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?bn ? 的前 n 项和. 15. (本小题满分 13 分) 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边,且 a - c = (Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)求 cos ? 2 A ?

6 b , sin B = 6

6 sin C .

? ?

??

? 的值. 6?
2

第Ⅱ卷(能力提高卷,共 50 分) 一、选择题: (每小题 5 分,共 10 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求) 16. 不等式组 ?

? x ? y ? 1, 的解集为 D,有下面四个命题: ? x ? 2 y ? 4,
p2 : ?(x, y) ? D, x? 2 y ? 2 , p4 : ?(x, y) ? D, x ? 2 y ? ?1,

p1 : ?(x, y) ? D, x? 2 y ? ?2 , p3 : ?(x, y) ? D, x? 2 y ? 3
其中的真命题是( A. p2 , p3 )

B. p1 , p2

C. p1 , p3

D. p1 , p4 ) D. 7 ? 4 3

17. 若 log ( ? log2 4 3a ? 4b) A. 6 ? 2 3

ab, 则a ? b 的最小值是(
C. 6 ? 4 3

B. 7 ? 2 3
2

二、填空题: (每小题 4 分,共 16 分) 18.关于 x 的一元二次方程 x ? 2(a ? 1) x ? (a ?1) ? 0 的一个根大于 1,一个根小于 1,则 实数 a 的取值范围是 19. 已知函数 f ( x) ?
2



76 x ,则 f ? x ? 的最大值为__________. x ? 18 x ? 100

20. 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a ? 2 ,且

(a ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ,则 ?ABC 面积的最大值为____________.
21. 五位同学围成一圈依序循环报数,规定: ①第一位同学首次报出的数为 1,第二位同学首次报出的数也为 1,之后每位同学所报出的 数都是前两位同学所报出的数之和; ②若报出的数为 3 的倍数,则报该数的同学需拍手一次 已知甲同学第一个报数,当五位同学依序循环报到第 100 个数时,甲同学拍手的总次数 为 . 三、解答题: (本大题共 2 小题,共 24 分) 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ax ? ? a ? 2? x ? 2 ( a 为常数).
2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,解 关于 x 的不等式 f ? x ? ? 0 ; (Ⅱ) 当 a ? 0 时,解关于 x 的不等式 f ? x ? ? 0 . (Ⅲ)若对于任意 x ?? 2,3? ,总有 f ?x ? ? 0 成立,求实数 a 的取值范围.

3

23.(本小题满分 12 分) 设数列 {an } 的通项公式为 an ? pn ? q(n ? N * , p ? 0) ,数列 {bn } 定义如下:对于正整 数 m, bm 是使得不等式 an ? m 成立的所有 n 中的最小值. (Ⅰ)若 p ?

1 1 , q ? ? ,求 b3 ; 2 3

(Ⅱ)若 p ? 2, q ? ?1 ,求数列 {bm } 的前 2m 项和公式; (Ⅲ)是否存在 p 和 q ,使得 bm ? 3m ? 2(m ? N ? ) ?如果存在,求 p 和 q 的取值范围;如 果不存在,请说明理由.

4

高二数学必修 5(理) 参考答案 1 - 7 : BBADA BC
2 8. ? x ? R , x ? 2 x+1 ? 0

9. ? x x ?

? ?

1 1? 或x ? ? 2 3?

10 . 3 ? a ? 5

11. an ? ?

? 3, n ? 1 n ?2 , n ? 2

12. (本小题满分 12 分) 解:设每月调进空调和冰箱分别为 x, y 台,总利润为 z (百元)则由题意,得 y

?30 x ? 20 y ? 300 ? 3x ? 2 y ? 30 ? ? ? 5 x ? 10 y ? 110 , 即 ? x ? 2 y ? 22 ? x ? 0, y ? 0 ? x ? 0, y ? 0 ? ?

3x ? 2 y ? 30
15 11

目标函数是 z ? 6 x ? 8 y ,

x ? 2 y ? 22
10 x

画图,得 ?

?3x ? 2 y ? 30 的交点是 P(4,9) ? x ? 2 y ? 22

0

22

zmax ? 6 ? 4 ? 8 ? 9 ? 96 (百元)

3x ? 4 y ? 0

所以,每月调进空调和冰箱分别为 4 台和 9 台,总利润最大,最大值为 9600 元. 13. (本小题满分 12 分) ABC , 已 知 ? CAB 45? , ? ABC 90? , BC = 100 , 易 得 : 解:根据题意,在 D

MAC 中 , ? MAC AC = 100 2 ; 在 D ? AMC 45? ,由正弦定理可解得:

75? , ? MCA 60? , AC = 100 2 , 易 得 :

AC AM = , sin 行 AMC sin ACM

即: AM =

100 2 3 ? 100 3 ; 2 2 2
60? , ? MNA 90? , AM = 100 3 ,易得: MN = 150m .

