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2015-2016学年人教B版高中数学课件 选修2-3:第一章 计数原理 2.3《排列组合的应用》课时1


1.1.3 排列组合的应用 (一)

(1)使学生掌握组合数的计算公式、组合数 (2)会用排列数公式和组合数公式解决实际问题. (3)通过学习组合知识,让学生掌握类比的学习方 法,并提高学生分析问题和解决问题的能力.

本节课,我们对有关排列组合的几种常见的解 题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难

点,通过我们平时做的练习题,不难发现排列组合
题的特点是条件隐晦,不易挖掘,题目多变,解法 独特,数字庞大,难以验证。同学们只有对基本的 解题策略熟练掌握。根据它们的条件 ,我们就可以 选取不同的技巧来解决问题.

对于一些比较复杂的问题 ,我们可以将几种策略
结合起来应用把复杂的问题简单化,举一反三,触 类旁通,进而为后续学习打下坚实的基础。

1.排列的定义: 从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的顺 序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个排列. 2.组合的定义: 从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组,叫 做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 3.排列数公式:
An
m

? n(n ? 1)(n ? 2) ?(n ? m ? 1)

n! ? (n ? m)! m A n( n ? 1)(n ? 2) ? ( n ? m ? 1) m n ? 4.组合数公式: Cn ? m m! Am

n! ? m!( n ? m)!

排列与组合的区别与联系:与顺序有关为排列问题,与 顺序无关的为组合问题.

有限制条件的排列组合问题
有限制条件的排列组合综合问题是主要考 查方向.解决此类问题要遵循“谁特殊谁 优先 _______”的原则,采取分类或分步,或用 选 间接法处理;对于选排列问题可采用先 ____ 排 的方法,分配问题的一般思路是先 后______ 选取 __________ 再分配.

有限制条件的排列组合问题常用方法 一、直接法

1.优限法:先特殊后一般 2.捆绑法:元素相邻

3.插空法:元素不相邻
4.其它方法:元素限制条件多
二、间接法(排除法)

一、直接法 1.优限法: 有特殊元素或特殊位置,通常先排特殊元素或特殊 位置,称为“优限法”.

例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字
五位奇数.

画龙点睛:特殊元素和特殊位置优先策略

例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数.

解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 以免不合要求的元素占了这两个位置
1 3 先排末位共有________

C

1 然后排首位共有______ 4

C

3 4 最后排其它位置共有_______

A

C

1 4

3 A4

C

1 3

由分步计数原理得

3 C C A4 =288

1 3

1 4

位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最
常用也是最基本的方法。

例2.七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩,
三家是女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。 (1)若其中的A小孩必须站在B小孩的左边,有 多少种不同的排法?
解:A在B左边的一种排法 必对应着A在B右边的一种 排法,所以在全排列中, A在B左边与A在B右边的排 法数相等,因此有:
1 2

A

B

B

(种) A ? 2520
7 7

A

排法。

例2.七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩, 三家是女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。

(1)若其中的A小孩必须站在B小孩的左边,有 多少种不同的排法?

A
5 7

B

A ? 2520

例2.七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩,

三家是女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。
(2)若前排站三人,后排站四人,其中的A.B两小 孩必须站前排且相邻,有多少种不同的排法?

B A
2 2 A 解:A,B两小孩的站法有: 2 (种),其余人的站法 5 2 5 有 A5(种),所以共有 2 A2 ? A5 ? 480 (种) 排法。

变式 1. 将 5列车停在 5条不同的轨道上,其中 a列车不

停在第一轨道上,b列车不停在第二轨道上,那么不同
的停放方法有( ).

(A)120种 (B)96种 (C)78种 (D)72种

4 解: 4

A ? A ? A ? A ? 78
1 3 1 3 3 3

A ? 2 A ? A ? 78
5 5 4 4 3 3

练习题1
7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种 葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里, 问有多少不同的种法?

AA
4

2

5 5

? 1440

例 2. 七个家庭一起外出旅游,若其中四家是一个 男孩,三家是一个女孩,现将这七个小孩站成一排 照相留念。 (3)若三个女孩要站在一起,有多少种不同的排法?

捆绑法

5 A 解:将三个女孩看作一人与四个男孩排队,有 5 种 3 A 排法,而三个女孩之间有 3 种排法,所以不同的排

5 3 ? A3 ? 720(种)。 法共有:A5

例2.七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩, 三家是女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。
(4)若三个女孩要站在一起,四个男孩也 要站在 一起,有多少种不同的排法?

