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(第一课时)01、参数方程的概念 及圆的参数方程


第二讲 参 数 方 程

一 曲线的参数方程

引例:
探究P21
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度 作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面 (不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢?

投放点

提示: 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时,开始投放物资?



救援点

探究P21
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度 作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面 (不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢?
物资投出机舱后,它的运动由下列两种运动合成:

y 500

(1)沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动; (2)沿oy反方向作自由落体运动。

o

x

探究P21
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度 作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面 (不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢?

y 500

解:物资出舱后,设在时刻t,水平位移为x,

o

? x ? 100t , ? ? 1 2 (g=9.8m/s2 ) y ? 500 ? gt . ? ? 2 令y ? 0, 得t ? 10.10s. x 代入x ? 100t, 得 x ? 1010m. 所以,飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资,

垂直高度为y,所以

可以使其准确落在指定位置.

1、参数方程的概念:
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y都是某个变数t的函数

? x ? f (t ), ? (2) ? y ? g (t ).

并且对于t的每一个允许值,由方程组(2)所确定的点M(x,y) 都在这条曲线上,那么方程(2)就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数。
相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫 做普通方程。 参数是联系变数x,y的桥梁,可以是一个有物理意义或几何 意义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数。

变式:

一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线 飞行。在离灾区指定目标1000m时投放救援物 资(不计空气阻力,重力加速 g=10m/s)问此 时飞机的飞行高度约是多少?(精确到1m)

? x ? 3t , (t为参数) 例1: 已知曲线C的参数方程是 ? 2 ? y ? 2t ? 1.
(1)判断点M1(0,1),M2(5,4)与曲线C 的位置关系; (2)已知点M3(6,a)在曲线C上,求a的值。

练习1

? x ? 1? t2 1、曲线 ,(t为参数) 与x轴的交点坐标是( B ) ? ? y ? 4t ? 3
25 ( A、(1,4);B、 , 0); C、(1, ?3); 16

? x ? sin ? ,(? 为参数) 所表示的曲线上一点的坐标是 2、方程 ? ? y ? cos ?
( D)

25 D、 (? , 0); 16

1 1 1 2 A、(2,7);B、 , ); C、( , ); D、(1,0) ( 2 2 3 3

训练2: 已知曲线C的参数方程是

? x ? 1 ? 2t , (t为参数,a ? R ) ? 2 ? y ? at .

点M(5,4)在该 曲线上.

(1)求常数a;
(2)求曲线C的普通方程.

解:

(1)由题意可知:

1+2t=5 at2=4

解得:

a=1 t=2

∴ a=1

x=1+2t y=t2

x ?1 由第一个方程得: t ? 2 x ?1 2 ) , 代入第二个方程得: y ? ( 2

(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为:

( x ? 1) ? 4 y为所求.
2

思考题: 动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向的速度分别 为5和12,运动开始时位于点P(1,2),求点M的轨迹 参数方程。 解:设动点M ( x, y ) 运动时间为t,依题意,得

? x ? 1 ? 5t ? ? y ? 2 ? 12t
所以,点M的轨迹参数方程为

? x ? 1 ? 5t ? ? y ? 2 ? 12t

小结:
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y都是某个变数t的函数

? x ? f (t ), ? (2) ? y ? g (t ).

并且对于t的每一个允许值,由方程组(2)所确定的点M(x,y) 都在这条曲线上,那么方程(2)就叫做这条曲线的参数方程, 系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数。

二、圆的参数方程

课题引入
1、若以(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程为: (x-a)? +(y-b)? =r? 圆的标准方程的 优点: 明确指出圆的圆心和半径
2、圆的一般方程:

x? +Dx+Ey+F=0 (D? -4F>0) +y? +E? 这一形式的方程突出了圆方程形式上的特点.
1、x? y? 和 的系数相同,不等于0; 2、没有xy这样的二次项。

问题:圆是否还可以用其他形式的方程来表示呢?

圆的参数方程
? 1 设圆O的圆心在原点,半径是r,圆 O与x轴正半轴的交点为P0

? x ? r cos? , ? ? y ? r sin ?

圆心在原点半径为r的圆的参数方程

2 如果圆心不在原点,而是(a,b), 半径仍为r,那么圆的参数方程又该如 何求?
y

o1

p

v

P1

o

θ

? x ? a ? r cos? x? ? y ? b ? r sin ?

例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0,将它 化为参数方程。
解: x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程,

(x+1)2+(y-3)2=1,
∴参数方程为

? x ? ?1 ? cos? ? ? y ? 3 ? sin ?

(θ为参数)

练习:
1.填空:已知圆O的参数方程是
? x ? 5 cos? ? ? y ? 5 s in ?

(0≤ ? ? <2 )
?5 5 3? ? ,? ? ?2 2 ? ? ?

5? ⑴如果圆上点P所对应的参数 ? ? 3 ,则点P的坐标是

? 5 5 3? ? 2 ? 如果圆上点Q所对应的坐标是 ? ? , ? 2 2 ? , 则点Q对应 ? ? ? 2? 的参数? 等于 3

例3

例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?

例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?

解:设M的坐标为(x,y), P M 由中点坐标公式得: 点P的坐标为(2x-12,2y) O A x ∵点P在圆x2+y2=16上 ∴(2x-12)2+(2y)2=16 即 M的轨迹方程为(x-6)2+y2=4 ∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。

y

例3、已知点P(x,y)是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动 点,求(1) x2+y2 的最值, (2)x+y的最值, (3)P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。
解:圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即(x- 3)2+(y- 2)2=1, 用参数方程表示为

? x ? 3 ? cos? ? ? y ? 2 ? sin ?
由于点P在圆上,所以可设P(3+cosθ,2+sinθ), (1) x2+y2 = (3+cosθ)2+(2+sinθ)2 =14+4 sinθ +6cosθ=14+2 sin(θ +ψ). 13 (其中tan ψ =3/2)

∴ x2+y2 的最大值为14+2 13 ,最小值为14- 2 (2) x+y= 3+cosθ+ 2+sinθ=5+ sin( θ + 2

13 。

?

) 4

∴ x+y的最大值为5+ 2 ,最小值为5 - 2 。

(3)

? 4 ? 2 sin(? ? ) 3 ? cos? ? 2 ? sin? ? 1 4 d? ? 2 2
显然当sin( θ+ 小值,分别为

?

1? 2 2

4

)=

1时,d取最大值,最 ? ,

2 2 ? 1。

参数方程与普通方程的互化

x2+y2=r2
( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

x ? r cos? y ? r s in ?
? x ? a ? r cos? ? ? y ? b ? r sin ?

注:1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵 坐标之间的关系,而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之 间的关系。 2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难或不可 能体现时,通过参数建立间接的联系。

小 结:
1、圆的参数方程 2、参数方程与普通方程的概念 3、圆的参数方程与普通方程的互化

4、求轨迹方程的三种方法:⑴相关点点问 题(代入法); ⑵参数法;⑶定义法 5、求最值


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