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1.1.3集合的基本运算——上课用


1.1.3 集合的基本运算

思考:

类比引入

两个实数除了可以比较大小外, 还可以进行加法运算,类比实数的 加法运算,两个集合是否也可以 “相加”呢?

思考:

类比引入

考察下列各个集合,你能说出集合C与集 合A、B之间的关系吗?
(1) A={1,3,5}, B={2,4,6},

C={1,2,3,4,5,6}.

(2)A={x|x是有理数}, B={x|x是无理数}, C={x|x是实数}. 集合C是由所有属于集合A或属于B 的元素组成的.

并集概念
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所 组成的集合,称为集合A与B的并集(Union set). 记作:A∪B(读作:“A并B”)

即: A∪B ={x| x ∈ A ,或x ∈ B}
说明:两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只看成一个元素).
Venn图表示: A
A∪B

B

A
A∪B

B

A
A∪B

B

并集例题
例1.设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8}, 求AUB. ? { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } ? B ? { 4 , 5 , 6 , 8 } ? { 3 , 5 , 7 , 8 } 解:A

例2.设集合A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3}, 求AUB. 解:A ? B ? { x | ? 1 ? x ? 2 } ? { x | 1 ? x ? 3 } ? ? ? x |? 1 ? x ? 3
可以在数轴上表示例2中的并集,如下图:

并集性质 ①A∪A=

; ②A∪?=



③A∪B=____;

④A____A∪B;B____A∪B

⑤A∪B=A

? B____A

类比引入

思考: 求集合的并集是集合间的一种运 算,那么,集合间还有其他运算吗?

思考:

类比引入

考察下面的问题,集合C与集合A、B之 间有什么关系吗?
(1) A={2,4,6,8,10}, B={3,5,8,12}, C={8}. (2)A={x|x是新华中学2004年9月在校的女同学}, B={x|x是新华中学2004年9月入学的高一年级同学}, C={x|x是新华中学2004年9月入学的高一年级女同学}.

集合C是由那些既属于集合A且又属于集合 B的所有元素组成的.

交集的概念 交集概念
一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组 成的集合,称为A与B的交集(intersection set). 记作:A∩B(读作:“A交B”)

即: A ∩ B ={x| x ∈ A 且x ∈ B}
说明:两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合A 与B 的公共元素组成的集合.
Venn图表示: A
A∩B

B
A∩B

B

A
A∩B

B

交集例题
例3 新华中学开运动会,设
A={x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}, B={ x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学},

求 A ? B. 解: A ? B 就是新华中学高一年级中那些既参 加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合.
所以, A ? B ={x|x是新华中学高一年级既参加 百米赛跑又参加跳高比赛的同学}.

交集例题
例4 设平面内直线 l 1 上点的集合为 L 1 ,直线 l 2上点的集合 l 2 的位置关系. 为 L 2 ,试用集合的运算表示 l 1 、 解: 平面内直线 l 1 、 l 2 可能有三种位置关系,即相交于 一点,平行或重合.

l 2 相交于一点P可表示为 (1)直线 l 1 、
L 1 ?L 2 ={点P}

l 2 平行可表示为 (2)直线 l 1 、
L L 1? 2?

l 2 重合可表示为 (3)直线 l 1 、
L ? L ? L ? L 1 2 1 2

交集性质

①A?A=

;②A??=



③A?B____B?A ④A?B____A ;A?B____B

⑤A?B=A?A____B

实例引入 问题:
在下面的范围内求方程 的解集: (1)有理数范围;(2)实数范围.
2 ? ? ? ? x ? 2 x ? 3 ? 0

并回答不同的范围对问题结果有什么影响? 解:(1)在有理数范围内只有一个解2,即:

? ? ? ? ? ? ? ? x ? Q x ? 2 x ? 3 ? 0 ? 2
2 2

(2)在实数范围内有三个解2, 3 , ? 3 ,即:

? ? ? ? ? ? ? ? x ? R x ? 2 x ? 3 ? 0 ? 2 ,3 , ? 3
答:同一问题不同的范围,问题结果可能也不同。

全集概念

一般地,如果一个集合含有我们 所研究问题中所涉及的所有元素,那 么就称这个集合全集(Universe set).通常记作U.
注:通常也把给定的集合作为全集

补集概念
对于一个集合A ,由全集U中不属于集合A的所 有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集U 的补集 (complementary set),简称为集合A的补集.

记作: A
即: A={x| x ∈ U 且x ? A}
说明:补集的概念必须要有全集的限制. Venn图表示:

U
A A

A

U

?u A

性质

(1) (2)

A ( ? )?U uA
Φ A ( ? A ) ? u

补集例题
例5.设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3}, B={3,4,5,6},求 A, B.

解:根据题意可知:
U={1,2,3,4,5,6,7,8}, 所以: A={4,5,6,7,8}, B={1,2,7,8}.

说明:可以结合Venn图来解决此问题.

补集例题
例6.设全集U={x|x是三角形},A={x|x是锐角三 角形},B={x|x是钝角三角形}.

求A∩B,

(A∪B)

解:根据三角形的分类可知 A∩B= ? , A∪B= {x|x是锐角三角形或钝角三角形}, (A∪B)={x|x是直角三角形}.

课堂练习
? 课本11页练习1、2、3、4

作业布置
1.三导:练习三 周一交 2.课本习题1.1A组1~5写书上 检查

知识小结
1.求集合的并、交、补是集合间的基本运算, 运算结果仍然还是集合. 2.区分交集与并集的关键是“且”与“或”, 在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字 眼出发去揭示、挖掘题设条件. 3.注意结合Venn图或数轴进而用集合语言表 达,增强数形结合的思想方法.

? { xx? 5 } , 例7. 设全集为R, A B ? { xx? 3 } .求
⑴ ⑶ ⑸ ⑹

A B;



A B;
R

痧 , RB ; RA
R

? ? ?B ?; A ?痧 ? ?B ?;
⑷ 痧 A R
R



? ( A B ) ; R ? ( A B ) . R

小 结

? )= ? 痧 A ? R R(A B
痧 A = ? ( A B ) ? ? R R

?B ?;
R

?B ?.
R

1.已知x∈R,集合A={-3,x2,x+1},B={x-3,2x- 1,x2+1},如果A∩B={-3},求A∪B。

2. 已知集合A={x -2≤x≤4},B={x x>a}

①若A∩B=φ,求实数a的取值范围;
②若A∩B=A,求实数a的取值范围.


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