(种) 不同的排法有:A ? A ? A ? 288
2 2 3 3 4 4

捆绑法一般适用于 相邻 问题的处理。

一、直接法 2.捆绑法:用于解决元素相邻问题

例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁
相邻, 共有多少种不同的排法.

变式1. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解: 甲乙 丙丁
5 2 2 5 A2 A2

由分步计数原理可得共有A

=480

种不同的排法
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用

捆绑法来解决问题.

练习1.
5个男生3个女生排成一排,3个女生
要排在一起,有多少种不同的排法? 解:共有 A A ? 4320 种不同的排法.
6 6 3 3

例2.七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩, 三家是女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。 (5)若三个女孩互不相邻,有多少种不同的排法?

4 解:先把四个男孩排成一排有 A4 种排法,在每一排 列中有五个空档(包括两端),再把三个女孩插入 3 4 3 空档中有 A5 种方法,所以共有: A4 ? A5 ? 1440(种) 排法。

例2.七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩, 三家是女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。

(5)若三个女孩互不相邻,有多少种不同的排法?

插空法

例2.七个家庭一起外出旅游,若其中四家是男孩, 三家是女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。

(6)若三个女孩互不相邻,四个男孩也互不相 邻,有多少种不同的排法?

不同的排法共有:

(种) A ? A ? 144
4 4 3 3

插空法一般适用于 互不相邻 问题的处理。

一、直接法
3.插空法:元素不相邻宜采用插空法
变式 1. 一个晚会的节目有 4 个舞蹈 ,2 个相

声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目
的出场顺序有多少种?

变式1.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,

舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种?
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有 尾两个空位共有种
5 5

A 种,

第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首

A

4 6

不同的方法,

由分步计数原理,节目的不同顺序共有

A A
5 5

4 6

种.

元素不相邻问题可先把没有位置要求的元素进行排队 相 独 独 独 相 再把不相邻元素插入中间和两端

练习1:
某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开 演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插 入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同 插法的种数为

30

.

课堂练习:
(1)三个男生,四个女生排成一排,男生、女生

各站一起,有几种不同方法?
捆绑法:A ? A ? A
2 2 3 3 4 4

(2)三个男生,四个女生排成一排,男生之间、 女生之间不相邻,有几种不同排法? 插空法: A ? A
3 3 4 4

( 3 )用 1、2、3、4、5、6、7、8 组成
没有重复数字的八位数,要求1与2相邻,3与 4相邻,5与6相邻,而7与8不相邻,这样的

八位数共有___________个.(用数字作答)
解:将1与2,3与4,5与6捆绑在一起排成一列 有 A ? 2 ? 48 种,再将7、8插入4个空位中的两个
3 3 3

2 有 A4 ? 12 种,故有 48 ? 12 ? 576 种.

(4)七人排成一排,甲、乙两人必须相邻,且甲、

乙都不与丙相邻,则不同的排法有(

)种.

(A)960种 (B)840种 (C)720种 (D)600种

解: A

2 2

? A ? A ? 960
4 4 2 5

另解:A

2 2

? A ? A ? 960
5 5 1 4

(5)学校组织老师学生一起看电影,同一排电影票12张。 8个学生,4个老师,要求老师在学生中间,且老师互不 相邻,共有多少种不同的坐法? 分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊 的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待. 所涉及问题是排列问题.
8 解 先排学生共有 P 8 种排法,然后把老师插入学生 之间的空档,共有7个空档可插,选其中的4个空档,共 4 8 4 有 P 种选法 . 根据乘法原理 , 共有的不同坐法为 P P 7 8 7 种. 结论 插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不相 邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的元 素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的 空档之中即可.

实际问题 得 实 际 问 题 的 解

转化 (建模)

排列问题 求 数 学 模 型 的 解

求排列数

以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为一个整 体,即采用“捆绑法”;以某些元素不能相邻为附 加条件的 , 可采用“插空法”。“插空”有同时 “插空”和有逐一“插空”,并要注意条件的限定.

有限制的排列问题
限制条件:某位置上不能排某元素或只能排某元素 常用方法:(1)直接法 1.优限法:先特殊后一般 (有特殊元素或特殊位置,通常先 排特殊元素或特殊位置,称为“优 限法” )

2.捆绑法:元素相邻 3.插空法:元素不相邻

4.其它方法:元素限制条件多

4.其它方法:元素限制条件多
(1).定序问题倍缩空位插入策略 (2).重排问题求幂策略 (3).排列组合混合问题先选后排策略

(4).元素相同问题隔板策略
(5).平均分组问题除法策略 (6).合理分类与分步策略 (7).构造模型策略 (8).实际操作穷举策略

敬请指导


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