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人教B版必修四1.2.1三角函数的定义


任意角的三角函数
班级___姓名____ 学习目标: 1.掌握任意角的三角函数的定义; 2.已知角α 终边上一点,会求角α 的各三角函数值; 重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象 限的符号) ,公式。

课前预习案
1.三角函数定义: 在直角坐标系中,设α 是一个任意角,α 终边上任意一点 P (除了原点)的坐标为 ( x, y ) ,
2 2 它与原点的距离为 r (r ? | x | ? | y | ?

x 2 ? y 2 ? 0) ,那么

y y 叫做α 的____,记作____,即 sin ? ? ; r r x x (2)比值 叫做α 的____,记作____,即 cos ? ? ; r r y y (3)比值 叫做α 的____,记作____,即 tan ? ? ; x x x x (4)比值 叫做α 的____,记作____,即 cot ? ? ; y y
(1)比值 说明:①α 的始边与 x 轴的正半轴重合,α 的终边没有表明α 一定是正角或负角,以及α 的大小,只表明与α 的终边相同的角所在的位置; ②根据相似三角形的知识,对于确定的角α ,四个比值不以点 P( x, y) 在α 的终边上的位 置的改变而改变大小; ③当 时,α 的终边在 y 轴上,终边上任意一点的横坐标 x 都等于 0 ,

? ? ___________ y x 所以 tan ? ? 无意义;同理当 ? ? __________ 时, cot? ? 无意义; x y y x y x ④除以上两种情况外,对于确定的值α ,比值 、 、 、 分别是一个确定的实数, r r x y
正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量,比值为函数值的函数,以上四种函数统称为三 角函数。 2.三角函数的定义域、值域 函 数 定 义 域

y ? sin ? y ? cos ?
y ? tan ?
注意: (1)在平面直角坐标系内研究角的问题,其顶点都在原点,始边都与 x 轴的正半轴重合 (2) α 是任意角,射线 OP 是角 α 的终边,α 的各三角函数值(或是否有意义)与 ox 转 了几圈,按什么方向旋转到 OP 的位置无关.

(3)sin ? 是个整体符号,不能认为是“sin”与“α ”的积.其余五个符号也是这样. (4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别: 锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例,它们的基础共建立于相似(直角)三角 形的性质,“r”同为正值. 所不同的是,锐角三角函数是以边的比来定义的,任意角的 三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函 数的定义.实质上,由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的 认识和研究过程. (5)为了便于记忆,我们可以利用两种三角函数定义的一致性,将直角三角形置于平面直 角坐标系的第一象限,使一锐角顶点与原点重合,一直角边与 x 轴的非负半轴重合,利用 我们熟悉的锐角三角函数类比记忆 3.三角函数的符号 由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知:

y 对于第___象限为正,对于第___象限为负; r x ②余弦值 cos ? ? 对于第___象限为正,对于第___象限为负; r y ③正切值 tan ? ? 对于第___象限为正,对于第___象限为负. x
①正弦值 sin ? ? 说明:若终边落在轴线上,则可用定义求出三角函数值。

sin ? csc ? t an? cot?

正弦 、余割 余弦 、正割 正切 、余切
为正 全正

y

y

y

为正

cos? sec ?

为正

+ o -

+ x

o

+ + x

- + o x + -

课堂教学案
合作探究一:三角函数的定义 例1. 已知角α 的终边经过点 P(2t , ?3t ) ,求α 的六个函数值。

拓展变式:已知角α 的终边在直线 y=-2x 上,求 sinα ,cosα ,tanα 值。

例2.

求下列各角的六个三角函数值 (1)3π (2)

? 2

合作探究二:三角函数在各象限的符号 例 3. 确定下列三角函数值的符号: (1) cos 250 ; (2) sin( ?

?
4

);

(3) tan(?672 ) ;

(4) tan

11? . 3

拓展变式:1.函数 y ?

cos x cos x

?

tan x 的值域____________ tan x

2.函数 y ?

sin x cos x tan x cot x 的值域_________ ? ? ? sin x cos x tan x cot x

例 4.设 cosα >0,且 tanα <0,(1)求角α 的集合; (2)角

? 终边所在象限。 2

当堂检测 1.已知角?的终边经过 P(4,?3),求 2sin?+cos?的值

2.已知角 ? 的终边上一点 P(? 3, m) ,且 sin ? ?

2m ,求 m 及 cos ? ,sin ? 的值。 4

3.确定下列各角的正弦、余弦、正切值的符号: (1) 885 ;
0

(2) ?395 ;
0

(3)

19? ; 6

(4) ?

25? 3


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