AMN 中,已知 ? MAN 在D
14. (本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由题意得: d ? 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 3n(n ? 1, 2,?), 设等比数列 ?bn ? an ? 的公 比为 q ,由题意得: q ?
3

a4 ? a1 12 ? 3 ? ? 3, 3 3

b4 ? a4 20 ? 12 ? ? 8, 解得 q ? 2 . b1 ? a1 4?3

所以 bn ? an ? (b1 ? a1 )qn?1 ? 2n?1, 从而 bn ? 3n ? 2n?1 (n ? 1, 2,?)

5

(Ⅱ)由(1)知, bn ? 3n ? 2n?1 (n ? 1, 2,?), 数列 ?3n? 的前 n 项和为 数列 ?bn ? 的前 n 项和为

3 1 ? 2n n( n ? 1), 数列 ?2n ?1? 的前 n 项和为 1? ? 2n ? 1, 2 1? 2

3 n( n ? 1) ? 2 n ? 1. 2

15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)∵ sin B =

6 sin C ,∴ b ? 6c ,代入 a - c =

6 b ,解得 a ? 2c , 6

由余弦定理得 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 6c 2 ? c 2 ? 4c 2 6 . ? ? 2bc 4 2 6c2
10 , 4
1 15 2 2 , cos 2 A ? cos A ? sin A ? ? , 4 4

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 sin A ?

∴ sin 2 A ? 2sin A cos A ?

?? 3 1 15 ? 3 ? cos ? 2 A ? ? ? cos 2 A ? sin 2 A ? 6? 2 2 8 ?
16. B 17. D 18.

a ? ?4

19. 2

20.

3

21. 5

21. (本小题满分 12 分) 解:原不等式可化为 (ax ? 2)( x ? 1) ? 0 (Ⅰ)当 a ? 1 时,不等式等价于 ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 , ∴原不等式的解集为 {x |1 ? x ? 2} . (Ⅱ)∵原不等式等价于 (ax ? 2)( x ? 1) ? 0 , ∵a ? 0, 当 ∴ ( x ? )( x ? 1) ? 0 ∴ a( x ? )( x ? 1) ? 0 ∴1 ? x ? 2

2 a

2 a

2 2 ? 1 ,即 0 ? a ? 2 时,解集为 {x |1 ? x ? } a a 2 当 ? 1 ,即 a ? 2 时,解集为 ? a 2 2 当 ? 1 ,即 a ? 2 时,解集为 {x | ? x ? 1} a a 2 (Ⅲ) (3)若对于任意 x ?? 2,3? , 总有 f ?x ? ? 0 即 a( x ? x) ? 2 x ? 2 ? 0 成 立;

6

即对于任意 x ?? 2,3? , a ? 当 x ?? 2,3? ,

2 x ? 2 2( x ? 1) 2 ? ? 成立 x 2 ? x x( x ? 1) x
?a ?1

2 2 ? ?1 3 x

23. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意,得 an ? ∴

1 1 1 1 20 n ? ,解 n ? ? 3 ,得 n ? . 2 3 2 3 3

1 1 n ? ? 3 成立的所有 n 中的最小整数为 7,即 b3 ? 7 . 2 3 m ?1 . 2

(Ⅱ)由题意,得 an ? 2n ? 1, 对于正整数,由 an ? m ,得 n ? 根据 bm 的定义可知

* * 当 m ? 2k ? 1 时, bm ? k k ? N ;当 m ? 2 k 时, bm ? k ? 1 k ? N .

?

?

?

?

∴ b1 ? b2 ??? b2m ? ?b1 ? b3 ? ?? b2m?1 ? ? ?b2 ? b4 ? ?? b2m ?

? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? m ? ? ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? m ? 1? ? ?

?

m ? m ? 1? m ? m ? 3? ? ? m 2 ? 2m . 2 2

(Ⅲ)假设存在 p 和 q 满足条件,由不等式 pn ? q ? m 及 p ? 0 得 n ?

m?q . p

∵ bm ? 3m ? 2(m ? N ? ) ,根据 bm 的定义可知,对于任意的正整数 m 都有

3m ? 1 ?

m?q ? 3m ? 2 ,即 ?2 p ? q ? ?3p ? 1 ? m ?? p? q 对任意的正整数 m 都成立. p p?q 2p ? q (或 m ? ? ) , 3 p ?1 3 p ?1

当 3 p ? 1 ? 0 (或 3 p ? 1 ? 0 )时,得 m ? ? 这与上述 结论矛盾! 当 3 p ? 1 ? 0 ,即 p ?

1 2 1 2 1 时,得 ? ? q ? 0 ? ? ? q ,解得 ? ? q ? ? . 3 3 3 3 3

∴ 存在 p 和 q,使得 bm ? 3m ? 2(m ? N ? ) ;

p 和 q 的取值范围分别是 p ?

1 2 1 ,? ? q ? ? . 3 3 3

7


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